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广东省惠州市惠城区四校联考2020-2021学年九年级上学期数学12月月考试卷（解析版）
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广东省惠州市惠城区四校联考2020-2021学年九年级上学期数学12月月考试卷
一、选择题 （本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1.下列等式中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. x2=1 B. x2+1x=1 C. x2+y=0 D. ax2+c=0 （a ， c 为常数）
2.点A 到 ⊙O 的圆心距离为 2 ， ⊙O 的半径为 1 ，点 A 与 ⊙O 的位置关系是( )
A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定
3.如图，⊙O 的直径为10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为3，则弦 AB 的长是( )
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
4.如图，将Rt△ABC （其中 ∠B=34∘ ， ∠C=90∘ ），绕 A 点按顺时针方向旋转到 △AB1C1 的位置，使得点 C ， A ， B1 在同一直线上，则旋转角的度数为( )
A. 56∘ B. 68∘ C. 124∘ D. 180∘
5.如图，四边形ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，若 ∠D=3∠B ，则 ∠B 的度数为( )
A. 45∘ B. 36∘ C. 30∘ D. 60∘
6.如图，A ， B ， C 是半径为 4 的 ⊙O 上的三点，如果 ∠ACB=45∘ ，那么 AB 的长为( )
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
7.如图，AB 是 ⊙O 的直径， C ， D 是 ⊙O 上两点．若 ∠CDB=36∘ ，则 ∠ABC 的度数为( )
A. 36∘ B. 44∘ C. 54∘ D. 72∘
8.平面直角坐标系中，将抛物线y=-x2 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是( )
A. y=(x+1)2+2 B. y=(x-1)2+2 C. y=-(x-1)2+2 D. y=-(x-1)2-2
9.在同一坐标系中，二次函数 y=ax2+bx 与一次函数 y=ax-a 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点为 B(-1, 3) ，与 x 轴的交点 A 在点 (-3, 0) 和 (-2, 0) 之间，下列结论正确的有( )
① b2-4ac=0 ；②a+b+c>0 ；③ 2a-b=0 ；④ c-a=3 .
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题 （本题共计7小题，每题4分 ，共计28分 ）
11.点P(1, -3) 关于原点对称的点的坐标是________．
12.如果抛物线y=(a+1)x2-4 有最低点，那么 a 的取值范围是________．
13.圆锥的母线长为5cm ，底面圆半径为 3cm ，则圆锥的侧面积为 ________ cm2 （结果保留 π ）.
14.如图，在△ABC 中，点 O 是 △ABC 的内心， ∠BOC=118∘ ， ∠A= ________ ∘ ．
15.如图，抛物线y ＝ ax2+bx 与直线 y ＝ mx+n 相交于点 A(-3, -6) ， B (1, -2) ，则关于 x 的方程 ax2+bx ＝ mx+n 的解为________．
16.如图，抛物线y=14x2-4 与 x 轴交于 A 、 B 两点， P 是以点 C(0, 3) 为圆心， 2 为半径的圆上的动点， Q 是线段 PA 的中点，连结 OQ ．则线段 OQ 的最大值是________．
17.如图，已知等腰△ABC ， AB=BC ，以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D ，过点 D 的 ⊙O 的切线交 BC 于点 E ，若 CD=45 ， CE=8 ，则 ⊙O 的半径是________.
三、解答题 （本题共计8小题，共计62分）
18.解方程：2x2-3x-2=0 ．
19.如图在边长为1 的小正方形组成的网格中， △OAB 的顶点都在格点上．
①请作出△OAB 关于直线 CD 对称的 △O1A1B1 ；
②请将△OAB 绕点 B 顺时针旋转 90∘ ，画出旋转后的 △BO2A2 ．
20.抛物线 y=-x2+4x-6 .
（1）请把二次函数写成 y=a(x+h)2+k 的形式；
（2）x 取何值时， y 随 x 的增大而减小？
21.如图，∠BAC 的平分线交 △ABC 的外接圆于点 D ， ∠ABC 的平分线交 AD 于点 E ．
（1）求证：DE=DB ；
（2）若∠BAC=90∘ ， BD=4 ，求 △ABC 外接圆的半径．
22.某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．
（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？
23.已知关于x 的一元二次方程 x2-(t-1)x+t-2=0 .
（1）求证：对于任意实数t ，方程都有实数根；
（2）当t 为何值时，方程的一个根为 x=3 ？
24.如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 DE 垂直半径 OA ， C 为垂足， DE ＝ 6 ，连接 DB ， ∠B ＝ 30∘ ，过点 E 作 EM // BD ，交 BA 的延长线于点 M ．
（1）求⊙O 的半径；
（2）求证：EM 是 ⊙O 的切线；
（3）若弦DF 与直径 AB 相交于点 P ，当 ∠APD ＝ 45∘ 时，求图中阴影部分的面积．
25.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴交于点 A(1,0) 和点 B(-3,0) ，与 y 轴交于点 C ，且 OC=OB .
