江苏省盐城中学2021届高三上学期第三次阶段性质量检测（12月）数学 (含答案)

2021届江苏省盐城中学高三上学期第三次阶段性质量检测
数 学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则M∩N=（ ）
A. [0,1] B. [1,2) C. [1,2] D. [0,2)
2.已知其中是实数，是虚数单位，则=（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.已知某圆柱底面的半径为1，高为2，则该圆柱的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．

5.已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（ ）
A.12 B.14 C.16 D.18
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，b，c，且cos2，则△ABC的形状为（ ）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
7.明代朱载堉创造了音乐上极为重要的“等程律”. 在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法，比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=，大吕=，太簇=. 据此，可得正项等比数列中，（ ）
A. B.
C. D.

8.已知在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意，；③当时，；④函数，若过点的直线与函数的图象在上恰有8个交点，则直线斜率的取值范围是（ ）
A. (0，) B. (0，) C. (0，) D. (0，)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目求．全部选对的得5分．部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A.　　 B. C. D.
10.已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.＝9
C.，，成等比数列 D.
11.如图,在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.四点共面
B.直线与所成角的为
C.平面
D.平面平面
12.对于定义在上的函数，若存在正实数、，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知直线与直线平行，则它们之间的距离为 .
14.已知向量与的夹角为60°，且||＝4，||＝3，若，且，则实数λ的值是 .

15.如下图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为的斜边、直角边，，点为的中点,点在以为直径的半圆上．已知以直角边，为直径的两个半圆的面积之比为，，则________．
16.如上图已知菱形边长为，，点为对角线上一点，.将沿翻折到′的位置，记为′，且二面角′的大小为120°，则三棱锥′的外接球的半径为________；过′作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为________．
四、 解答题：本题共6小题，17题10分，其余每小题12分共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知数列的前n项和满足，且.
（1）求数列的前n项和及通项公式；
（2） 记，为的前n项和，求．

18.在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；
②向量，；
③函数
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知_________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求；
（2）求函数在上的单调递减区间．


19.如图，在三棱锥P—ABC中，△PAC为等腰直角三角形，为正三角形，AC=2．
（1）证明：PB⊥AC；
（2）若平面平面，求二面角A—PC—B的余弦值．


20.为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1：4，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上含50）的作文获奖，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中构成以2为公比的等比数列．
（1）求的值；
（2）填写下面列联表，并判断是否有%把握的认为“获奖”与“学生的文理科”有关？

文科生
理科生
合计
获奖
6


不获奖



合计


400
(3)从获奖的学生中任选2人,求至少有一个文科生的概率.
附：，其中．








k









21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.
（1）求的离心率及方程；
（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.








22. 已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x，a∈R.
（1）求时函数f(x)的单调区间；
（2）当时，若对于任意, 都存在，使得 ，证明：.















2021届高三年级测数学试题(2020.12)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则M∩N=（ B ）
A. [0,1] B. [1,2) C. [1,2] D. [0,2)
2.已知其中是实数，是虚数单位，则=（ A ）
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.已知某圆柱底面的半径为1，高为2，则该圆柱的表面积为（ B ）
A. B. C. D.
4. 函数的部分图象大致为（ B ）
A．B．C．D．

5.已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（ C ）
A.12 B.14 C.16 D.18
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，b，c，且cos2，则△ABC的形状为（ B ）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
7.明代朱载堉创造了音乐上极为重要的“等程律”. 在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法，比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=，大吕=，太簇=. 据此，可得正项等比数列中，（C ）
A. B.
C. D.

8.已知在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意，；③当时，；④函数，若过点的直线与函数的图象在上恰有8个交点，则直线斜率的取值范围是（ A ）
A. (0，) B. (0，) C. (0，) D. (0，)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目求．全部选对的得5分．部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（ CD ）
A.　　 B. C. D.
10.已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ AB ）
A. B.＝9
C.，，成等比数列 D.
11.如图,在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ BD ）
A.四点共面
B.直线与所成角的为
C.平面
D.平面平面
12.对于定义在上的函数，若存在正实数、，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ BCD ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知直线与直线平行，则它们之间的距离为 .
14.已知向量与的夹角为60°，且||＝4，||＝3，若，且，则实数λ的值是 .
15.如下图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为的斜边、直角边，，点为的中点,点在以为直径的半圆上．已知以直角边，为直径的两个半圆的面积之比为，，则________．
16.如上图已知菱形边长为，，点为对角线上一点，.将沿翻折到′的位置，记为′，且二面角′的大小为120°，则三棱锥′的外接球的半径为________；过′作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为________．
五、 解答题：本题共6小题，17题10分，其余每小题12分共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知数列的前n项和满足，且.
（1）求数列的前n项和及通项公式；
（2） 记，为的前n项和，求．
(1)，；(2).
【解析】
(I)由已知有，
∴数列为等差数列，
且，
∴，即，
当时，，
又也满足上式，∴；
(II)由(1)知，，
∴，



