第3章圆锥曲线 综合检测-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册章节复习

第三章圆锥曲线综合检测卷  一、单选题1．已知双曲线的渐近线为，且过点，则该双曲线的标准方程为（    ）A． B． C． D．2．椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线相互垂直，则的面积为（    ）A．49 B．24 C．12 D．73．以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（    ）A． B．C． D．4．已知点，直线，点是上的动点.若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是（    ）A．双曲线 B．椭圆C．圆 D．抛物线5．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于、两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．6．已知双曲线()的左､右焦点分别为､，点在双曲线的左支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（    ）A． B． C． D．7．若圆与双曲线（，）的一条浙近线相切，则此双曲线的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．8．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（    ）A． B． C． D．9．已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则m等于（    ）A．4 B．5 C．7 D．810．虚轴长为2，离心率的双曲线两焦点为，，过作直线交双曲线的一支于、两点，且，则的周长为（    ）A．3 B．16+C．12+ D．2411．如图，圆上一动点M，抛物线上一动点，则的最小值为（    ）A．1 B．3 C．4 D．612．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的个数是（    ）①与共轭的双曲线是；②互为共轭的双曲线渐近线不相同；③互为共轭的双曲线的离心率为，则；④互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上．A．1 B．2 C．3 D．4  二、填空题13．已知双曲线的方程为，则焦点到渐近线的距离为_________.14．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________.15．设F为抛物线的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若F是三角形的重心，则_________．16．设双曲线的左、右焦点分别为、，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是____. 三、解答题17．已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．（1）求的值；（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．18．设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；（2）求点到直线距离的最大值.19．已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程：（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．20．椭圆E与有共同的焦点，且经过点（1）求椭圆E的标准方程和离心率；（2）设F为E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，求的最大值.21．如图，已知圆，点，P是圆上的一动点，N是上一点，M是平面内一点，满足，．（1）求点N轨迹的方程；（2）若均为轨迹上的点，且以为直径的圆过Q，求证：直线过定点．22．已知椭圆的左、右焦点分别为.点在椭圆上滑动，若的面积取得最大值4时，有且仅有2个不同的点使得为直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆分别相交于两点，与轴交于点.设，，求证：为定值，并求该定值．
参考答案1．B【分析】按照焦点在轴、轴讨论，由渐近线方程及椭圆过的点运算即可得解.【详解】当双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为，则渐近线方程为，即，所以双曲线方程为，所以，解得，所以双曲线的方程为；当双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为，则渐近线方程为，即，所以双曲线方程为，所以，不合题意；所以该双曲线的标准方程为.故选：B.2．B【分析】先利用椭圆定点得，再结合勾股定理得，再计算面积即可.【详解】由定义得，即，又，即得，即.故.故选：B.3．A【分析】求出抛物线的焦点坐标即圆心坐标，求得圆半径可得圆方程．【详解】抛物线的标准方程是，焦点为，，所以圆方程为，即．故选：A．4．D【分析】根据垂直平分线的定义可得出点到直线的距离等于，利用抛物线的定义可得出结果.【详解】连接，由中垂线性质知，即到定点的距离与它到直线距离相等.因此，点的轨迹是抛物线.故选：D.5．C【分析】根据，得到，根据点到直线距离，求出，从而求出得范围，从而求出答案.【详解】设椭圆的左焦点为，为短轴的上端点，连接，如下图所示：由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则又    四边形为平行四边形 又，解得：点到直线距离：，解得：，即    .故选：C.【点睛】求椭圆离心率的方法：（1）利用定义寻找参数的关系；（2）利用曲线与方程的关系构建等量关系；（3）利用椭圆的有界性来建立起参数中的不等关系6．A【分析】设，，根据双曲线的定义以及性质可得，，再利用离心率的式子即可求解.【详解】作图，设，，则有，，，∴，，解得，故选：A.7．B【分析】设双曲线的一条渐近线方程，结合直线与圆相切，根据圆心到直线的距离等于半径，求得，即可求得渐近线的方程.