（1）求点C 的坐标和此抛物线的解析式；
（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE ， CE ， BC ，求 △BCE 面积的最大值；
（3）点P 在抛物线的对称轴上，若线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90∘ 后，点 A 的对应点 A' 恰好也落在此抛物线上，求点 P 的坐标．
答案解析
一、选择题 （本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1.【答案】 A
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.为一元二次方程，正确；
B.等式为分式方程，错误；
C.等式为二元二次方程，错误；
D.a=0时，等式不是一元二次方程，错误。
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的含义进行判断即可。
2.【答案】 A
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为1，点A到圆的圆心距离为2
∴点A与圆的位置关系为点在圆外
故答案为：A.
【分析】根据圆的半径以及点到圆心的距离，进行判断即可得到答案。
3.【答案】 D
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA
∵圆O的直径为10
∴OA=5
∵圆心O到弦AB的距离OM为3
根据垂径定理可得，M为AB的中点，AM=12AB
根据勾股定理可得，AM=4
∴AB=8
故答案为：D.
【分析】连接OA，根据垂径定理计算得到AM=12AB，根据勾股定理求出AM的值即可。
4.【答案】 C
【考点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=34°，∠C=90°
∴∠BAC=56°
∴∠BAB1=180°-56°=124°
故答案为：C.
【分析】根据图中的对应点和对应角，根据旋转的性质求出答案即可。
5.【答案】 A
【考点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形
∴∠B+∠D=180°
∵∠D=3∠B
∴4∠B=180°
∴∠B=45°
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠B的度数即可。
6.【答案】 B
【考点】圆周角定理，弧长及其计算
【解析】【解答】解：∵∠ACB=45°
∴∠AOB=90°
∵OA=4
∴弧AB的长=90π×4180=2π
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理即可得到∠AOB=90°，继而根据弧长公式计算得到答案即可。
7.【答案】 C
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OC
∵∠CDB=36°
∴∠CAB=36°
∵OA=OC
∴∠ACD=∠A=36°
∵∠COB为三角形AOC的外角
∴∠COB=72°
∵OC=OB
∴在三角形OCB中，∠ABC=（180°-72°）÷2=54°
故答案为：C.
【分析】连接OC，根据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠A的度数，继而根据圆的半径相等求出∠ACO，根据三角形外角的性质计算得到∠COB的度数，在三角形COB中，根据三角形的内角和定理以及等边对等角即可得到答案。
8.【答案】 C
【考点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：y=-x2先向右平移1个单位可变为
y=-（x-1）2
再向上平移2个单位
可变为y=-（x-1）2+2
故答案为：C.
【分析】根据题意，由抛物线的性质以及平移的性质即可得到答案。
9.【答案】 A
【考点】二次函数图象与系数的关系，一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】由一次函数 y=ax-a 可知，一次函数的图象与x轴交于点（1，0），即可排除B、C、D，
对于A选项，
观察二次函数 y=ax2+bx 的图象，
∵开口向上，
∴ a>0 ，
当 a>0 时，一次函数 y=ax-a 经过一、二、四象限，
∴A选项符合题意，
故答案为：A．
【分析】由一次函数 y=ax-a 可知，一次函数的图象与x轴交于点（1，0），即可排除B、C、D，然后根据二次函数的开口方向，一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
10.【答案】 B
【考点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵图象与x轴有两个交点
∴b2-4ac＞0，即①错误；
∵抛物线的顶点为（-1,3）
∴y=a（x+1）2+3
∵抛物线与x轴的交点在点（-3,0）
∴a（-3+1）2+3=0
∴a=-34
即y==34（x+1）2+3
∵抛物线的顶点为（-1,3），抛物线与x轴的交点在（-3,0）和（-2,0）之间
∴当x=1时，a+b+c＜0，即②错误；
∵-b2a=-1
∴2a-b=0，即③正确；
∵y=-34（x+1）2+3=-34x2-32x+94
∴c-a=3，即④正确
故答案为：B.
