江苏省启东市2021届高三上学期期中考试 数学 (含答案)
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数学试题
(考试时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合，，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（ ▲ ）
A． B． C． D．
2． “”是“”的（ ▲ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
3．函数的单调减区间是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
4． 《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ▲ ）
A．8 B．16 C．24 D．28
5． 设是等比数列的前项和，已知，则（ ▲ ）
A．－512 B．－8 C．－2 D．－1
6．若实数a，b，c满足，，，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
7． 已知角α的终边经过点，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
8． 设是定义在R上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ▲ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9． 对于任意向量a，b，c，下列命题正确的是（ ▲ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a·b＝b·c，则a＝c
C．若a＝b，b＝c，则a＝c D．若|a－b|＝|a＋b|，则a·b＝0
10．设正实数满足，则下列说法正确的是（ ▲ ）
A．的最小值为4 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ▲ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称
C．对任意x∈R，都有 D．函数的最小值为－3
12．已知正方体的棱长为4，点M，N分别是棱A1D1，CD的中点，点P在四边形ABCD内，点Q在线段BN上，若，则（ ▲ ）
A．点P的轨迹的长度为2π B．线段MP的轨迹与平面的交线为圆弧
C．PQ长度的最小值为 D．PQ长度的最大值为2＋2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应
位置上。
13．已知函数，则 ▲ ．
14．在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，，则这个“堑堵”的外接球的表面积为 ▲ ．
15．已知圆内接四边形ABCD中，，则＝ ▲ ．
16．已知函数f(x)＝(x2－x)(x2＋mx＋n)的图象关于直线x＝2对称，则m＋n＝ ▲ ；f(x)的最小值为 ▲ ．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
在①；②；③这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足 ▲ ．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和，以及使得取得最大值时的值．
18．(本小题满分12分)
如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，且．
（1）若，求角A的大小；
（2）若，求的值．
19．(本小题满分12分)
如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点.
（1）证明：EF∥平面ABC；
（2）求直线C1B与平面BDE所成角的正弦值.
20．(本小题满分12分)
如图所示的某种容器的体积为18π dm3，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为r dm，圆柱的高为h dm．已知顶部半球面的造价为，圆柱的侧面造价为，圆柱底面的造价为．
（1）将圆柱的高h表示为底面半径r的函数，并求出定义域；
（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r为多少？
21．(本小题满分12分)
已知函数的图象在处的切线方程为x＋y－3＝0．
（1）求和的值；
（2）对，成立，求实数的取值范围．
22．(本小题满分12分)
已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）求的最值；
（2）设函数有且只有2个不同的零点，求实数的取值范围．
2020～2021学年第一学期期中考试
高三数学试题及评分建议
(考试时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合，，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（ ▲ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2． “”是“”的（ ▲ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
3．函数的单调减区间是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
4． 《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ▲ ）
A．8 B．16 C．24 D．28
【答案】C
5． 设是等比数列的前项和，已知，则（ ▲ ）
A．－512 B．－8 C．－2 D．－1
【答案】B
6．若实数a，b，c满足，，，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
【答案】D
7． 已知角α的终边经过点，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
【答案】A
8． 设是定义在R上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ▲ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9． 对于任意向量a，b，c，下列命题正确的是（ ▲ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a·b＝b·c，则a＝c
C．若a＝b，b＝c，则a＝c D．若|a－b|＝|a＋b|，则a·b＝0
【答案】CD
10．设正实数满足，则下列说法正确的是（ ▲ ）
A．的最小值为4 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ABD
11．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ▲ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称
C．对任意x∈R，都有 D．函数的最小值为－3
【答案】BCD
12．已知正方体的棱长为4，点M，N分别是棱A1D1，CD的中点，点P在四边形ABCD内，点Q在线段BN上，若，则（ ▲ ）
A．点P的轨迹的长度为2π B．线段MP的轨迹与平面的交线为圆弧
C．PQ长度的最小值为 D．PQ长度的最大值为2＋2
【答案】AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应
位置上。
13．已知函数，则 ▲ ．
【答案】
14．在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，，则这个“堑堵”的外接球的表面积为 ▲ ．
【答案】9π
15．已知圆内接四边形ABCD中，，则＝ ▲ ．
【答案】
16．已知函数f(x)＝(x2－x)(x2＋mx＋n)的图象关于直线x＝2对称，则m＋n＝ ▲ ；f(x)的最小值为 ▲ ．（本题第一空2分，第二空3分）
【答案】5；－
四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
在①；②；③这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足 ▲ ．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和，以及使得取得最大值时的值．
【解】（1）选条件①．因为数列是等差数列，设公差为，，，得，……………3分
所以．……………5分
选条件②．因为数列是等差数列，设公差为，由得
，得，……………3分
以下同①.
