高中数学讲义微专题81 排列组合——选择合适的数学模型 学案
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在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题
一、典型例题：
例1：设集合由个元素构成，即，则所有子集的个数为_______
思路：可将组成子集的过程视为中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，所以第一步从开始，有两种选择，同样后面的都有两种选择，所以总数个
答案：
例2：已知，且中有三个元素，若中的元素可构成等差数列，则这样的集合共有（ ）个
A. B. C. D.
思路：设中构成等差数列的元素为，则有，由此可得应该同奇同偶，而当同奇同偶时，则必存在中间项，所以问题转变为只需在中寻找同奇同偶数的情况。同为奇数的可能的情况为，同为偶数的可能的情况为，所以一共有种
答案：C
例3：设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
思路：因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于个。所以可根据中含0的个数进行分类讨论。
① 五个数中有2个0，则另外3个从中取，共有方法数为
② 五个数中有3个0，则另外2个从中取，共有方法数为
③ 五个数中有4个0，则另外1个从中取，共有方法数为
所以共有种
答案：D
例4：设集合，设的三元素子集中，三个元素的和分别为，求的值
思路：的三元子集共有个，若按照题目叙述一个个相加，则计算过于繁琐。所以不妨换个思路，考虑将这些子集中的各自加在一起，再进行汇总。则需要统计这个子集中共含有多少个。以1为例，含的子集可视为集合中有元素1，剩下两个元素从9个数中任取，不同的选取构成不同的含1的子集，共有个，所以和为，同理，含2的集合有，其和为……，含10的集合有个，其和为所以
答案：
例5：身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的个子矮，则所有不同的排法种数是多少
思路：虽然表面上是排队问题，但分析实质可发现，只需要将这六个人平均分成三组，并且进行排列，即可完成任务。至于高矮问题，在分组之后只需让个子矮的站在前面即可。从而将问题转化为分组问题。则（种）
答案：90
例6：四面体的顶点和各棱中点共10个点，则由这10点构成的直线中，有（ ）对异面直线
A. 450 B. 441 C. 432 D. 423
思路：首先要了解一个结论，就是在一个三棱锥中存在3对异面直线，而不共面的四个点便可构成一个三棱锥，寻找不共面的四点只需用总数减去共面的四点即可。所以将问题转化为寻找这10个点中共面四点的情况。首先4个面上共面的情况共有，每条棱与对棱中点共面情况共有6种，连结中点所成的中位线中有3对平行关系，所以共面，所以四点共面的情况共有种，所以四点不共面的情况有种，从而异面直线的对数为种
答案：D
小炼有话说：要熟悉异面直线问题的转化：即异面→三棱锥→四点不共面→四点共面，从而将所考虑的问题简单化
例7：设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么称是集合的一个“孤立元”，给定，则的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ）
A. B. C. D.
思路：首先要理解“，则且”，意味着“独立元”不含相邻的数，元素均为独立元，则说明3个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用插空法可得：种
答案：C
例8：圆周上有20个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个
思路：本题可从另一个角度考虑交点的来源，一个交点由两条弦构成，也就用去圆上4个点，而这四个点可以构成一个四边形，在这个四边形中，只有对角线的交点是在圆内，其余均在圆上，所以有多少个四边形就会有多少个对角线的交点，从而把交点问题转化为圆上的点可组成多少个四边形的问题，所以共有个
答案：个
例9：一个含有10项的数列满足：，则符合这样条件的数列有（ ）个
A. 30 B. 35 C. 36 D. 40
思路：以为入手点可得：，即可视为在数轴上，向左或向右移动一个单位即可得到，则问题转化为从开始，点向左或向右移动，总共9次达到，所以在这9步中，有且只有2步向左移动1个单位，7步向右移动1个单位。所以不同的走法共有种，即构成36种不同的数列
答案：36种
例10：方程的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？
思路：本题可将10理解为10个1相加，而相当于四个盒子，每个盒子里装入了多少个1，则这个变量的值就为多少。从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板法得：种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归：，则这四个盒子非空即可。所以使用挡板法得：种
答案：正整数解有84种，非负整数解有286种
二、历年好题精选
1、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（ ）
A．144种 B．96种 C．48种 D．34种
2、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为 （ ）
A. 232 B. 252 C.472 D. 484
3、在1，2，3，4，5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有（ ）
A. 16个 B. 18个 C.19个 D.21个
4、把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．96 B．240 C．48 D．40
5、某班组织文艺晚会，准备从等8个节目中选出4个节目演出，要求：两个节目至少有一个选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（ ）
A．1860 B．1320 C．1140 D．1020
6、某班一天中有节课，上午节课，下午节课，要排出此班一天中语文、数学、英语、物理、体育、艺术堂课的课程表，要求数学课排在上午，艺术课排在下午，不同排法种数为（ ）