【分析】根据图象与x轴的交点即可判断①，继而将x=1代入抛物线的解析式判断②，根据顶点坐标即可判断③，最后根据抛物线的解析式判断④即可。
二、填空题 （本题共计7小题，每题4分 ，共计28分 ）
11.【答案】 （-1,3）
【考点】关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】解：点P关于原点对称的点的坐标为（-1,3）
【分析】根据题意，关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标均互为相反数，求出答案即可。
12.【答案】 a>-1
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线有最低点
∴a+1＞0
∴a＞-1
【分析】根据抛物线有最小值，即可得到二次项的系数为正，求出a的取值范围即可。
13.【答案】 15π
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积=π×3×5=15π
【分析】根据圆锥的侧面积公式进行计算即可得到答案。
14.【答案】 56
【考点】三角形内角和定理，角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOC=118°
∴∠OBC+∠OCB=180°-118°=62°
∵点O是三角形ABC的∠ABC和∠ACB两个角平分线的交点
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=124°
∴∠A=180°-124°=56°
【分析】根据∠BOC的度数计算得到∠OBC+∠OCB的度数，根据角平分线的性质求出∠ABC+∠ACB的度数，根据三角形的内角和定理得到结论即可。
15.【答案】x1 ＝ -3 ， x2 ＝ 1
【考点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线想交于点A和点B
∴关于x的方程的解为x1=-3，x2=1
【分析】根据题意，关于x的方程的解为抛物线和直线交点的横坐标即可得到答案。
16.【答案】 3.5
【考点】点与圆的位置关系，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BP
当y=0时，14x2-4=0，解得x1=4，x2=-4
∴点A（-4,0），点B（4,0）
∵Q为线段PA的中点
∴OQ为三角形ABP的中位线
∴OQ=12BP
∴当BP最大时，OQ最大
当BP过圆心C时，PB最大，如图点P运动到P'位置时，BP最大
∴BC=32+42=5
∴BP'=5+2=7
∴线段OQ的最大值为3.5
【分析】根据题意，由抛物线的解析式求出点A和点B的坐标，继而判断OQ为三角形ABP的中位线，根据点与圆的位置关系，求出答案即可。
17.【答案】 5
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
连接OD和BD
∵DE是切线
∴OD⊥DE
∵AB为直径
∴∠ADB=90°，AB=BC
∴AC=CD=45 ， 且 AO=OB
∴DO=BC，DE⊥OD
∴DE⊥EC
∴DE=CD2-CE2=80-64=4
∵tanC=BDCD=DEEC=48
∴BD=25
∴AB=AD2+DB2=10
∴OA=5
【分析】根据DE⊥EC，根据勾股定理可得DE=4，根据锐角三角函数求出DB的长度，继而根据勾股定理求出AB的长度，即可得到圆O的半径。
三、解答题 （本题共计8小题，共计62分）
18.【答案】 解：（2x+2）（x-1）=0
解得 x1=1 ， x2=-1 ．
【考点】一元二次方程的定义及相关的量，公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据题意，利用十字相乘法解一元二次方程，得到答案即可。
19.【答案】
【考点】作图﹣轴对称，作图﹣旋转
【解析】【分析】作出三角形OAB三个顶点关于CD的对称点，再连线得到图形即可；
（2）根据题意，作出边AB和边BO绕点B顺时针90°的边，得到旋转后的三角形即可。
20.【答案】 （1）解：由题意可得： y=-x2+4x-6=-(x2-4x)-6=-(x2-4x+22-4)-6=-(x-2)2-2
（2）解： a=-1<0 ，图像开口向下，对称轴 x=2 ，所以当 x>2 时， y 随 x 的增大而减小.
