江西省南昌市第二中学2021届高三上学期第四次考试 数学（理） (含答案)
展开南昌市第二中学2021届高三上学期第四次考试理科数学一、选择题(每小题5分,共60分)1．设集合，，，则（ ）A． B． C． D．2．已知是虚数单位，设，则复数对应的点位于复平面（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知数列的前项和为， 则＝( )A． B． C． D．4．已知锐角满足则（ ）A． B． C． D．5. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．已知向量，，，若，则实数（ ）A． B． C． D．7．已知正实数、满足，则最小值为（ ）A． B．4 C． D．38．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个整数中能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（ ）A．133 B．134 C．135 D．1369．如图，已知圆中，弦的长为，圆上的点满足，那么在方向上的投影为（ ）A. B． C． D．10．定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（ ）A．9 B．10 C．11 D．1211．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A． B． C． D．12．已知函数（，），对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D． 二、填空题(每小题5分, 共20分)13．若，则=____________.15．已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为，则_____．16．若数列满足，，则使得成立的最小正整数的值是______. 三、解答题(共6小题,17题10分,18-22每小题12分,共70分)17．已知，，为正数，.（1）若，求函数的最小值；（2）若且，，不全相等，求证：. 19．在中，设内角，，的对边分别为，，，且.（1）若，，成等比数列，求证：；（2）若（为锐角），.求中边上的高. 20. . 22．已知函数（a为常数）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，求不等式的解集；（Ⅲ）若存在两个不相等的整数，满足，求证：. 高三第四次考试数学(理)参考答案1【答案】D【解析】集合A={1,2,5},B={2,4}，C={x∈R|−1⩽x<5}，则A∪B={1,2,4,5}，∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选D.2【答案】A【详解】由已知，，对应点为，在第一象限．故选：A．3【答案】B【详解】由已知得，即，而，所以.故选B.4【答案】C【详解】由已知，，因为锐角，所以，，即.故选：C.5.【答案】B必要性：当 a=3 b=1时 充分性不成立。 6【答案】C【详解】因为，，所以，又，，所以，即，解得.故选：.7【答案】D【详解】∵，则，于是整合得，当且仅当时取等号，于是的最小值为3．故选:D．8【答案】C【详解】由数能被3除余2且被5除余2的数就是能被15除余2的数，故，由，得，，故此数列的项数为：135．故选:C．9【答案】D【分析】由得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，为正三角形，根据向量的投影的定义可得选项.【详解】连接BC，由得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，为正三角形，所以，弦AB的长为，所以在方向上的投影为，故选：D. 10【答案】C【详解】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，，当时，，则函数与函数在上没有交点，结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选C.11【答案】A【详解】解：设，则，∵，，∴，∴是上的增函数，又，∴的解集为，即不等式的解集为.故选A.12【答案】A【详解】解：结合题意，显然，，由，，，得，，，故，在，递增，故（1），，对任意，，，不等式恒成立，即，，即，解得：，故选：A．13【答案】2020【详解】因为，解得，所以，故答案为：2020 14.【答案】 4 15【答案】【详解】，因为函数的最大值为，所以，所以，由函数相邻两条对称轴间的距离为，可得周期，所以，所以,所以，又的图象与y轴的交点坐标为，所以，所以，又，所以，所以，所以.故答案为： 16【答案】【详解】，，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，由得：，即，，且，满足题意的最小正整数.故答案为：.17【答案】（1）最小值2（2）见解析【详解】解：（1）因为，所以法1：由上可得：所以，当时，函数的最小值为2法2：当且仅当，即时取得最小值2（2）证明：因为，，为正数，所以要证即证明就行了因为（当且仅当时取等号）又因为即且，，不全相等，所以即19【答案】（1）见解析（2）解：（1）证明：因为，，成等比数列，所以而（当且仅当时取等号）又因为为三角形的内角，所以（2）在中，因为，所以.又因为，，所以由正弦定理，解得法1：由，得.由余弦定理，得.解得或（舍）所以边上的高. 21.详解： 22【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【详解】（Ⅰ）的定义域为，，（1）当时，恒有，故在上单调递增；（2）当时，由，得，故在上单调递增，在上单调递减，综上（1）（2）可知：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）的定义域为，所以，且，而，；设，，且当且仅当时取等号，所以在上单调递增，又因为时，，所以当时，，当时，，故的解集为；（Ⅲ）由（Ⅰ）知时，在上单调递增，若，则不合题意；故，而在上单调递增，在上单调递减，若存在两个不相等的正数，满足，则，必有一个在上，另一个在，不妨设，则，又由（Ⅱ）知时，，即，所以，因为，所以，又因为在上单调递减，所以，即.
