湖北省宜昌市第一中学2020年秋季学期高一年级期中考试数学试卷

宜昌市第一中学2020年秋季学期高一年级期中考试数 学 答 案1.已知集合,,则(    )A.  B.  C.  D. 【答案】B【详解】,2.设，则“”是“”的（　　）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A3.下列每组函数是同一函数的是（  　）A.  B. C.  D. 【答案】D4.设函数，则（    ）A.  B. -1 C.  D. 【答案】A5.已知，则A.  B.  C.  D. 【答案】B6.若命题“存在,使”是真命题,则实数的取值范围是(    )A.  B. C.   D. 【答案】B7.已知集合,,若,则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 【答案】A8.已知，则的最小值为（    ）.A. 9 B.  C. 5 D. 【答案】B.，且，，当且仅当，即时，取得最小值2.的最小值为. 9.下列命题正确的是（    ）A. 偶函数的图象一定与轴相交；         B. 任取，均有；C. 在同一坐标系中，与的图象关于轴对称；D. 在上是减函数．【答案】BC【详解】中，为偶函数，但与轴无交点，错误；中，在同一坐标系中画出与的图象，如下图所示：由图象可知，当时，，正确；中，与关于轴对称，正确；中，当，时，不满足单调递减的定义；的单调递减区间应为：和，错误.10.已知,则下列选项正确的是(    )A.  B.        C.      D. 【答案】BCD【详解】对于A,由,可得,故A错误;.综上所述,正确的是: BCD.11.如图所示是函数的图象,图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交,则以下描述正确的是(    )A. 函数的定义域为       B. 函数的值域为C. 此函数在定义域内是增函数      D. 对于任意的,都有唯一的自变量与之对应【答案】BD【详解】对于A,由函数的图象可知,函数的定义域为,故A不正确;对于C,函数在是增函数,结合图象可知,此函数在定义域内不是增函数,故C错误。12.以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．则下列命题中正确的是：（    ）A．设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”B．函数的充要条件是有最大值和最小值C．若函数，的定义域相同，且，，则D．若函数有最大值，则【答案】ACD【解析】对D，函数有最大值，假设，当时，，，，则，与题意不符； ，即函数，当时，，，即；当时，；当时，，，即．，即，故命题D是真命题． 13. 已知，则________________.【答案】【详解】，，。已知函数 是上的增函数，则的取值范围是________.【答案】【解析】，∴解可得，故答案为.15.已知，当时，恒为正值，则实数的取值范围是________.【答案】【详解】解：令，则，若时，恒为正值，则对恒成立，，综上所述，，即实数的取值范围为.16.若实数满足，则的最大值为________.【答案】【详解】由，得，设，其中.则，从，记，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为. 17.计算：（1）；（2）．【答案】(1);(2)【详解】(1)(2)18. 已知集合，，。（1）（2）若，求的取值范围.【答案】．（1），或；（2），．.【详解】（1）因为集合，所以，∵或，∴或；（2）由（1）知，①当时，满足，此时，得；②当时，要，则，解得；由①②得，，综上所述，所求实数的取值范围为，．19.已知函数,若函数是定义域上的奇函数,且.（1）求的值;（2）判断函数在上的单调性,并用定义进行证明.【答案】（1）,.（2）函数在上的单调递增.【详解】（1）化简可得:,解得:,即 又,,即,综上可得,.（2）由（1）可知,故函数在上的单调递增.证明:任取, ,,, ,即,函数在上的单调递增.20.已知定义域为的函数满足对任意，都有．（1）求证：是偶函数；（2）设时，①求证：在上是减函数；②求不等式的解集．【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析, ②【详解】（1）易得，取，得，即是偶函数．（2）①设，则，由时，得，则，即在上为减函数，②由是偶函数且在上是减函数，则不等式等价为，即得，得，即或或，即不等式的解集为.21.通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律\left(f(t)越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知：(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中?能持续多少分钟?(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中?(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?【答案】（1）讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟；（2）讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中；（3）经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.【详解】(1)当0<t⩽10时,f(t)=−t2+24t+100=−(t−12)2+244是增函数,且f(10)=240；当20<t⩽40时,f(t)=−7t+380是减函数，且f(20)=240.所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟．(2)f(5)=195,f(25)=205，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．(3)当0<t⩽10时,f(t)=−t2+24t+100=180，则t=4；当20<t⩽40时,令f(t)=−7t+380=180，t≈28.57，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57−4=24.57>24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．22.已知函数是定义域为的奇函数.（1）求实数的值；（2）若且在 上的最小值为，求的值.【答案】（1）（2）【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以所以，                                         （2）因为，所以，解得或（舍去），所以，令，则，所以，所以在上的最小值为，所以当时， ，解得或（舍去），当时， ，解得，综上可知：.