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）通过配方，将二次函数的解析式由一般式化为顶点式；
（2）结合抛物线的开口方向和对称轴的位置求解。
21.【答案】 （1）证明：先证 ∠DBC=∠CAD=∠BAD
得 ∠DBE=∠DBC+∠CBE=∠BAD+∠ABE=∠DEB
得 DE=DB ．
（2）解：连结 CD ，由 ∠BAD=∠CAD ，
得 CD=BD=4
∵ ∠BAC=90∘
∵是 ⊙O 的直径， ∠BDC=90∘
∴ BC=BD+CD=42
所以 ⊙O 的半径为 12×42=22 ．
【考点】角平分线的性质，勾股定理，圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质以及圆周角定理计算得到∠DBC=∠CAD，根据三角形外角的性质，即可得到DE=DB；
（2）根据两个弧相等，由圆周角定理即可得到BC为直径，根据勾股定理求出BC的长度，继而得到三角形ABC外接圆的半径即可。
22.【答案】 （1）解：根据题意得：
y=（200+20x）×（6﹣x）=﹣20x2﹣80x+1200
（2）解：令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960，则有960=﹣20x2﹣80x+1200，
即x2+4x﹣12=0，
解得：x=﹣6（舍去），或x=2．
答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元
【考点】二次函数的实际应用-销售问题，二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据“每天利润=每天销售质量×每千克的利润”即可得出y关于x的函数关系式；（2）将y=960代入（1）中函数关系式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
23.【答案】 （1）证明：∵ Δ=b2-4ac=[-(t-1)]2-4(t-2)
=t2-6t+9=(t-3)2≥0 ，
∴对于任意实数 t ，方程都有实数根．
（2）解： ∵一元二次方程的一个根是 x=3 ．
∴ 32-3(t-1)+t-2=0 ，
∴ t=5 ．
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，由判别式的值大于等于0，即可得到方程都有实数根；
（2）将方程的根x=3代入方程，即可得到t的值。
24.【答案】 （1）解：连结 OE ，
∵ DE 垂直 OA ， ∠B ＝ 30∘ ，
∴ CE=12DE ＝ 3 ， AD=AE ，
∴ ∠AOE ＝ 2∠B ＝ 60∘ ，
∴ ∠CEO ＝ 30∘ ， OC=12OE ，
由勾股定理得 OE ＝ 23 ；即圆O的半径为 23 。
（2）证明：∵ EM // BD ，
∴ ∠M ＝ ∠B ＝ 30∘ ， ∠M+∠AOE ＝ 90∘ ，
∴ ∠OEM ＝ 90∘ ，即 OE⊥ME ，
∴ EM 是 ⊙O 的切线
（3）解：再连结 OF ，
当 ∠APD ＝ 45∘ 时， ∠EDF ＝ 45∘ ，
∴ ∠EOF ＝ 90∘ ，
S阴影=14π(23)2-12(23)2 ＝ 3π-6 ．
【考点】平行线的性质，垂径定理，圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理求出OC和OE的关系，即可得到CE的长度，根据直角三角新的性质求出∠OEC为30°，继而由三角函数的性质求出圆的半径即可；
（2）根据平行线的性质即可得到∠MEO=90°，即可得到EM为圆的切线；
（3）根据∠APD的度数为45°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得到∠EOF的度数，求出阴影部分的面积即可。
25.【答案】 （1）解：由题可得 OB=3 ，
∴ OC=OB=3 ，
∴点 C 的坐标为 (0,3) ， c=3 .
将点 A ， B 坐标代入抛物线解析式得：
{a+b+3=0，9a-3b+3=0，
解得 {a=-1，b=-2，
∴ 物线解析式为 y=-x2-2x+3 ．
（2）解：设直线 BC 的解析式为 y=kx+b ，
将 B(-3,0) ， C(0,3) 代入，
可得 {-3k+b=0，b=3，
解得： {k=1，b=3， ∴直线 BC 的解析式为 y=x+3 .
过点 E 作 EF//y 轴交 BC 于点 F ，
设 E(a,-a2-2a+3) ，则 F(a,a+3) ，
∴ S△BCE=12×3×(-a2-2a+3-a-3)
=-32a2-92a=-32(a2+3a94-94)
=-32(a+32)2+278 ，
∴ △BCD 面积最大值 278 ．
（3）解：如图所示，过 A1 作 A1N 垂直对称轴交对称轴于点 N ，
设对称轴与 x 轴交于点 M ，
∵ y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4 ，
∴抛物线的对称轴为 x=-1 .
设点 P 的坐标为 (-1,m) ，由题可知 PA=PA1 ， ∠APA1=90∘ ，
则 ∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90∘ ，
∴ ∠NA1P=∠MPA .
在 △A1NP 和 △APM 中，
{∠A1NP=∠PMA，∠NA1P=∠MPA，PA1=AP，
∴ △A1NP≅△PMA(AAS) ，
∴ A1N=PM=|m| ， PN=AM=2 .
