高三数学 数列专题复习 二十七 递推公式求通项考点汇编

专题二十七  递推公式求通项（第1课时）

模块一、思维导图

模块二、考法梳理

考法一：公式法

1．已知数列的前项和为，且，则       。

【解析】因为数列的前项和为,当时,代入可得

而由,代入可得

当时上式也成立综上可知

2．已知数列 的前 项和，则它的通项公式是_____;

【解析】数列的前项和

，,

又，

，检验当时，，

3．如果数列的前项和为，那么数列的通项公式是          。

【答案】

【解析】当时，

当时，

即 ，故数列为等比数列则

因为，所以

4．若数列的前项和为，，点（）在直线上，则____________.

【答案】.

【解析】因为点在直线上代入可得,即.

由可知数列是首项为,公比为的等比数列.所以

由代入可得而不符合上式

所以故答案为:

5．若数列满足,,则______ ．

【答案】

【解析】得, ,

所以有

6．数列满足，则               .

【答案】

【解析】这类问题类似于的问题处理方法，在中用代换得（），两式相减得，，又，即，故

7．已知数列的前项和为，，，,则______________

【答案】

【解析】由题意，，所以，，所以．

8．设数列前项的和为，若，且，则______.

【答案】

【解析】，,

是以4为首项,公比为4的等比数列, .故答案为:

考法二：累加法

1．数列满足，，则=               

【答案】

【解析】，，则当时，，

。

2．数列满足，，，则数列的通项公式______.

【答案】

【解析】数列满足，，，，

因此，.

故答案为：.

3．在数列中，，，则     。

【答案】

【解析】由题,,则,…,,

所以由累加法可得,,即,

则,所以

4．在数列{an}中，若a1＝﹣2，an+1＝an+n•2n，则an＝      。

【答案】（n﹣2）•2n

【解析】∵an+1＝an+n•2n，∴an+1﹣an＝n•2n，且a1＝﹣2

∴an﹣a1＝an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+…+a2﹣a1＝（n﹣1）•2n﹣1+…+2•22+1•21，①

∴2（an﹣a1）＝（n﹣1）•2n+（n﹣2）•2n﹣1+…+2•23+1•22，②

①-①得﹣（an﹣a1）＝﹣（n﹣1）•2n+2n﹣1+2n﹣2+…+23+22+2

＝﹣（n﹣1）•2n+﹣（n﹣1）•2n﹣2+2n，

∴an﹣a1＝（n﹣1）•2n+2﹣2n，所以an＝（n﹣2）•2n

考法三：累乘法

1.已知中，，，则数列的通项公式是              。

【答案】

【解析】由nan+1=（n+1）an，可得：，

又∵a1=1，∴​==n．∴an=n，

2．已知中，，，则数列的通项公式是      。

【答案】

【解析】已知中,,化简整理可得

所以递推可得

等式两边分别相乘可得

即所以

模块三、巩固提升

【考法一  公式法】

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________．

【答案】

【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，

当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝.

2．设数列的前n项乘积为，对任意正整数n都有，则______．

【解析】对任意正整数n都有，

时，，化为：．

时，，可得：，．

可得：．．故答案为．

3．数列的前项和为，，则它的通项公式为______.

【解析】数列的前项和为，，

当时，，

当时，，

满足上式，.故答案为:.

4．若数列的前项和为，且，则______.

【解析】，当时，，解得.

当时，，即，

数列是等比数列，首项为，公比为..故答案为：﹣2n﹣1.

5．数列的前n项和，则其通项公式________.

【解析】当时，；

当时，；故故答案为：

6．已知数列满足，，则_________________．

【解析】当时，，

当时，由题意可得：

，

，

两式作差可得：，故，

综上可得：.

7．若数列是正项数列，且，则_______．

【解析】数列是正项数列，且所以，即

时两式相减得，

所以（ ）当时，适合上式，所以

8．已知数列满足：，数列的通项公式   。

【答案】

【解析】数列满足，

时，，

相减可得：，．

时， 综上可得：．

9．设数列满足．数列的通项公式        。

【解析】当时,；当时,②,

因为①,则①②得,,即,检验,,符合,故

10．设数列满足，的通项公式          。

【解析】由n＝1得，因为，

当n≥2时，，由两式作商得：（n＞1且n∈N*），

又因为符合上式，所以（n∈N*）．

11．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）数列的通项公式      。

【解析】由，得，即，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，

所以，即，

当时，，当时，，也满足上式，所以；

12．正项数列前项和为，且，.=       。

【解析】，由得

，得，

，，，

，是等差数列，.

13．已知数列前项和为，若，则__________．

【解析】令，得，解得 ，
当 时，由），得，
两式相减得 整理得，且

∴数列 是首项为1公差为 的等差数列，
可得

所以

【考法二  累加法】

1．在数列中：已知，，则数列的通项公式为         。

【解析】，，

．

2．已知数列满足，，则数列的一个通项公式为            。

【解析】由得，

，

，适用．∴．

3．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，数列{an}的通项公式为________．

【解析】∵an＋1－an＝n＋1，∴a2-a1=2，a3-a2=3，……，an-an-1=n（n≥2），

由累加法可得an-a1=2+3+…+n=∵a1＝1，∴（n≥2）.

∵当n=1时，也满足，（n∈N*）.

4．已知数列中，，，则数列的一个通项公式为            。

【解析】因为则

由递推公式可得

将等式两边分别相加可得

所以由对数运算可得

5．已知数列中，，，当时，，则____．

【解析】由，得，∵，，

∴，则数列构成以1为首项，以2为公比的等比数列，

∴．

则．故答案为：．

6．已知数列满足，则该数列的通项公式 _____．

【解析】由题意，数列满足，

两边同时除以an+1an得：，化简得n（n+1）（）=1，

两边同时除以n（n+1）得：=，即，

，

……

，

上式累加得：，即2-，

所以，即．

故答案为：．

【考法三  累乘法】

1．已知数列的递推公式为则通项公式______.

