高中数学讲义微专题44 线性规划——非常规问题
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一、基础知识：
在线性规划问题中，除了传统的已知可行域求目标函数最值之外，本身还会结合围成可行域的图形特点，或是在条件中设置参数，与其它知识相结合，产生一些非常规的问题。在处理这些问题时，第一依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确计算。做到以上三点，便可大大增强解决此类问题的概率。
二、典型例题：
例1：不等式组所表示的平面区域为，若的面积为，则的最小值为________
思路：先作出平面区域。直线，可判断出过定点，通过作图可得平面区域为直角三角形。所以三角形面积。从而，因为，所以
答案：32
例2：关于的不等式组所确定的区域面积为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
思路：要求出的最值，则需要的关系，所以要借助不等式组的面积，先作出不等式的表示区域，从斜率可判断出该区域为一个矩形，可得长为，宽为，所以，即，作出双曲线，通过平移可得直线与相切时，取得最小值。即：
解得，所以的最小值为
答案：B
例3：若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数的取值范围是（ ）
A. 或 B.
C. D. 或
思路：本题约束条件含参，所以先从常系数不等式入手作图，直线为一组平行线，在平移的过程中观察能否构成一个三角形。一方面，本身就构成一个三角形。所以当时，不等式组的区域与区域相同，从而符合题意。继续将直线向下平移。可得时，不等式组的区域为一个四边形。当时，从的区域中切割出来了一个三角形。所以符合题意。而时，不等式组无公共区域。综上所述，或
答案：A
例4：已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖，则圆的方程为_______
思路：作图可得可行域为直角三角形，所以覆盖三角形最小的圆即为该三角形的外接圆。，所以外接圆圆心为中点，半径为，所以圆方程为
答案：
例5：过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为( )
A. B. C. D.
思路：通过作图可知与关于对称，从而，从而问题转化为寻找的最小值。可利用三角函数，，且，所以越大，则越小，从而越小。将问题转化为在平面区域中寻找距离最远的点。通过数形结合可得点，所以。从而
答案：C
例6：(2013,北京，8)设关于的不等式组，表示的平面区域内存在点满足，则的取值范围是__________
思路：约束条件含参，但两条直线有特点，和的交点，依题意可得平面区域与直线有公共点，结合图像可判断出，从而不等式组在直角坐标系中的区域为一个直角三角形（如图）。若区域与有公共点，则只需位于的下方即可。因为的下方区域对应的不等式为，代入可得
答案：
例7：当实数满足时，恒成立，则实数的取值范围是_________
思路一：先作出不等式组所表示的区域（如图），设，则有，，则要对斜率的符号进行分类讨论，若，从图上可看出，不符题意；时，不符题意；若，无论为何值，最优解在顶点处取得，所以代入区域的顶点，可得：
，解得
思路二：从恒成立的不等式入手，考虑进行参变分离。由约束条件可得，所以恒成立不等式为，所以，只需找到两个分式的最值即可，而由分式可联想到斜率，所以作出平面区域，分别找区域中的点与定点连线斜率的最值即可。（处取得），（处取得），可得：
答案：
例8：若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A. B. C. D.
思路：在坐标系中作出可行域，如图所示为一个三角形，动直线为绕定点的一条动直线，设直线交于，若将三角形分为面积相等的两部分，则，观察可得两个三角形高相等，所以即为中点，联立直线方程可求得，则，代入直线方程可解得
答案：C
例9：在约束条件，当时，目标函数的最大值的变化范围是（ ）
A. B. C. D.
思路：目标函数可化为，斜率为介于直线斜率之间，先在坐标系中作出的范围，再平移直线，在移动过程中可发现时，可行域为四边形；当时，可行域为三角形。所以进行分类讨论：当，可行域为四边形，最优解为，联立方程：，所以；当时，可行域为三角形，最优解在取到，此时，综上所述，
答案：D
例10：已知区域，则圆与区域有公共点，则实数的取值范围是__________
思路：先在坐标系中作出区域，圆的圆心为，半径为，所以只需确定圆心的取值范围即可，通过左右平移圆可观察到圆与直线和相切是取值的临界条件。当圆与相切时，则，由圆心位置可得；当圆与相切时，
，所以
答案：
