初中数学北师大版八年级上册第七章 平行线的证明5 三角形的内角和定理优秀巩固练习

这是一份初中数学北师大版八年级上册第七章 平行线的证明5 三角形的内角和定理优秀巩固练习，共12页。试卷主要包含了5三角形内角和定理 同步测试等内容，欢迎下载使用。

一．选择题


1．下列条件中，能确定三角形是直角三角形的是（ ）


A．∠A＝∠B＝∠CB．∠A+∠B＝∠C


C．∠A＝∠B＝30°D．


2．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线BE，CF相交于点O，∠A＝60°，则∠BOC的大小为（ ）





A．110°B．120°C．130°D．150°


3．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）





A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A+∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D


4．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（ ）





A．80°B．82°C．84°D．86°


5．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与∠ACB的外角平分线CD相交于点D，∠D＝30°，则∠A等于（ ）





A．50°B．60°C．70°D．80°


6．如图，△ABC中，∠BAC＝58°，∠C＝82°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AC上一点，且∠ADE＝∠B，则∠CDE的度数是（ ）





A．29°B．39°C．42°D．52°


7．一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为（ ）





A．10°B．15°C．20°D．25°


8．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是两内角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数之和为（ ）





A．115°B．120°C．125°D．130°


9．如图，已知点E，D分别在△ABC边BA和CA的延长线上，CF和EF分别平分∠ACB和∠AED．如果∠B＝70°，∠D＝50°，则∠F的度数是（ ）





A．50°B．55°C．60°D．65°


10．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，交边BC于点E，连接DE．若∠ABC＝40°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（ ）





A．35°B．40°C．45°D．50°


二．填空题


11．如图所示的折线图形中，α+β＝ ．





12．如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝105°，∠B＝35°，则这块三角形木板缺少的角的度数是 ．





13．将两张三角形纸片如图摆放量得∠1+∠2+∠3+∠4＝230°，则∠5＝ ．





14．已知在锐角△ABC中，∠A＝50°，AB＞BC．则∠B的取值范围是 ．


15．如图，BH是钝角三角形ABC的高，AD是角平分线，且∠C＝45°﹣∠ABH，若CD＝4，△ABC的面积为12，则AD＝ ．





三．解答题


16．如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE∥BC，∠ADE＝45°，∠C＝65°，求∠ABE的度数．





17．如图，若P点是△ABC三个内角的角平分线的交点．


（1）∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB；


（2）用∠BAC来表示∠BPC；


（3）猜想：∠CPA＝90°+ ，∠APB＝90°+ ．





18．小亮在学习中遇到这样一个问题：


如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．


猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系，说明理由．





（1）小亮阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试带入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：


上表中a＝ ．


（2）猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系，说明理由．


（3）小亮突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠B＝80°、∠C＝20°时，∠F度数为 °．





参考答案


一．选择题


1．解：A、由∠A＝∠B＝∠C，可知△ABC是等边三角形，本选项不符合题意．


B、由∠A+∠B＝∠C，推出∠C＝90°，本选项符合题意．


C、由∠A＝∠B＝30°，推出∠C＝120°，△ABC是钝角三角形，本选项不符合题意．


D、由∠A＝∠B＝∠C，推出∠C＝（）°＞90°，本选项不符合题意．


故选：B．


2．解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，


∴∠OBC＝，，


∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB），


∵∠A＝60°，


∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣60°）＝60°，


∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）


＝180°﹣60°


＝120°．


故选：B．


3．解：∵∠A+∠AOD+∠D＝180°，∠C+∠COB+∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，


∴∠B＝∠D，


∵∠1＝∠2＝∠A+∠D，


∴∠2＞∠D，


故选项A，B，C正确，


故选：D．


4．解：设∠1＝∠2＝x，


∵∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2x，


∴∠DAC＝180°﹣4x，


∵∠BAC＝108°，


∴x+180°﹣4x＝108°，


∴x＝24°，


∴∠DAC＝180°﹣4×24°＝84°．


故选：C．


5．解：设点E在BC的延长线上，AC与BD交于点F，如图所示.


