山西省榆社中学2021届高三上学期第六次模块诊断 数学（理）(含答案) 试卷

山西省榆社中学2021届高三上学期第六次模块诊断

数  学 试 题（理科）

考查时间：120分钟        满分：150分         考查内容：高考综合

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数

A．1 B． C．2 D．

3．若，，则

A．2 B．1 C．1 D．0

4．已知是等比数列，是它的前项和，若，且，则

A.33            B.93                 C.-33              D.-93

5．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A．若，则 B．若，则

C．若,则           D．若，则

6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距为

（参考数据：，，，）

A. B. C． D．

7．若数列的通项公式是，则

A．45 B．65 C．69 D．

8．直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为

A． B． C． D． 

9．若函数的值域为，则的取值范围是

A． B． C． D．

10．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线C的离心率是

A． B． C． D．5

11．已知，，在函数，的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当时，函数的图象恒在轴的上方，则的取值范围是

A． B． C． D．

12．若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数(，e为自然对数的底数)，定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知函数的上的奇函数，当时，，且曲线在点处的切线斜率为，则______．

14.已知向量，，且，则____.

15.如图，直三棱柱中,，， ，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断：

① 直线与直线是异面直线；②一定不垂直；

③ 三棱锥的体积为定值； ④的最小值为.

其中正确的序号序号是______.

16.的三个内角所对的边分别为，，，，且，则________.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题12分）在中，，，点在上，.

（1）求的长；

（2）若的面积为，求的长.

18．（本小题12分）已知等差数列是递增数列，其前项和为，若是方程的两个实根．

（1）求及；

（2）设，求数列的前项和．

19. （本小题12分）如图，在梯形中，//，，，四边形为正方形，平面平面.

（1）求证：平面平面；

（2）点在线段上运动，是否存在点使平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为，若存在，求线段的长，若不存在，说明理由.

20. （本小题12分）已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

21．（本小题12分）已知函数.

（1）若函数，试讨论的单调性；

（2）若，，求的取值范围.

22．（本小题10分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）把的参数方程化为极坐标方程，并求曲线的直角坐标方程；

（2）求与交点的极坐标（）．

2020—2021学年第一学期高三年级第六次模块诊断XX试题评分细则

1-6 BDABDB   7-12BCDBDB

13.-2  14.1  15.①③④   16.

17．在△ABC中，，，点D在BC上，.

（1）求AD的长；

（2）若△ABD的面积为，求AB的长；

解：（1）∵,且

∴， ……………2分

正弦定理有，得；……………5分

（2）∵，

，

∴，得，  ……………8分

又∵，

由余弦定理得，

∴．……………12分

18．已知等差数列是递增数列，其前项和为，若是方程的两个实根．

（1）求及；

（2）设，求数列的前项和．

解：（1）因为等差数列为递增数列，且，是方程的两根，

所以，，……………2分

解得或

又，则，则……………4分

故，．……………6分

（2），……………8分

可得前n项和

．……………12分

19. 如图，在梯形中，//，，，四边形为正方形，平面平面.

（1）求证：平面平面；

（2）点在线段上运动，是否存在点使平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为，若存在，求线段的长，若不存在，说明理由.

（1）证明：在梯形中，

因为//，，，所以，

又因为，取中点P，连接，则，，易知，

所以，

所以.……………3分

因为平面平面，平面平面，平面

所以平面，又平面.

所以平面平面；……………5分

（2）由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，，，

所以，……………6分

设为平面的一个法向量，

由得

取，则，……………8分

因为是平面的一个法向量……………9分

所以……………11分

可得，即.……………12分

20．已知椭圆的离心率为，是椭圆上的一点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

（1）∵，，∴，∴，…………3分

将代入椭圆，∴，∴.……………5分

（2）显然斜率存在，设方程 为：，，

，∴.

设，，，∴，，……………7分

∵，∴时……………9分

，……………11分

∴直线过定点.……………12分

21．已知函数.

（1）若函数，试讨论的单调性；

（2）若，，求的取值范围.

解：（1）因为， ……………1分

所以，……………2分

①当时，，在上单调递减. ……………3分

②当时，令，则；令，则，

所以在单调递增，在上单调递减. ……………5分

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）因为，可知，

，

令，得.……………6分

设，则.

当时，，在上单调递增，

所以在上的值域是，即.……………8分

当时，没有实根，且，

在上单调递减，，符合题意. ……………9分

当时，，

所以有唯一实根，

当时，，在上单调递增，，不符合题意. ……………11分

综上，，即的取值范围为.……………12分

22．已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）把的参数方程化为极坐标方程，并求曲线的直角坐标方程；

（2）求与交点的极坐标（）．

解：（1）将消去参数，

化为普通方程，

即，……………2分

将代入，

得，

所以的极坐标方程为；……………4分

，，，

所以的普通方程为.……………6分

（2）由，解得或，……………8分

所以与的交点的极坐标分别为，．……………10分