下面分两种情况讨论．
①当 m≥0 时，点 A1 的坐标为 (m-1,m+2) ，
代入抛物线解析式可得 m+2=-(m-1)2-2(m-1)+3 ，
解得 m=1 或 m=-2 （舍去），
∴此时点 P1 的坐标为 (-1,1) ；
②当 m<0 时，点 A2 的坐标为 (m-1,m+2) ，
代入抛物线解析式可得 m+2=-(m-1)2-2(m-1)+3 ，
解得 m=1 （舍去）或 m=-2 ，
∴此时点 P2 的坐标为 (-1,-2) ．
综上所述，点 P 的坐标为 (-1,1) 或 (-1,-2) ．
【考点】三角形全等及其性质，旋转的性质，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据抛物线经过点A和点B，由两点的坐标，利用待定系数法即可得到二次函数的解析式；
（2）根据函数的性质求出四边形BOCE的最大值以及对应的E的横坐标的值，即可得到E点的坐标；
（3）根据点P在抛物线的对称轴上，设出点P的坐标为（-1，m），根据旋转的性质以及三角形全等的判定定理和性质，求出点的坐标，即可得到哦答案。
一、选择题 （本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1.下列等式中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. x2=1 B. x2+1x=1 C. x2+y=0 D. ax2+c=0 （a ， c 为常数）
2.点A 到 ⊙O 的圆心距离为 2 ， ⊙O 的半径为 1 ，点 A 与 ⊙O 的位置关系是( )
A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定
3.如图，⊙O 的直径为10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为3，则弦 AB 的长是( )
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
4.如图，将Rt△ABC （其中 ∠B=34∘ ， ∠C=90∘ ），绕 A 点按顺时针方向旋转到 △AB1C1 的位置，使得点 C ， A ， B1 在同一直线上，则旋转角的度数为( )
A. 56∘ B. 68∘ C. 124∘ D. 180∘
5.如图，四边形ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，若 ∠D=3∠B ，则 ∠B 的度数为( )
A. 45∘ B. 36∘ C. 30∘ D. 60∘
6.如图，A ， B ， C 是半径为 4 的 ⊙O 上的三点，如果 ∠ACB=45∘ ，那么 AB 的长为( )
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
7.如图，AB 是 ⊙O 的直径， C ， D 是 ⊙O 上两点．若 ∠CDB=36∘ ，则 ∠ABC 的度数为( )
A. 36∘ B. 44∘ C. 54∘ D. 72∘
8.平面直角坐标系中，将抛物线y=-x2 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是( )
A. y=(x+1)2+2 B. y=(x-1)2+2 C. y=-(x-1)2+2 D. y=-(x-1)2-2
9.在同一坐标系中，二次函数 y=ax2+bx 与一次函数 y=ax-a 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点为 B(-1, 3) ，与 x 轴的交点 A 在点 (-3, 0) 和 (-2, 0) 之间，下列结论正确的有( )
① b2-4ac=0 ；②a+b+c>0 ；③ 2a-b=0 ；④ c-a=3 .
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题 （本题共计7小题，每题4分 ，共计28分 ）
11.点P(1, -3) 关于原点对称的点的坐标是________．
12.如果抛物线y=(a+1)x2-4 有最低点，那么 a 的取值范围是________．
13.圆锥的母线长为5cm ，底面圆半径为 3cm ，则圆锥的侧面积为 ________ cm2 （结果保留 π ）.
14.如图，在△ABC 中，点 O 是 △ABC 的内心， ∠BOC=118∘ ， ∠A= ________ ∘ ．
15.如图，抛物线y ＝ ax2+bx 与直线 y ＝ mx+n 相交于点 A(-3, -6) ， B (1, -2) ，则关于 x 的方程 ax2+bx ＝ mx+n 的解为________．
16.如图，抛物线y=14x2-4 与 x 轴交于 A 、 B 两点， P 是以点 C(0, 3) 为圆心， 2 为半径的圆上的动点， Q 是线段 PA 的中点，连结 OQ ．则线段 OQ 的最大值是________．
17.如图，已知等腰△ABC ， AB=BC ，以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D ，过点 D 的 ⊙O 的切线交 BC 于点 E ，若 CD=45 ， CE=8 ，则 ⊙O 的半径是________.
三、解答题 （本题共计8小题，共计62分）
18.解方程：2x2-3x-2=0 ．
19.如图在边长为1 的小正方形组成的网格中， △OAB 的顶点都在格点上．
①请作出△OAB 关于直线 CD 对称的 △O1A1B1 ；
②请将△OAB 绕点 B 顺时针旋转 90∘ ，画出旋转后的 △BO2A2 ．
20.抛物线 y=-x2+4x-6 .
（1）请把二次函数写成 y=a(x+h)2+k 的形式；
（2）x 取何值时， y 随 x 的增大而减小？
21.如图，∠BAC 的平分线交 △ABC 的外接圆于点 D ， ∠ABC 的平分线交 AD 于点 E ．
（1）求证：DE=DB ；
（2）若∠BAC=90∘ ， BD=4 ，求 △ABC 外接圆的半径．
22.某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克．
（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？
23.已知关于x 的一元二次方程 x2-(t-1)x+t-2=0 .
（1）求证：对于任意实数t ，方程都有实数根；
（2）当t 为何值时，方程的一个根为 x=3 ？
24.如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 DE 垂直半径 OA ， C 为垂足， DE ＝ 6 ，连接 DB ， ∠B ＝ 30∘ ，过点 E 作 EM // BD ，交 BA 的延长线于点 M ．
（1）求⊙O 的半径；
（2）求证：EM 是 ⊙O 的切线；
（3）若弦DF 与直径 AB 相交于点 P ，当 ∠APD ＝ 45∘ 时，求图中阴影部分的面积．
25.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴交于点 A(1,0) 和点 B(-3,0) ，与 y 轴交于点 C ，且 OC=OB .
