高三数学 导数专题复习 二十一 利用导数研究函数图像 最值 极值问题

专题二十一 利用导数研究函数图像 最值 极值问题

一 利用导数研究函数的图象
例题1 （2018·全国高考真题（文））函数的图像大致为
A． B．
C． D．
【分析】根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
【解析】函数过定点，排除，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除，故选D.
例题2 （2017·浙江高考真题）函数的图像如图所示，则函数的图像可能是

A． B．
C． D．
【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．

【小结】
函数图象的辨识主要从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
例题1 如图，函数的图像在点处的切线方程是，则( )。
A、
B、
C、
D、
【解析】∵，∴，∴，∴，选C。

例题2 函数的图像如右图所示，则导函数的图像的大致形状是( )。



A、 B、 C、 D、
【解析】先增后减再不变，则先小于零后大于零最后等于，选D。

例题3 已知的图像如图，则( )。
A、
B、
C、
D、
【解析】由图可知，又，则，选A。

例题4 函数的图像如图所示，则下列结论成立的是( )。
A、，，，
B、，，，
C、，，，
D、，，，
【解析】∵函数的图像在轴上的截距为正值，∴，∵，
且函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
∴的解集为，∴，又、均为正数，
∴，，可得，，选C。

例题5 已知函数()，则函数的图像可能是( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】设，是奇函数，其图像关于原点对称，∵，
∴的图像是的图像向上或向下平移得到的，∴排除A项，
由，知当，时，，函数单调递增，又，
∴，即，∴排除D项；
当，时，，函数单调递减，又，∴，
即，∴排除C项，选B。
例题6 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )。
A、函数有极大值和极小值
B、函数有极大值和极小值
C、函数有极大值和极小值
D、函数有极大值和极小值
【解析】由的图像知：(分四段考虑)
(1)当时，，则，
(2)当时，，则，
(3)当时，，则，
(4)当时，，则，
则可知当和时，∴在和上单调递增，
当时，∴在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值，选B。

例题7 己知函数是定义域为的奇函数，且，的导函数的图像如图所示。若正数满足，则的取值范围是( )。
A、 B、
C、 D、
【解析】在上恒成立，在上恒增，得，
则，，解得，又，∴，则，选B。




例题8 已知函数(其中为自然对数的底数)，则图像大致为( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】的定义域为，依题意得，令，解得，
当时，，是减函数，当时，，是增函数，
∴为的极小值也为最小值，，，
只有C中的函数的极值的，且极小值为负值，
又当时，；因此对比各选项知，选C。

变式1 若函数(为自然对数的底数)，则图像大致为( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】记，则有，
当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
在处取极小值也是最小值，，
当时，当时，
∴在有两个零点、(不好求但知道在之间，
，)，
这只是的单调性，又∵，则，
当时，是减函数，且，，且是增函数；
当时，是减函数，且，，且是增函数，
当时，是增函数，且，，且是减函数，
当时，是增函数，且，，且是减函数，选C
例题9 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是
【解析】的定义域为，，
令，则有两个极值点，
等价于有两个不等的实数根，
又等价于与图像有两个交点，
作图，的图像为标准图像，可直接作出，
为一次函数，必过点，
则的图像围绕着点旋转，当与相切时两图像有唯一一个交点，此时：
设切点，，能列出三个方程：，则，∴，，
则，当时直线与曲线相切，
由图像知当时与的图像有两个交点，则实数的取值范围是，选B。
【小结】设函数，则的零点有三种求法：
(1)求的根，就是的零点，此法一般只应用于能求根或能因式分解的函数，如二次函数；
(2)做函数的图像，则的图像与轴的交点就是就是的零点，此法只应用于能画出图像函数；
(3)把函数拆成和两个函数，分别作出、的图像，则这两个函数图像的交点就是的零点，此法一般只应用于能画出、的图像的函数。

例题10 函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数范围是
【解析】作的图像，函数恒过定点，
设过点与函数的图像相切的直线为，
切点坐标为，∵的导函数，
∴图中的切线的斜率为，则，解得，∴。
二 利用导数研究函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
例题3 （2017·全国高考真题（理））若是函数的极值点，则的极小值为（ ）．
A． B． C． D．
【解析】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．

例题4 （2018年文北京卷）设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围.
【解析】（Ⅰ）因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex，所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex.
f'(2)=(2a-1)e2，由题设知f'(2)=0，即(2a-1)e2=0，解得a=12.
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.
若a>1，则当x∈(1a,1)时，f'(x)0.所以1不是f(x)的极小值点.
综上可知，a的取值范围是(1,+∞).
方法二：f'(x)=(ax-1)(x-1)ex.
（1）当a=0时，令f'(x)=0得x=1.f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：
x
(-∞,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
−
f(x)
↗
极大值
↘
∴f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0时，令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.①当x1=x2，即a=1时，f'(x)=(x-1)2ex≥0，
∴f(x)在R上单调递增，∴f(x)无极值，不合题意.
②当x1>x2，即01满足题意.
（3）当a