高中数学讲义微专题67 圆锥曲线的性质 学案
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一、基础知识
（一）椭圆：
1、定义和标准方程：
（1）平面上到两个定点的距离和为定值（定值大于）的点的轨迹称为椭圆，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距
（2）标准方程：
①焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中
②焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中
焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大
2、椭圆的性质：以焦点在轴的椭圆为例：
（1）：与长轴的顶点有关：，称为长轴长
：与短轴的顶点有关：，称为短轴长
：与焦点有关：，称为焦距
（2）对称性：椭圆关于轴，轴对称，且关于原点中心对称
（3）椭圆上点的坐标范围：设，则
（4）通径：焦点弦长的最小值
① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦
② 过焦点且与长轴垂直的弦
说明：假设过，且与长轴垂直，则，所以，可得。则
（5）离心率：，因为，所以
（6）焦半径公式：称到焦点的距离为椭圆的焦半径
① 设椭圆上一点，则（可记为“左加右减”）
② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为，最小值为
（7）焦点三角形面积：（其中）
证明：
且
因为，所以，由此得到的推论：
① 的大小与之间可相互求出
② 的最大值：最大最大最大为短轴顶点
（二）双曲线：
1、定义：平面上到两个定点距离差的绝对值为一个常数（小于）的点的轨迹称为双曲线，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支
2、标准方程：
① 焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中
② 焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中
焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数
2、双曲线的性质：以焦点在轴的双曲线为例：
（1）：与实轴的顶点有关：，称为实轴长
：与虚轴的顶点有关：，称为虚轴长
：与焦点有关：，称为焦距
（2）对称性：双曲线关于轴，轴对称，且关于原点中心对称
（3）双曲线上点坐标的范围：设，则有或，
（4）离心率：，因为 ，所以
（5）渐近线：当或时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。
① 双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出关于的直线即可。例如在中，求渐近线即解：，变形为，所以即为双曲线的渐近线
② 渐近线的几何特点：直线所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线
③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现的关系。
（6）通径：
① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段
②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦轴，
（7）焦半径公式：设双曲线上一点，左右焦点分别为，则
① （可记为“左加右减”）
② 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为
（8）焦点三角形面积：设双曲线上一点，则（其中）
（三）抛物线：
1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线
2、抛物线的标准方程及焦点位置：
（1）焦点在轴正半轴：，焦点坐标
（2）焦点在轴负半轴：，焦点坐标
（3）焦点在轴正半轴：，焦点坐标
（4）焦点在轴负半轴：，焦点坐标
小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4，例如：，则焦点在轴上，且坐标为
3、焦半径公式：设抛物线的焦点为，，则
4、焦点弦长：设过抛物线焦点的直线与抛物线交于，则（，再由焦半径公式即可得到）
二、典型例题：
例1：已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A. B. C. D.
思路：先从常系数方程入手，抛物线的焦点为，即双曲线中的，所以，从而双曲线方程为：，其渐近线方程：，由对称性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择，右焦点，所以
答案：A
小炼有话说：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标，进而解出其他圆锥曲线的要素
答案：A
例2： 已知双曲线的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线的焦点重合，直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则（ ）
A. B. C. D.
思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以作为核心变量，抛物线的焦点为，所以可得，因为，所以双曲线方程为，可求得渐近线方程为，不妨设与平行，则有。从相切可想到与抛物线联立消元后的方程：，所以解得
答案：A
例3：如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，将的离心率分别记为，点是在第一象限的公共点，若的一条渐近线是线段的中垂线，则（ ）
A. B. C. D.
思路：椭圆与双曲线共焦点，所以有，所求表达式，本题与焦半径相关，所以考虑。结合的中点与的中点可得双曲线的渐近线与平行，从而，所以有，联系上面条件可得：，所以
答案：A
例4：已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则（ ）
A. B. C. D.
思路：因为有公共焦点，所以通过可得，从而，圆的直径为，所以截椭圆的弦长为。由双曲线得，进而与椭圆方程联立，再利用弦长公式即可得到关于（或）的方程，解方程即可
解：通过可得，
不妨设，则，所以
利用弦长公式可得
又因为 解得： ，故选C
答案：C
例5：（2014，山东，10）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程是，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
思路：要想求渐近线方程，关键在的比值，所以将两个离心率均用表示，再利用乘积为即可得到关系，进而求出渐近线方程
解：设曲线的离心率分别为，则
即
因为双曲线的渐近线方程为：，代入可得：
答案：A
小炼有话说：本题在设计上利用椭圆和双曲线中的求法不同，从而使得两条曲线在相同的情况下，离心率的乘积中含有平方差公式的特点，从而简化运算，较易得出关系
例6：椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个交点，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
思路：所求既是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定义可得：，，由此联想到两个式子的完全平方公式，进而可求出，则
答案：B
例7：已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
思路：因为两条曲线的焦点重合，所以可用双曲线计算出焦点的坐标，所以，进而可确定抛物线方程：，以及准线方程 ：。所以，设点横坐标为，则，所以，由焦半径公式可得：，所以，即，可解得：
答案：B
例8：设为双曲线的左焦点，在轴上点的右侧有一点，以为直径的圆与双曲线左，右两支在轴上方的交点分别为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
思路：因为所求分式涉及到三条线段长度，若直接用距离公式则异常复杂，所以考虑时刻简化计算，首先由联想到焦半径公式，设，则有，，所以，设，由双曲线可知，则的中点，圆半径，所以圆方程为： ，整理后可得：，因为的值与相关，所以考虑联立圆和双曲线方程：消去可得：，所以，代入可得：，因为，所以原式的值为
答案：D
小炼有话说：本题可发现无论的位置如何，从选项上来看应该为定值，故可以利用特殊位置，比如为右焦点时，便可轻松得到答案：由对称性可得，且，所以
例9：如图，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为__________（用含的表达式表示）
思路：首先要将向靠拢，因为与圆切于，连结，可知，且为直角三角形，，从而，进而，在寻找，因为为线段的中点，且由双曲线性质得为的中点，所以连结，则由中位线性质可得，而恰好是另一焦半径。所以，由双曲线定义可得：，从而
答案：
小炼有话说：（1）题目中遇到中点问题，除了已知条件外，在椭圆和双曲线中还要注意“原点也是两焦点的中点”这一隐藏条件
（2）在椭圆与双曲线中，因为两条焦半径存在几何关系（和差与相关），所以题中出现一条焦半径时，常见的辅助线是连出另一条焦半径。
例10：如图，椭圆，圆，椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为__________
思路：本题很难直接求出的值，从而考虑将其视为整体，进行转化：从图上可得：，从而，所以只需确定即可，设，即，已知，则需利用好，想到焦半径公式：则，所以，所以，即，所以
答案：