（1）求点C 的坐标和此抛物线的解析式；
（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE ， CE ， BC ，求 △BCE 面积的最大值；
（3）点P 在抛物线的对称轴上，若线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90∘ 后，点 A 的对应点 A' 恰好也落在此抛物线上，求点 P 的坐标．
答案解析
一、选择题 （本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1.【答案】 A
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.为一元二次方程，正确；
B.等式为分式方程，错误；
C.等式为二元二次方程，错误；
D.a=0时，等式不是一元二次方程，错误。
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的含义进行判断即可。
2.【答案】 A
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为1，点A到圆的圆心距离为2
∴点A与圆的位置关系为点在圆外
故答案为：A.
【分析】根据圆的半径以及点到圆心的距离，进行判断即可得到答案。
3.【答案】 D
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA
∵圆O的直径为10
∴OA=5
∵圆心O到弦AB的距离OM为3
根据垂径定理可得，M为AB的中点，AM=12AB
根据勾股定理可得，AM=4
∴AB=8
故答案为：D.
【分析】连接OA，根据垂径定理计算得到AM=12AB，根据勾股定理求出AM的值即可。
4.【答案】 C
【考点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=34°，∠C=90°
∴∠BAC=56°
∴∠BAB1=180°-56°=124°
故答案为：C.
【分析】根据图中的对应点和对应角，根据旋转的性质求出答案即可。
5.【答案】 A
【考点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形
∴∠B+∠D=180°
∵∠D=3∠B
∴4∠B=180°
∴∠B=45°
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠B的度数即可。
6.【答案】 B
【考点】圆周角定理，弧长及其计算
【解析】【解答】解：∵∠ACB=45°
∴∠AOB=90°
∵OA=4
∴弧AB的长=90π×4180=2π
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理即可得到∠AOB=90°，继而根据弧长公式计算得到答案即可。
7.【答案】 C
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OC
∵∠CDB=36°
∴∠CAB=36°
∵OA=OC
∴∠ACD=∠A=36°
∵∠COB为三角形AOC的外角
∴∠COB=72°
∵OC=OB
∴在三角形OCB中，∠ABC=（180°-72°）÷2=54°
故答案为：C.
【分析】连接OC，根据同弧所对的圆周角相等，即可得到∠A的度数，继而根据圆的半径相等求出∠ACO，根据三角形外角的性质计算得到∠COB的度数，在三角形COB中，根据三角形的内角和定理以及等边对等角即可得到答案。
8.【答案】 C
【考点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：y=-x2先向右平移1个单位可变为
y=-（x-1）2
再向上平移2个单位
可变为y=-（x-1）2+2
故答案为：C.
【分析】根据题意，由抛物线的性质以及平移的性质即可得到答案。
9.【答案】 A
【考点】二次函数图象与系数的关系，一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】由一次函数 y=ax-a 可知，一次函数的图象与x轴交于点（1，0），即可排除B、C、D，
对于A选项，
观察二次函数 y=ax2+bx 的图象，
∵开口向上，
∴ a>0 ，
当 a>0 时，一次函数 y=ax-a 经过一、二、四象限，
∴A选项符合题意，
故答案为：A．
【分析】由一次函数 y=ax-a 可知，一次函数的图象与x轴交于点（1，0），即可排除B、C、D，然后根据二次函数的开口方向，一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
10.【答案】 B
【考点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵图象与x轴有两个交点
∴b2-4ac＞0，即①错误；
∵抛物线的顶点为（-1,3）
∴y=a（x+1）2+3
∵抛物线与x轴的交点在点（-3,0）
∴a（-3+1）2+3=0
∴a=-34
即y==34（x+1）2+3
∵抛物线的顶点为（-1,3），抛物线与x轴的交点在（-3,0）和（-2,0）之间
∴当x=1时，a+b+c＜0，即②错误；
∵-b2a=-1
∴2a-b=0，即③正确；
∵y=-34（x+1）2+3=-34x2-32x+94
∴c-a=3，即④正确
故答案为：B.