A． B． C． D．
7、用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（ ）
A．48 B．36 C．28 D．12
8、某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种
A．24 B ．48 C．96 D．114
9、（2014重庆八中一月考，2）要从名男生和名女生中选出人组成啦啦队，若按性别分层抽样且甲男生担任队长，则不同的抽样方法数是
A． B． C． D．
10、（2015，广东文），若集合：
，，用表示集合中的元素个数，则（ ）
A. B. C. D.
11、（2014，浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种
12、（2014，安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
13、（2014，重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120 C．144 D．168
14、（2014，广东）设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
15、（2016，哈尔滨六中上学期期末考试）高一学习雷锋志愿小组共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，现在从中任选人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选人，不同的选取法的种数为 ( )
A. B. C. D.
16、集合的4元子集中，任意两个元素差的绝对值都不为1，这样的4元子集的个数有_____个
习题答案：
1、答案：B
解析：相邻则考虑使用整体法，程序有要求所以先确定的位置，共有2种选法，然后排剩下的元素，再排间的顺序，所以总数为
2、答案：C
解析：考虑使用间接法，16张卡片任取3张共有种，然后三张卡片同色则不符合要求，共有种，然后若红色卡片有2张则不符合要求，共有种，所以不同的取法种数为：
3、答案：A
解析：可按重复数字个数进行分类讨论，若没有重复数字，则数字只能是或，三位数共有个；若有两个重复数字，则数字为和，三位数有个；若三个数字相同，则只有333，所以
4、答案：A
解析：5张票分给4个人，则必有一人拿两张票，所以先确定哪个人有两张票，共种选择，然后确定给哪两张连号的票，共4种情况，剩下的票分给3人即可。所以
5、答案：C
解析：由题可知可分为两类：第一类只有一个选中，则还需从剩下6个里选出3个节目，然后全排列，所以不同的演出顺序有；第二类，同时选中，则还需从剩下6个里选出2个，然后不相邻则进行插空，所以不同演出顺序有。综上
6、答案：B
解析：先排数学与艺术各有3种共9种，其余的4个科目全排列有种，所以
7、答案：C
解析：根据题意，在0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，可以分3种情况讨论：
（1）0被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有种情况；故0被奇数夹在中间时，有种情况；
（2）2被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、2、3看成一个整体，与0、4全排列，有种情况，其中0在首位的有2种情况，则有种排法；故2被奇数夹在中间时，有种情况；
（3）4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况，
则这样的五位数共有12+8+8=28种.
8、答案：D
解析：由题可知，5个人住三个房间，每个房间至少住一人，则有（3,1,1）和（2,2,1）两种，当为（3,1,1）时，有种，A、B住同一房间有种，故有种，当为（2,2,1）时，有种，A、B住同一房间有种，故有种，根据分类计数原理共有种
9、答案：A
解析：由分层抽样可得男生需要4名，女生需要2名，甲男生担任队长，则还需要出3名男生，所以
10、答案：D
解析：分别统计中元素的个数，在中，可取的值由的值决定，当时分别可选，所以有种，当时；同理有种；当时；同理有种；当时；同理有种，所以共计；在中，可知一组，一组，按照的计算方式可得和的选择各有10种，所以。从而
11、答案：60
解析：可按获奖人数进行分类讨论，若有3人，则一人获得一张中奖的奖券，即，若2人，则1人获1个奖，1人获2个奖，，所以共计
12、答案：C
解析：正方体的对角线共有12条，其所成角大致分为，可使用间接法，2个一对共有种选法，其中成的有6对，成有12对，所以成的共有对
13、答案：B
解析：不相邻则“插空”，可歌舞类节目搭架子，因为歌舞类节目也不能相邻，所以另外3个节目插空时有两种情况，一种情况为3个节目插3个空，则有2种插法，再安排完顺序，合计：；另一种情况为相声与一个小品相邻，然后与另一个小品插两个空，则，则共计种
14、答案：D
解析：可知在中，的情况至少1个，最多3个，从而分三种情况讨论即可，每种讨论都分为两步，第一步确定几个选0，几个选；第二步确定选的是选1还是：
15、答案：B
解析：分两种情况讨论，当三班没人时，，当三班恰有一人时，，所以
16、答案：
解析：两个元素差绝对值不为一，说明中的四个元素两两不相邻，所以考虑插空法，剩下16个位置共17个空，选择四个孔即可，共有个