【详解】设双曲线的一条渐近线方程，即，又由圆的圆心为，半径为，因为与相切，可得，解得，即，所以双曲线的渐近线方程为.8．C【分析】根据题意可知M的轨迹为：，即与其有交点的曲线都是“好曲线”，结合图形即可判断不是“好曲线”的曲线.【详解】由题意知：M平面内两点，距离之差的绝对值为8，由双曲线定义知：M的轨迹以为焦点的双曲线且，即轨迹方程为：，∴“好曲线”一定与有交点，结合各选项方程的曲线知：所以不是“好曲线”的是C.故选：C9．D【分析】先将椭圆的方程化为标准方程，进而根据焦距求得.【详解】解：由题意知：椭圆的标准方程为：，又椭圆的长轴在轴上，，解得：；又，，即，解得：.故选：D .【点睛】易错点睛：由圆锥曲线的方程求参数范围时，应注意将方程化为标准方程，再根据焦点的位置求出相应的参数.10．B【分析】先由条件求出、、的值，再利用双曲线的定义和性质，求出的周长．【详解】由于，，，，．由双曲线的定义知：①，②，又，①②得：，，则的周长为，故选：B11．A【分析】利用抛物线的定义求出，再利用的最小值为求解即可．【详解】由抛物线焦点坐标，准线方程， 圆的圆心坐标，半径，设到准线的距离，则，所以，当且，，三点共线时，取最小值，的最小值2，所以最小值为，故选：A．【点睛】与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.12．D【分析】根据共轭双曲线定义得到两双曲线方程，进而可表示出对应渐近线方程，离心率、焦点坐标等，再逐一进行判断即可．【详解】根据共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，故①正确；由双曲线的方程可得，的渐近线方程均为，②正确由双曲线方程可得，，所以， 上式整理得，根据、都是大于1的正数，得，两边约去，得，时等号成立，故③正确；的焦点坐标为，的焦点为，4个焦点在以原点为圆心，以为半径的圆上，④正确.故选：D．【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查双曲线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.13．【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可得答案；【详解】焦点坐标，渐近线方程，则点到直线距离.故答案为：1.14．【分析】由题可得，解出即可.【详解】根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆，∴，解得或.故的取值范围是.故答案为：.15．【分析】由题意得是三角形的重心，故，再由抛物线的定义可得.【详解】抛物线的焦点坐标，准线方程：，设，由F是三角形的重心，则，所以，由抛物线的定义可知：，故答案为：.【点睛】关键点睛：熟记抛物线的概念和性质是解决本题的关键.16．【分析】利用双曲线的定义可求得，再由结合可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】由双曲线的定义可得，又，则，，所以，.因此，双曲线的离心率的取值范围是.故答案为：.【点睛】求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立的关系式求或的范围；另一种是建立、、的齐次关系式，将用、表示，转化为的关系式，进而求解．17．（1）；（2）.【分析】（1）根据题意，由，可得，解得，再由点，代入即可得解；（2），设，，根据点M为线段的中点，可得：，由点Q为抛物线C上，代入即可得解，【详解】（1）由抛物线经过点可得：，又，可得，解得，；（2）由（1）知，则，设，，根据点M为线段的中点，可得：，即，由点Q为抛物线C上，所以，整理可得点M的轨迹方程为.18．（1）；（2）【解析】【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，长轴长为，求出几何量，即可得椭圆的方程；(2) 设点，利用点到直线的距离公式即可求出.【详解】（1）由已知得，得   椭圆（2）设，则当时，.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性求的最大值，属于基础题.19．（1）；（2）【分析】（1）首先求焦点坐标，再利用双曲线的定义，求双曲线方程；（2）结合余弦定理和双曲线的定义，求.【详解】（1）由椭圆方程可知，，，, ，，双曲线的方程；（2）设点在双曲线的右支上，并且设，，，变形为，20．（1）；；（2）【分析】（1）根据题意求出，设出椭圆：，结合即可求解.  （2）利用椭圆的参数方程即可求解.【详解】（1）由，可得， 设椭圆E的标准方程：，且经过点.，解得，所以椭圆E的标准方程：，.（2）由（1）可知：，，设 （为参数），则 ，，所以，（） 当时，取得最大值，即的最大值为.21．（1）（2）见解析【分析】（1）根据向量的知识证明，从而得出，再由椭圆的定义证明点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，从而得出方程；（2）求出点的坐标，当直线的斜率存在时，联立椭圆以及直线的方程，由韦达定理结合得出的关系，借助直线的知识得出定点；当直线的斜率不存在时，由以及椭圆方程得出的直线方程，从而求出定点.【详解】（1）为线段的中点且点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且即点N轨迹的方程为（2），即当直线的斜率存在时，设，，即即，整理得解得或若时，，即，过定点，与点重合，不符合题意；若时，，即，过定点当直线的斜率不存在时，设解得或（舍），即直线的方程为，过定点综上，直线过定点.【点睛】本题的第一问主要是借助椭圆的定义求出轨迹方程，第二问中关键是对进行因式分解，得出的关系.22．（1）；（2）证明见解析，.【分析】（1）点在短轴端点时的面积最大，根据此时的特征可得，再根据面积可得，从而可求椭圆的方程.（2）设直线，根据向量关系可得，联立直线方程和椭圆方程并利用韦达定理化简前者可得定值.【详解】（1）由对称性知，点在短轴端点时，的面积最大为直角三角形且，且，所以且，解得，，所以椭圆的方程为.（2）证明：显然直线的斜率不为0，设直线，，联立，消去，得.设，则.令，则，所以，因为，所以，所以，同理，所以.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决圆锥曲线中的定值问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为关于（或的形式）；（5）代入韦达定理求定值.