【分析】根据图象与x轴的交点即可判断①，继而将x=1代入抛物线的解析式判断②，根据顶点坐标即可判断③，最后根据抛物线的解析式判断④即可。
二、填空题 （本题共计7小题，每题4分 ，共计28分 ）
11.【答案】 （-1,3）
【考点】关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】解：点P关于原点对称的点的坐标为（-1,3）
【分析】根据题意，关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标均互为相反数，求出答案即可。
12.【答案】 a>-1
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线有最低点
∴a+1＞0
∴a＞-1
【分析】根据抛物线有最小值，即可得到二次项的系数为正，求出a的取值范围即可。
13.【答案】 15π
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的侧面积=π×3×5=15π
【分析】根据圆锥的侧面积公式进行计算即可得到答案。
14.【答案】 56
【考点】三角形内角和定理，角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOC=118°
∴∠OBC+∠OCB=180°-118°=62°
∵点O是三角形ABC的∠ABC和∠ACB两个角平分线的交点
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=124°
∴∠A=180°-124°=56°
【分析】根据∠BOC的度数计算得到∠OBC+∠OCB的度数，根据角平分线的性质求出∠ABC+∠ACB的度数，根据三角形的内角和定理得到结论即可。
15.【答案】x1 ＝ -3 ， x2 ＝ 1
【考点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线想交于点A和点B
∴关于x的方程的解为x1=-3，x2=1
【分析】根据题意，关于x的方程的解为抛物线和直线交点的横坐标即可得到答案。
16.【答案】 3.5
【考点】点与圆的位置关系，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BP
当y=0时，14x2-4=0，解得x1=4，x2=-4
∴点A（-4,0），点B（4,0）
∵Q为线段PA的中点
∴OQ为三角形ABP的中位线
∴OQ=12BP
∴当BP最大时，OQ最大
当BP过圆心C时，PB最大，如图点P运动到P'位置时，BP最大
∴BC=32+42=5
∴BP'=5+2=7
∴线段OQ的最大值为3.5
【分析】根据题意，由抛物线的解析式求出点A和点B的坐标，继而判断OQ为三角形ABP的中位线，根据点与圆的位置关系，求出答案即可。
17.【答案】 5
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
连接OD和BD
∵DE是切线
∴OD⊥DE
∵AB为直径
∴∠ADB=90°，AB=BC
∴AC=CD=45 ， 且 AO=OB
∴DO=BC，DE⊥OD
∴DE⊥EC
∴DE=CD2-CE2=80-64=4
∵tanC=BDCD=DEEC=48
∴BD=25
∴AB=AD2+DB2=10
∴OA=5
【分析】根据DE⊥EC，根据勾股定理可得DE=4，根据锐角三角函数求出DB的长度，继而根据勾股定理求出AB的长度，即可得到圆O的半径。
三、解答题 （本题共计8小题，共计62分）
18.【答案】 解：（2x+2）（x-1）=0
解得 x1=1 ， x2=-1 ．
【考点】一元二次方程的定义及相关的量，公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据题意，利用十字相乘法解一元二次方程，得到答案即可。
19.【答案】
【考点】作图﹣轴对称，作图﹣旋转
【解析】【分析】作出三角形OAB三个顶点关于CD的对称点，再连线得到图形即可；
（2）根据题意，作出边AB和边BO绕点B顺时针90°的边，得到旋转后的三角形即可。
20.【答案】 （1）解：由题意可得： y=-x2+4x-6=-(x2-4x)-6=-(x2-4x+22-4)-6=-(x-2)2-2
（2）解： a=-1<0 ，图像开口向下，对称轴 x=2 ，所以当 x>2 时， y 随 x 的增大而减小.
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）通过配方，将二次函数的解析式由一般式化为顶点式；
（2）结合抛物线的开口方向和对称轴的位置求解。
21.【答案】 （1）证明：先证 ∠DBC=∠CAD=∠BAD
得 ∠DBE=∠DBC+∠CBE=∠BAD+∠ABE=∠DEB
得 DE=DB ．
（2）解：连结 CD ，由 ∠BAD=∠CAD ，
得 CD=BD=4
∵ ∠BAC=90∘
∵是 ⊙O 的直径， ∠BDC=90∘
∴ BC=BD+CD=42
所以 ⊙O 的半径为 12×42=22 ．
【考点】角平分线的性质，勾股定理，圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质以及圆周角定理计算得到∠DBC=∠CAD，根据三角形外角的性质，即可得到DE=DB；
（2）根据两个弧相等，由圆周角定理即可得到BC为直径，根据勾股定理求出BC的长度，继而得到三角形ABC外接圆的半径即可。
22.【答案】 （1）解：根据题意得：
y=（200+20x）×（6﹣x）=﹣20x2﹣80x+1200