18.在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；
②向量，；
③函数
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知_________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求；
（2）求函数在上的单调递减区间．
解：方案一：选条件①
由题意可知，，
，，
又函数图象关于原点对称，，
，，，
(1)；
(2)由，得，
令，得，令，得，
函数在上的单调递减区间为．
方案二：选条件②
，

，
又，，，
(1)；
(2)由，得，
令，得，令，得，
函数在上的单调递减区间为．
方案三：选条件③


，
又，，，
(1)；
(2)由，得，
令，得，令，得.
函数在上的单调递减区间为．
19.如图，在三棱锥P—ABC中，△PAC为等腰直角三角形，为正三角形，AC=2．
（1）证明：PB⊥AC；
（2）若平面平面，求二面角A—PC—B的余弦值．
(1)证：取AC的中点D,连结PD,BD
为等腰直角三角形，为中点，，
又为正三角形，为中点，，
又，平面，
平面PBD，又平面，
(2) 解：

以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设为平面的一个法向量，则，即，
令，得，，
又是平面的一个法向量，∴，
由图可知二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为．



20.为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1：4，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上含50）的作文获奖，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中构成以2为公比的等比数列．
（1）求的值；
（2）填写下面列联表，并判断是否有%把握的认为“获奖”与“学生的文理科”有关？

文科生
理科生
合计
获奖
6


不获奖



合计


400
(3)从获奖的学生中任选2人,求至少有一个文科生的概率.
附：，其中．









k








解：由频率分布直方图可知，，
因为a，b，c构成以2为公比的等比数列，所以，解得，
所以，．故，，． ………………3分
获奖的人数为人，因为参考的文科生与理科生人数之比为1：4，
所以400人中文科生的数量为，理科生的数量为． ……………5分
由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有人，不获奖的文科生有人．于是可以得到列联表如下：

文科生
理科生
合计
获奖
6
14
20
不获奖
74
306
380
合计
80
320
400







……………………………8分
所以没有%把握的认为“获奖”与“学生的文理科”有关．…………9分
获奖的学生一共20人,其中女生6人,男生14人,从中任选2人,至少1名女生的概率为
…………………………………………………………………………12分


21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.
（1）求的离心率及方程；
（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.
【解析】
(1)由题意可知，，则，
又的周长为8，所以，即，
则，.
故的方程为.
(2)假设存在点，使得为定值.
若直线的斜率不存在，直线的方程为，，，
则.
若直线的斜率存在，设的方程为，
设点，，联立，得，
根据韦达定理可得：，，
由于，，则

因为为定值，所以，解得，
此时，也满足
综上故存在点，使得为定值，且.


22. 已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x，a∈R.
（1）求时函数f(x)的单调区间；
（2）当时，若对于任意, 都存在，使得 ，证明：.
解：　(1)时，
则在上单调递增，上单调递减
(2)由题意，得f′(x)＝－2ax＋(2－a)
＝－，x>0.
当a<－时，
∵＝ln －a(x2＋x1)＋(2－a)，
f′(x0)＝－2ax0＋(2－a)，
∴ln －a(x2＋x1)＝－2ax0，
∵f′－f′(x0)
＝－a(x2＋x1)－
＝－ln
＝·
＝－ln ，
令t＝，g(t)＝－ln t，t>1，
则g′(t)＝－<0，∴g(t) ∴f′－f′(x0)<0，∴f′ 设h(x)＝f′(x)＝－2ax＋(2－a)，x>1，
则h′(x)＝－－2a>－1＋1＝0，
∴h(x)＝f′(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