高中人教版新课标A2.1.1指数与指数幂的运算精品教学设计及反思

2.1.1  指数与指数幂的运算

教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；

2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；

3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质

教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解

教学方法：学导式

教学过程：

第一课时    

引例：填空

（II）讲授新课

1.引入：

（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为可看作,所以可以归入性质；又因为可看作，所以可以归入性质(n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（）的概念。

（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：

分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a的n次方根。由此，可有：

2.n次方根的定义：（板书）

问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？是否正确？

分析过程：

解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为=-32，所以-2是-32的5次方根；

因为，所以a2是a6的3次方根。

结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为。

从而有：，，

解：因为，，所以2和-2是16的4次方根；

因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。

结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：

其中表示a的正的n次方根，表示a的负的n次方根。

解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0n=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。

结论3：0的n次方根是0，记作当a=0时也有意义。

这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：

3.n次方根的性质：（板书）

        其中    叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。

注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。

4.根式运算性质：（板书）

①，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？

由所得结果，可有：（板书）

②

性质的推导如下：

注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。

（III）例题讲解

注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。

（III）课堂练习：求下列各式的值

（IV）课时小结

通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。

（V）课后作业

1、书面作业：

a.求下列各式的值

b.书P69习题2.1 A组题第1题。

2、预习作业：

a.预习内容：课本P59—P62。

b.预习提纲：

（1）根式与分数指数幂有何关系？

（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？

第二课时

1.填空

（II）讲授新课

分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解：；

也可根据n次方根的性质来解：。

问题1：观察，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？

，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。

问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：是否可行？

分析：假设幂的运算性质对于分数指数幂也适用，那么，这说明也是的3次方根，而也是a2的3次方根（由于这里n=3，a2的3次方根唯一），于是。这说明可行。

由此可有：

1.正数的正分数指数幂的意义：<板书>

)

注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。

问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？

分析：正例：等等；

反例：；又如：

。这样就产生了混乱，因此“a>0”这个限制不可少。至于，这是正确的，但此时不能理解为分数指数幂，不能代表有理数（因为不能改写为），这只表示一种上标。而，那是因为，负号内部消化了。

问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？

分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。

2.负分数指数幂：<板书>

3.0的分数指数幂：（板书）

0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。

说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性；

（2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；

（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）

；

 (4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。

（5）同样可规定

①     ap表示一个确定的实数；

②     上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关念和证明从略；

③     指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。

（III）例题讲解（投影2）

分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。

解：

分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。

解：

（IV）课堂练习

课本P63练习：1、2、3、4

（V）课时小结

通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质。

（V）课后作业

1、书面作业：课本P69习题2.1A组题第2,3,4.

2、预习作业

（1）预习内容：课本P61例题5。

（2）预习提纲：

a.根式的运算如何进行？

b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？

教学后记                  

第三课时

教学目标                 

1.掌握根式与分数指数幂的互化；

2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值；

3.培养学生的数学应用意识。

教学重点：有理指数幂运算性质运用。

教学难点：化简、求值的技巧

教学方法：启发引导式

教学过程              

（I）复习回顾

1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质

2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0）

（II）讲授新课

例1．计算下列各式（式中字母都是正数）

分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：

①     结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数；

③ 根式需化成最简根式。

 例2．计算下列各式：

分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。

（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。

例3．求值：

分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；

要求：例3学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。

（III）课堂练习

计算下列各式：

要求：学生板演练习，做完后老师讲评。

（IV）课时小结

通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。

（V）课后作业

第二教材有关题目