（2）解：令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960，则有960=﹣20x2﹣80x+1200，
即x2+4x﹣12=0，
解得：x=﹣6（舍去），或x=2．
答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元
【考点】二次函数的实际应用-销售问题，二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据“每天利润=每天销售质量×每千克的利润”即可得出y关于x的函数关系式；（2）将y=960代入（1）中函数关系式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
23.【答案】 （1）证明：∵ Δ=b2-4ac=[-(t-1)]2-4(t-2)
=t2-6t+9=(t-3)2≥0 ，
∴对于任意实数 t ，方程都有实数根．
（2）解： ∵一元二次方程的一个根是 x=3 ．
∴ 32-3(t-1)+t-2=0 ，
∴ t=5 ．
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，由判别式的值大于等于0，即可得到方程都有实数根；
（2）将方程的根x=3代入方程，即可得到t的值。
24.【答案】 （1）解：连结 OE ，
∵ DE 垂直 OA ， ∠B ＝ 30∘ ，
∴ CE=12DE ＝ 3 ， AD=AE ，
∴ ∠AOE ＝ 2∠B ＝ 60∘ ，
∴ ∠CEO ＝ 30∘ ， OC=12OE ，
由勾股定理得 OE ＝ 23 ；即圆O的半径为 23 。
（2）证明：∵ EM // BD ，
∴ ∠M ＝ ∠B ＝ 30∘ ， ∠M+∠AOE ＝ 90∘ ，
∴ ∠OEM ＝ 90∘ ，即 OE⊥ME ，
∴ EM 是 ⊙O 的切线
（3）解：再连结 OF ，
当 ∠APD ＝ 45∘ 时， ∠EDF ＝ 45∘ ，
∴ ∠EOF ＝ 90∘ ，
S阴影=14π(23)2-12(23)2 ＝ 3π-6 ．
【考点】平行线的性质，垂径定理，圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理求出OC和OE的关系，即可得到CE的长度，根据直角三角新的性质求出∠OEC为30°，继而由三角函数的性质求出圆的半径即可；
（2）根据平行线的性质即可得到∠MEO=90°，即可得到EM为圆的切线；
（3）根据∠APD的度数为45°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得到∠EOF的度数，求出阴影部分的面积即可。
25.【答案】 （1）解：由题可得 OB=3 ，
∴ OC=OB=3 ，
∴点 C 的坐标为 (0,3) ， c=3 .
将点 A ， B 坐标代入抛物线解析式得：
{a+b+3=0，9a-3b+3=0，
解得 {a=-1，b=-2，
∴ 物线解析式为 y=-x2-2x+3 ．
（2）解：设直线 BC 的解析式为 y=kx+b ，
将 B(-3,0) ， C(0,3) 代入，
可得 {-3k+b=0，b=3，
解得： {k=1，b=3， ∴直线 BC 的解析式为 y=x+3 .
过点 E 作 EF//y 轴交 BC 于点 F ，
设 E(a,-a2-2a+3) ，则 F(a,a+3) ，
∴ S△BCE=12×3×(-a2-2a+3-a-3)
=-32a2-92a=-32(a2+3a94-94)
=-32(a+32)2+278 ，
∴ △BCD 面积最大值 278 ．
（3）解：如图所示，过 A1 作 A1N 垂直对称轴交对称轴于点 N ，
设对称轴与 x 轴交于点 M ，
∵ y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4 ，
∴抛物线的对称轴为 x=-1 .
设点 P 的坐标为 (-1,m) ，由题可知 PA=PA1 ， ∠APA1=90∘ ，
则 ∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90∘ ，
∴ ∠NA1P=∠MPA .
在 △A1NP 和 △APM 中，
{∠A1NP=∠PMA，∠NA1P=∠MPA，PA1=AP，
∴ △A1NP≅△PMA(AAS) ，
∴ A1N=PM=|m| ， PN=AM=2 .
下面分两种情况讨论．
①当 m≥0 时，点 A1 的坐标为 (m-1,m+2) ，
代入抛物线解析式可得 m+2=-(m-1)2-2(m-1)+3 ，
解得 m=1 或 m=-2 （舍去），
∴此时点 P1 的坐标为 (-1,1) ；
②当 m<0 时，点 A2 的坐标为 (m-1,m+2) ，
代入抛物线解析式可得 m+2=-(m-1)2-2(m-1)+3 ，
解得 m=1 （舍去）或 m=-2 ，
∴此时点 P2 的坐标为 (-1,-2) ．
综上所述，点 P 的坐标为 (-1,1) 或 (-1,-2) ．
【考点】三角形全等及其性质，旋转的性质，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据抛物线经过点A和点B，由两点的坐标，利用待定系数法即可得到二次函数的解析式；
（2）根据函数的性质求出四边形BOCE的最大值以及对应的E的横坐标的值，即可得到E点的坐标；
（3）根据点P在抛物线的对称轴上，设出点P的坐标为（-1，m），根据旋转的性质以及三角形全等的判定定理和性质，求出点的坐标，即可得到哦答案。
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