高中数学人教版新课标A必修13.1.1方程的根与函数的零点优质教案

“方程的根与函数的零点”

【教学目标】

一、知识与技能

1、通过探索一元二次方程的实根与二次函数图象之间的关系，让学生领会方程的根与函数零点之间的联系，了解零点的概念.

2、以具体函数在某区间上存在零点的特点，探索在某区间上图象连续的函数存在零点条件以及个数，理解并掌握在某个区间上图象连续的函数零点存在的判定方法.

    二、过程与方法

    1、采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件。

    2、在课堂探究中渗透由特殊到一般的认识规律，渗透数形结合思想及转化思想以及函数与方程的思想，培养学生观察、分析、归纳、抽象和概括能力.

    三、情感、态度、价值观

    努力营造平等、民主的课堂气氛，以学生为主体，营造学习氛围，使学生产生热爱学习数学的积极心理，引导学生进行积极主动的学习，培养良好的数学学习情感. 在函数与方程的联系中体验数形结合思想，培养学生的辨证思维能力，以及分析问题解决问题的能力．从易到难，使学生体会到学习数学的成功感，体验规律发现的快乐．

【教学重点】

1、体会函数的零点与方程根之间的联系；  

2、掌握函数零点存在的判定方法.

【教学难点】

    函数零点存在的判定方法及其运用.

【教学方式与手段】

    电脑，多媒体，黑板．

【教学过程设计】

（一）设问激疑，引出新知

方程解法史话：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.对于方程的求解问题，古今中外的数学家已经作了大量的工作，取得辉煌的成果，比如花拉子米公元825年左右编辑著成了《代数学》，比较完整地讨论了一次、二次方程的一般原理；我国南宋数学家秦九绍在《数书九章》中提出了“正负开方术”，此法可以求出任意次代数方程的正根；1824年，挪威数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。随着计算机技术的发展，方程的数值解法得到了广泛的运用，如二分法，牛顿法、弦截法等，今天我们将沿着前人走过的足迹一起探索对于一般方程的求解方法.
【设计意图：了解数学史，激发学生学习兴趣。】

问题1  求下列方程的根．

（1）；

（2）；

（3）.

问题2  观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标。

提出疑问：方程的根与函数图象与轴交点的横坐标之间有什么关系？

结论：方程的根就是函数图象与轴交点的横坐标。

问题3  若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备。】

（二）总结归纳，形成概念

1、函数的零点：

对于函数y=f（x），我们把使方程f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。

辨析练习：函数的零点是：（     ）

A．（-1，0），（3，0）；　 B．x=-1；  　   C．x=3；       D．-1和3．

问：零点是一个点吗？

说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．

②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根．

【设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解．】

2、你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？

等价关系：方程f（x）=0有实数根

函数y=f（x）的图象与x轴有交点

函数y=f（x）有零点

【设计意图：引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法；通过引导，学生自己归纳出三者之间的关系，并且明确提出转化思想。】

3、归纳函数的零点与方程根的关系

函数的零点与方程的根有什么联系和区别？

联系：（1）数值上相等：求函数零点就是求方程的根.

     （2）存在性相同：函数y=f(x)有零点

                 方程f(x)=0有实数根

                 函数y=f(x)的图象与x轴有交点

区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．

【设计意图：进一步理解零点的概念，灵活运用三者之间的关系。以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础．】

（三）初步运用，示例练习

例1：求函数的零点。

求函数零点的步骤：

  (1)令f(x)=0;

  (2)解方程f(x)=0；

  (3)写出零点

变式练习：求下列函数的零点。

(1)；   （2）

【设计意图：让学生再次认识零点的概念,熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．】

（四）实例探究,发现定理

重温《小马过河的故事》

问题4：观察下列三组画面，请你推断哪组画面一定能说明小马已经成功过河？

①

②

③                          

【设计意图：通过形象的生活问题，为引出函数零点存在性定理做准备.】

问题5：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？

观察下面函数的图象

1、在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．

2、在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．

3、在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．

函数零点存在性定理：

如果函数在区间[]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间（）内有零点，即存在，使得.这个也就是方程的根。

【设计意图：先从一个已研究过的、简单的函数入手，引导学生结合函数图象，通过计算、观察、比较得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有什么关系。总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析。】

定理辨析与灵活运用：

练习：判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例。

（1）已知函数在区间[]上连续，且，则f(x)在区间（）内有且仅有一个零点.                                             （     ）

（2）已知函数在区间[]上连续，且，则f(x)在区间（）内没有零点.                                             （     ）

（3）已知函数在区间[]上连续，且在区间（）内存在零点，则有。                                             （     ）

（4）已知函数在区间[] 满足，则f(x)在区间（）内存在零点.                                             （     ）

函数零点存在定理的四个注意点：

 （1）函数是连续的。

 （2）定理不可逆。

 （3）至少存在一个零点，不排除更多。

 （4）在零点存在性定理的条件下，如果函数具有单调性，函数y=f(x)在区间(a,b) 上存在唯一零点。

【设计意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解。】

（五）观察感知，例题学习

例2（教材第88页）求函数的零点个数。

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象．

由表或图象可知，f (2)<0，f (3)>0,则f (2) f (3)<0，这说明函数f(x)在区间(2，3)内有零点．

又由于函数f(x)在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．

解法2（估算）：估计f(x)在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：

结合函数的单调性，f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．

解法3（函数交点法）：将方程lnx＋2x－6=0化为lnx=6-2x，分别画出g(x)=lnx与h(x)=6-2x的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．

由图可知f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．

【设计意图：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数．解法3作为选讲内容，视学生基础而定。】

试一试：你能判断出方程 实数根的个数吗？

【设计意图：学以致用，练习强化学生的解题能力。】

小结：函数零点的求法.

① 代数法：求方程的实数根；

② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

口诀：函数零点方程根，形数本是同根生。是否存在端点判，函数连续要记清。

【设计意图：归纳总结函数零点的求法，通过口诀加深对本节内容的理解记忆。】

基础检测

1. 函数的零点个数为（    ）.

  A.  1    B. 2     C.  3      D. 4

2.若函数在上连续，且有．则函数在上（    ）.

A. 一定没有零点    B. 至少有一个零点 

  C. 只有一个零点    D. 零点情况不确定

3、方程的一个实数解的存在区间为（   ）

  A.(0,1)      B.(0,2)      C.(-1,1)      D.(1,2)

4. 函数的零点为              .

5. 若函数为定义域是R的奇函数，且在上有一个零点．则的零点个数为     .

能力提升（可供学生课外做作业）

6. 已知函数.

（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；

（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求值.

思考题：方程在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节．

【设计意图：练习强化学生解题能力，并利用拓展延伸对于零点存在取件进一步精确化，为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备．】

（六）反思小结,提升能力

学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来！

1．函数零点的定义

2．等价关系 函数Y=f(x)的零点       函数Y=f(x)的图象与X轴交点的横坐标

              方程f(x)＝0实数根

3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断

【设计意图：引导学生从知识和数学思想上去归纳总结.让学生对本节课有个完整的,系统的认识.培养他们的概括能力,同时也对本节课起到反馈的作用.及时评价与反馈,注重个体差异性.】

（七）板书设计