【解析】当时， ;,满足上式,

2．已知正项数列满足，，则数列的前项和为___________．

【解析】由已知得

所以又因为，所以，所以

所以

；

累乘得

所以所以=，

所以

累加求和得

故答案为

考点4 递推公式求通项（第2课时）

模块一、思维导图

模块二、考法梳理

考法一：构造等差数列

1．已知数列满足，则__________．

【解析】由题， 则则数列是以为首项，2 为公差的等差数列，则即答案为.

2．在数列中，，，则这个数列的通项=    。

【解析】∵，等式两边同时取倒数得：，则，

∴，

，，

当 时， 亦成立，综上所述

3．已知数列的前n项和为，，，则______．

【解析】因为则可化简为

等式两边同时除以可得,即

所以数列为等差数列,首项,公差 所以

即故答案为:

4．各项均正的数列满足，则等于       。

【解析】两边同除以，得,则为首项为2，公差为1 的等差数列，∴则

5．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝________．

【解析】由an－an＋1＝nanan＋1得＝n，

则由累加法得＝1＋2＋…＋(n－1)＝，

又因为a1＝1，所以，所以an＝.

考法二：构造等比数列

1．已知数列满足，且，则________________.

【解析】由可得：，所以是以1为首项3为公比的等比数列，

所以，故.

2．已知数列满足，则数列的通项公式_________.

【解析】设①

将代入①式，得，

等式两边消去，得，两边除以，得，则，

代入①式得②

由及②式得，则，

则数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以.

3．设为数列的前项和，，且，则

【答案】.

【解析】由两边同除以，

整理得，

令，则，

∴，

又由解得，∴ 。

∴数列是首项为，公比为的等比数列。

∴。

∴，

∴，

4．已知数列满足， ()，则__________．

【答案】

【解析】由 ()，可得，于是，

又，∴数列{﹣1}是以2为首项，为公比的等比数列，故﹣1=

∴an=（n∈N*）．故答案为．

考法三：周期数列

1．数列中，若，则    。

【答案】

【解析】，则，所以，所以数列是周期数列，周期为2. 又， ， ，，即.

2．已知数列中，，，则的值是     。

【答案】

【解析】因为，，所以，，，，

可知数列的取值有周期，周期为3，所以，

3．已知数列满足,,则     。

【答案】

【解析】依题意，，，所以，

所以数列是周期为的数列，且每项的积为，

故.

4．已知数列中，，，且，则的值为    。

【答案】2

【解析】因为，由，，得；

由，，得；

由，，得；

由，，得；

由，，得；

由，，得

由此推理可得数列是一个周期为6的周期数列，所以。

5．数列满足，（），则    。

【答案】

【解析】因为数列满足，（），所以所以是公比为2的等比数列，所以

6．已知数列中，，则      。

【答案】1022

【解析】因为，所以，

即，所以，

即，故是以3为首项，1为公差的等差数列，

所以，

所以，所以1022

7．数列满足，，，记数列的前项和为，则________.

【解析】当是奇数时，＝﹣1，由，得，

所以，，，…，…是以为首项，以2为公差的等差数列，

当为偶数时，＝1，由，得，

所以，，，…，…是首项为，以4为公差的等差数列，

则 ，

所以.

模块三、巩固提升

【考法一 构造等差数列】

1．在数列中，若，，则        。

【解析】∵，∴，即，

数列是首项为，公差为2的等差数列，∴，即。

2．若数列中，，则这个数列的      。

【解析】由题意，数列中，，可得，

所以数列表示首项为1，公差为3的等差数列，

所以，即

3．已知数列满足 ，则数列的通项公式_______．

【答案】

【解析】因为，所以所以是以1为首项和公差的等差数列，所以，故.

4．在数列中，，且满足，则＝________

【解析】由，可得，

可得数列是以为首项，公差为的等差数列，∴，可得，

故答案为．

【考法二  构造等比数列】

1．已知数列中，，则数列通项公式为_____．

【解析】为等比数列，公比为3，首项为，

所以通项公式为

2.在数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．

【解析】因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，

所以4an－an＋1＋1＝0，即an＋1＝4an＋1，得an＋1＋＝4，

所以是首项为a1＋＝，公比为4的等比数列，所以an＋＝·4n－1，

故an＝·4n－1－.

3．在数列{an}中，a1＝3，an+1＝2an﹣1（n∈N*），则数列{an}的通项公式为     。

【解析】由an+1＝2an﹣1得：，

所以数列是以为首项，公比为2的等比数列．

所以，所以

4．已知数列满足，，则等于    。

【解析】由，得，且，

所以数列，因此是以首项为，公比为的等比数列，

故，因此．

【考法三  周期数列】

1．已知数列中，，()，则等于     。

【解析】∵，()，，，，，
…，∴数列是以3为周期的周期数列，，，
 

2．已知数列满足，且，则    。

【解析】，且，，

数列的周期，，

3．设数列满足:,,则______.

【解析】依题意，，，

，，

数列是以为周期的周期数列，又，.故答案为：.

4．数列中，，，（），则______.

【解析】因为，，，所以有：，可见数列的周期为6，故.故答案为：5

【考法四  其他求通项方法】

1．数列中，若，()，则数列的通项公式_____.

【解析】因为，等式两边同时取对数有，则，又因为则数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，，

2．已知数列中，，且（且）通项公式=     。

【解析】∴

∴

∴