∵∠DCE＝∠DBC+∠D，CD平分∠ACE，


∴∠ACD＝∠DCE＝∠DBC+∠D．


∵BD平分∠ABC，


∴∠ABF＝∠DBC．


又∵∠ABF+∠A+∠AFB＝180°，∠DCF+∠D+∠CFD＝180°，∠AFB＝∠CFD，


∴∠ABF+∠A＝∠DCF+∠D，即∠ABF+∠A＝∠DBC+∠D+∠D，


∴∠A＝2∠D＝2×30°＝60°．


故选：B．





6．解：∵在△ABC中，∠BAC＝58°，∠C＝82°，


∴∠B＝180°﹣58°﹣82°＝40°，


∵AD平分∠BAC，


∴∠BAD＝∠BAC＝29°，


∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝69°，


∵∠ADE＝∠B＝40°，


∴∠CDE＝29°，


故选：A．





7．解：∵AB∥CD，


∴∠BAC＝∠ACD＝30°，


∵∠AED＝45°，


∴∠AEC＝135°，


∵∠CAE+∠AEC+∠ACE＝180°，


∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝180°﹣30°﹣135°＝15°，


故选：B．


8．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°


∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，


又∵AD是高，


∴∠ADC＝90°，


∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，


∵AE、BF是角平分线，


∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，


∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，


∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，


∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，


∴∠DAE+∠BOA＝5°+120°＝125°．


故选：C．


9．解：如图，设AB交CF于点G，


∵CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，


∴∠BCF＝∠ACF，∠DEF＝∠AEF，


∵∠BCF+∠B＝∠AEF+∠F；∠BCF+∠ACF+∠B＝∠DEF+∠AEF+∠D，即2∠BCF+∠B＝2∠AEF+∠D，


又∵∠B＝70°，∠D＝50°，


∴∠BCF+70°＝∠AEF+∠F①，2∠BCF+70°＝2∠AEF+50°②，


①×2﹣②得，70°＝2∠F﹣50°，


解得∠F＝60°．


故选：C．





10．解：∵∠B＝40°，∠C＝50°，


∴∠BAC＝90°，


∵∠ABF＝∠EBF，BF＝BF，∠BFA＝∠BFE＝90°，


∴△BFA≌△BFE（ASA），


∴BA＝BE，


∵BD＝BD，


∴△BDA≌△BDE（SAS），


∴∠BED＝∠BAD＝90°，


∴∠CED＝90°，


∴∠CDE＝90°﹣50°＝40°，


故选：B．


二．填空题


11．解：如图，连接BC．





在△EBC中，∠1+∠2＝180°﹣∠E＝140°，


在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠BCD+∠D＝360°，


∴70°+α+∠1+∠2+β+65°＝360°，


∴α+β＝360°﹣70°﹣65°﹣140°＝85°，


故答案为85°．


12．解：设这个三角形的第三个内角为x．


由题意，105°+35°+x＝180°，


解得x＝40°，


故答案为40°．


13．解：如图所示：∠1+∠2+∠6＝180°，∠3+∠4+∠7＝180°，


∵∠1+∠2+∠3+∠4＝230°，


∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7＝360°，


∴∠6+∠7＝130°，


∴∠5＝180°﹣（∠6+∠7）＝50°．


故答案为：50°．





14．解：如图，当BC最短时，∠ABC＝40°，


现以B为圆心，AB长为半径画弧交直线AC于点C1，


当BC1的长等于AB时，∠ABC1＝80°，


所以40°＜∠B＜80°．


故答案为：40°＜∠B＜80°．





15．解：∵BH⊥CH，∠C＝45°﹣∠ABH，


∴∠ABC＝90°﹣∠C﹣∠ABH


＝90°﹣（45°﹣∠ABH）﹣∠ABH


＝45°﹣∠ABH


＝∠C，


∴△ABC是等腰三角形，


∵AD是∠BAC的平分线，


∴AD⊥BC，BD＝CD＝4，


∴BC＝8，


∵S△ABC＝12，


∴，


∴AD＝3，


故答案为：3．


三．解答题


16．解：∵DE∥BC，∠ADE＝45°，


∴∠ABC＝∠ADE＝45°，


∵BE是AC边上的高，


∴∠BEC＝90°，


∵∠C＝65°，


∴∠EBC＝90°﹣∠C＝25°，


∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝45°﹣25°＝20°．


17．解：（1）∵P点是△ABC三个内角的角平分线的交点，


∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，


故答案为：，；


（2）∵∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，


∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）


＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）


＝180°﹣（180°﹣∠BAC）


＝180°﹣90°+∠BAC


＝90°+∠BAC；


（3）猜想：∠CPA＝90°+∠ABC，∠APB＝90°+∠ACB；


理由如下：∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACB


∴∠PAC＝，∠ACP＝


∴∠CPA＝180°﹣（∠PAC+∠ACP）


＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）


＝180°﹣（1800﹣∠ABC）


＝180°﹣90°+∠ABC


＝90°+∠ABC；


同理可得：∠APB＝90°+∠ACB．


故答案为：，∠ACB．


18．解：（1）a＝20，


故答案为20．





（2）猜想：∠EAD＝（∠C﹣∠B）．


理由：∵AD⊥BC，


∴∠DAC＝90°﹣∠C，


∵AE平分∠BAC，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，


∴∠EAC＝∠BAC＝90°﹣∠B﹣∠C，


∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）．





（3）如图2中，过点A作AH⊥CD于H．





∵AH⊥CD，FD⊥CD，


∴AH∥DF，


∴∠F＝∠EAH＝（∠B﹣∠C）＝（80°﹣20°）＝30°．


故答案为30．


∠B/度
10
30
30
20
20
∠C/度
70
70
60
60
80
∠EAD/度
30
20
15
a
30