高中数学讲义微专题06 函数的图像

微专题06 函数的图像

一、基础知识

1、做草图需要注意的信息点：

   做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点

（1）一次函数：,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线

特点：两点确定一条直线

信息点：与坐标轴的交点

（2）二次函数：，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确

特点：对称性

信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点

（3）反比例函数：,其定义域为，是奇函数，只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线

特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线

信息点：渐近线

注：

（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，轴是渐近线，那么当，曲线无限向轴接近，但不相交，则函数在正半轴就不会有轴下方的部分。

（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若（或）时，常数，则称直线为函数的水平渐近线

例如： 当时，，故在轴正方向不存在渐近线

             当时，，故在轴负方向存在渐近线

（3）竖直渐近线的判定：首先在处无定义，且当时，（或），那么称为的竖直渐近线

例如：在处无定义，当时，，所以为的一条渐近线。

综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中：与坐标轴的交点；对称轴与对称中心；极值点；渐近线。

例：作出函数的图像

分析：定义域为，且为奇函数，故先考虑正半轴情况。

故函数单调递增，，故函数为上凸函数，当时，无水平渐近线，时，，所以轴为的竖直渐近线。零点：，由这些信息可做出正半轴的草图，在根据对称性得到完整图像：

2、函数图象变换：设函数，其它参数均为正数

（1）平移变换：

：的图像向左平移个单位

：的图像向右平移个单位

：的图像向上平移个单位

：的图像向下平移个单位

（2）对称变换：

：与的图像关于轴对称

：与的图像关于轴对称

：与的图像关于原点对称

（3）伸缩变换：

：图像纵坐标不变，横坐标变为原来的

：图像横坐标不变，纵坐标变为原来的

（4）翻折变换：

：即正半轴的图像不变，负半轴的原图像不要，换上与正半轴图像关于轴对称的图像

：即轴上方的图像不变，下方的图像沿轴对称的翻上去。

3、二阶导函数与函数的凹凸性：

（1）无论函数单调增还是单调减，其图像均有3种情况，

若一个函数的增减图像为                  则称函数为下凸函数

若一个函数的增减图像为                  则称函数为上凸函数

（2）上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快

     下凸函数特点：增区间增长速度越来越快，减区间下降速度越来越慢

（3）与导数的关系：设的导函数为（即的二阶导函数），如图所示：增长速度受每一点切线斜率的变化情况的影响，下凸函数斜率随的增大而增大，即为增函数；上凸函数随的增大而减小，即为减函数；

综上所述：函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定，进而能用二阶导函数的符号进行求解。

二、方法与技巧：

1、在处理有关判断正确图像的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下：

（1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图像位于轴上方的区域表示原函数的单调增区间，位于轴下方的区域表示原函数的单调减区间

（2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分

（3）极值点

（4）对称性（奇偶性）——易于判断，进而优先观察

（5）函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部分，减区间为函数的上凸部分。其单调性可由二阶导函数确定