选条件③．因为数列是等差数列，设首项为，公差为，
由得，
解得，……………3分
以下同①．
（2）由（1）知=，……………7分
当时，当时，，
所以当时，最大．……………10分
18．(本小题满分12分)
如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，且．
（1）若，求角A的大小；
（2）若，求的值．
【解】（1）设，则，，
因为,
又因为，所以，……………3分
即，所以，
因为，所以，所以.……………6分
（2）因为，，
所以，……………8分
又因为，
所以，
所以，，……………10分
又因为，
所以．……………12分
19．(本小题满分12分)
如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点.
（1）证明：EF∥平面ABC；
（2）求直线C1B与平面BDE所成角的正弦值.
【解】（1）如图，取的中点G，连结，．
在△BCC1中，因为F为的中点，所以∥．……………2分
在三棱柱中，∥，且E为的中点，
所以∥.
所以四边形是平行四边形.
所以∥.……………4分
因为平面，平面，
所以∥平面．……………6分
（2）以D为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，
因为所以
所以．
所以，……………8分
设平面的的一个法向量为，
则，即
取，则，
所以，……………10分
所以，
直线与平面所成角为，则与或它的补角互余，
所以.……………12分
20．(本小题满分12分)
如图所示的某种容器的体积为18π dm3，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为r dm，圆柱的高为h dm．已知顶部半球面的造价为，圆柱的侧面造价为，圆柱底面的造价为．
（1）将圆柱的高h表示为底面半径r的函数，并求出定义域；
（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r为多少？
【解】（1）因为半球的半径与圆柱底面半径都为，
所以半球体积为圆柱的体积为．……………2分
因为所以
所以.……………4分
因为所以.因此.
所以，定义域为．……………6分
（2）半球的表面积，圆柱的侧面积，圆柱底面积为．
容器总造价为
．……………8分
令，则，
令，得，
当时，，在上为单调减函数；
当时，，在上为单调增函数．……………10分
因此，当且仅当时，有最小值27，有最小值元.
所以，总造价最低时，圆柱的底面半径为．……………12分
21．(本小题满分12分)
已知函数的图象在处的切线方程为x＋y－3＝0．
（1）求和的值；
（2）对，成立，求实数的取值范围．
【解】（1）因为，所以，
由函数的图象在处的切线方程为x＋y－3＝0，
知，，得.……………3分
（2）因为对，成立，所以恒成立，
令
则，……………5分
设，，则，从而，……………7分
因为，，所以，
因为的图象在上是不间断的，
所以，满足，……………9分
当时，， 单调递增；
当时，，单调递减．
从而在时取得最大值，
所以的取值范围为．……………12分
法二：因为对，成立，所以恒成立，
即恒成立，……………5分
记，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
从而在时取得最大值，……………9分
记，则，，所以，
因为的图象在上是不间断的，所以，满足，
即，使成立．
所以有最大值3，从而．……………12分
22．(本小题满分12分)
已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）求的最值；
（2）设函数有且只有2个不同的零点，求实数的取值范围．
【解】（1）因为，
令，即，所以，
列表如下：
x | －1 | ||
－ |
| ＋ | |
↘ | 极小值 | ↗ |
……………2分
所以在递减，在递增，
所以当时，有最小值，无最大值. ……………4分
（2），注意到，
则，
当时，，单调递增，不合题意；……………5分
当时，设，
则在上恒成立，
所以在上单调递增．
因为，又注意到，
所以，
从而，所以，
根据零点存在性定理知，存在，使得，……………7分
当时，，递减；当时，，递增．
注意到，当时，只有一个零点，
这时，即；……………8分
当时，，则，
又因为在递减，递增，，所以，
又因为，所以，
因为，
因为，，所以，
所以在上有一个零点，另一个零点为1，
所以当时，有两个零点. ……………10分
当时，，，
所以存在使得，
又因为在递增，注意到，所以，
又因为，而，
可知所以在上有一个零点，另一个零点为1，
所以当时，有两个零点．
综上可知，实数k的取值范围是．……………12分