2、利用图像变换作图的步骤：

（1）寻找到模板函数（以此函数作为基础进行图像变换）

（2）找到所求函数与的联系

（3）根据联系制定变换策略，对图像进行变换。

例如：作图：

第一步寻找模板函数为：

第二步寻找联系：可得

第三步制定策略：由特点可得：先将图像向左平移一个单位，再将轴下方图像向上进行翻折，然后按照方案作图即可

3、如何制定图象变换的策略

（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：

① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换

② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换

例如：：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤

      ：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换

（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：

① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求

② 横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化

例如：可有两种方案

方案一：先平移（向左平移1个单位），此时。再放缩（横坐标变为原来的），此时系数只是添给，即

方案二：先放缩（横坐标变为原来的），此时，再平移时，若平移个单位，则（只对加），可解得，故向左平移个单位

③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行

例如：有两种方案

方案一：先放缩：，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即

方案二：先平移：，则再放缩时，若纵坐标变为原来的倍，那么，无论取何值，也无法达到，所以需要对前一步进行调整：平移个单位，再进行放缩即可（）

4、变换作图的技巧：

（1）图像变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图像的精确性

（2）图像变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与轴的交点等

三、例题精析：

例1：己知函数，其导数的图象如图所示，则函数的极大值是（    ）

 A.    B.     C.        D.

思路：由图像可知：时，,单调递增，时，,单调递减，所以的极大值为

答案：B

小炼有话说：观察导函数图像时首要关注的是函数的符号，即是在轴的上方还是下方，导函数的符号决定原函数的单调性

例2：设函数可导，的图象如图所示，则导函数的图像可能为（　　）

思路：根据原函数的图像可得：在单调递增，在正半轴先增再减再增，故在负半轴的符号为正，在正半轴的符号依次为“正负正”，观察四个选项只有D符合

答案：D

小炼有话说：本题可直接由导函数的符号来排除其他选项，若选项中也有符合D中“ 负半轴的符号为正，在正半轴的符号依次为‘正负正’”，那么可观察第二条标准：从图上看在负半轴中，函数增长的速度越来越快，则说明切线斜率随的增大而增大，进而导函数在负半轴也单调递增，依次类推可得到正半轴的情况，D选项依然符合特征

 例3：函数的部分图象为（     ）

思路：，可得在单调递增，在单调递减，且可估计当，即，所以为函数的渐近线，当由此可判断出图像正确

答案：A

小炼有话说：（1）本题考查的是通过分析函数性质作图，单调性是非常重要的一个要素，通过单调性也可排除其他三个选项

（2）关于渐近线的判断：对于，可这样理解，时，均趋向正无穷，但的速度更快，进而伴随着，将远远大于，进而比值趋于0，当,增长速度的排名为：直线（一次函数）<二次函数<指数函数

例4：函数的图像可能是（      )

思路：观察解析式可判断出为奇函数，排除A,C. 当时，,故选择B

答案：B

小炼有话说：有两点可以优先观察：一个是奇偶性，则图像具有对称性，只需考虑正半轴的情况即可；二是含有绝对值，可利用的符号去掉绝对值，进而得到正半轴的解析式。

例5（2015 浙江文）：函数 的图像可能为（   ）

思路：观察4个选项的图像，其中A，B图像关于轴对称，C,D图像关于原点中心对称。所以先判断函数奇偶性，可判断出

所以为奇函数，排除A，B，再观察C,D的区别之一就是的符号，经过计算可得，所以排除C

答案：D

例6：已知为的导函数，则的图像是(    )

思路：，，可判断为奇函数，图像关于原点中心对称，排除。因为，排除。故正确。

答案：A

小炼有话说：可优先判断出奇偶性，进而排除一些选项，对于选项而言，其不同之处有两点，一点是从处开始的符号，解析的思路也源于此，但需要代入特殊角进行判断，A选项的图中发现在轴正半轴中靠近轴的函数值小于零，从而选择最接近0的特殊角，除此之外，图像的不同之处还在于从开始时的单调性，所以也可对求导，，则时，，即应先减再增。所以排除C

例7：下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是(　　 )

A．①②     B．③④      C．①③           D．①④

思路：如图所示：在图①、②在每个区间上函数的单调性与对应的导数的符号是正确的，即单调增区间导数大于零，单调减区间上导数小于零；在③中显示在区间上导函数的值为负值，而该区间上的函数图象显示不单调，二者不一致，所以③不正确；在④图象显示在区间上导函数的值总为正数，而相应区间上的函数图象却显示为减函数，二者相矛盾，所以不正确.故选B.

答案：B

小炼有话说：要注意导函数图像与原函数图像的联系：导函数的符号与原函数的单调性相对应，导函数的增减与原函数的凹凸性相对应。

例8：已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为(     )

A.               B.

C.      D.

思路：由图像可得：时，，时，，所以所解不等式为：或，可得：

答案：D

例9：函数的大致图象如图所示,则等于(　 　)

A.              B.          C.        D.

思路：由图像可得：为的极值点，为函数的零点

,即是方程的两个根，

,,

由

答案：C

小炼有话说：在观察一个函数图像时，有几个地方值得关注：

极值点——单调区间的分界点，导函数的零点；

零点——函数符号的分界点；

单调性——决定导函数的符号。

例10：（2015 安徽）函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（    ）

A.           B.

C.            D.

思路：观察函数图像突出的特点便可确定的符号：特点1：渐近线在正半轴，从解析式可知的竖直渐近线为即，所以

特点2： 时，仍大于0，通过解析式可得的符号由决定，所以从“时，仍大于0”中可推断出

特点3：图像与轴交点纵坐标为正，，所以

综上所述，选项

答案：C