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高一 解答（30道）冲刺篇（期末篇）试卷
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解答（30道）冲刺篇（期末篇）
1．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”.
（1）已知二次函数（），试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；
（2）若是定义域为上的“局部中心函数”，求实数的取值范围.
2．设．
（1）在图的直角坐标系中画出的图像；
（2）若，求t值；
（3）求函数的最小值．
3．已知函数.
（1）当关于的不等式的解集为，时，求实数，的值；
（2）若对任意实数，时，恒成立，求实数的取值范围.
4．已知集合，，若，求实数的值.
5．已知函数，其中且，设．
(Ⅰ)求函数的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；
(Ⅱ)若，求使成立的的集合．
6．（1）已知，求
（2）已知，求的解析式．
7．已知集合，函数的定义域为集合.
(I)求集合.
(II)当时，若全集，求 及；
(III)若，求实数的取值范围.
8．已知函数，，
（1）求的最大值和最小值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
9．设S，T是R的两个非空子集，如果函数y=f（x）满足：①T={f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y=f（x）为集合S到集合T的“保序同构函数”．
（1）试判断下列函数f（x）=，f（x）=tan（πx-）是否是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．
（2）若f（x）=是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．
10．已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）用定义证明函数在上的单调性；
（3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
11．某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
12．已知某企业生产某种产品的年固定成本为200万元，且每生产1吨该产品需另投入12万元，现假设该企业在一年内共生产该产品吨并全部销售完.每吨的销售收入为万元，且.
（1）求该企业年总利润（万元）关于年产量（吨）的函数关系式；
（2）当年产量为多少吨时，该企业在这一产品的生产中所获年总利润最大？
13．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于轴对称且经过坐标原点.
（1）求的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
14．已知函数，.
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
15．已知试用表示的值.
16．求函数的定义域．
17．已知命题：“，使等式成立”是真命题．
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．已知（，为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数在内单调递增或单调递减；②如果存在区间，使函数在区间上的值域为，那么称，为闭函数
（1）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数（）为闭函数；
（3）若是闭函数，求实数的取值范围
19．函数，
（1）用定义证明在上单调递减；
（2）若，求的取值范围.
20．已知函数.
（1）若，直接写出关于x的不等式的解集；
（2）若，求关于x的不等式的解集.
21．记函数的定义域、值域分别为集合A，B.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
22．设函数是定义域为的奇函数.
（1）求的值；
（2）若，求在的最小值.
23．如图，点是函数的图象与轴的交点，点是该函数图象与轴的两个交点.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
24．我们知道对数函数有如下性质：①过定点；②；③是增函数.已知函数，若对任意的都有，并且时，，研究函数是否具有与对数函数类似的性质，如果有，请给予证明.
25．定义函数(为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的的模.若模存在最大值，则称之为函数的长距；若模存在最小值，则称之为函数的短距.
(1)分别判断函数与是否存在长距与短距，若存在，请求出;
(2)求证：指数函数的短距小于1;
(3)对于任意是否存在实数，使得函数的短距不小于2且长距不大于4.若存在，请求出的取值范围；不存在，则说明理由？
26．已知函数.
（1）用“五点法”作出函数在一个周期闭区间上的图象（请先列表，再描点，图中每个小矩形的宽度为）；
（2）请根据图象写出函数在上的单调区间及在区间上的值域.
27．设二次函数.
（1）若，的解集为，求函数的值域；
（2）若不等式对任意恒成立，求的最大值.
28．已知函数，的所有正数的零点构成递增数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
29．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点是－2和3，当x∈(－2，3)时，f（x）<0，且f(－6)＝36，求二次函数的解析式．
30．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．
（1）若a＝3，求P；
（2）若a＞﹣1且Q⊆P，求a的取值范围．
专题3.12 解答（30道）冲刺篇（期末篇）
1．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”.
（1）已知二次函数（），试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；
（2）若是定义域为上的“局部中心函数”，求实数的取值范围.
【答案】(1) 为“局部中心函数”，理由详见解题过程；（2）
解：（1）由题意，（），
所以，
，
当时，
解得：，
由于，所以，
所以为“局部中心函数”.
（2）因为是定义域为上的“局部中心函数”，
所以方程有解，
即在上有解，
整理得：，
令，，
故题意转化为在上有解，
设函数，
当时，在上有解，
即，
解得：；
当时，
则需要满足才能使在上有解，
解得：，
综上：.
2．设．
（1）在图的直角坐标系中画出的图像；
（2）若，求t值；
（3）求函数的最小值．
【答案】（1）答案见解析；（2）或，或；（3）-1.
（1）的图像如下边：
（2）当时，，∴；
当时，，解得：；
当时，，∴，
综上所述：或，或．
（3）由图可知：当时，，
所以函数的最小值为．
3．已知函数.
（1）当关于的不等式的解集为，时，求实数，的值；
（2）若对任意实数，时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
解：（1）由题意可得，一元二次方程的两根为，
结合韦达定理可得：，解得：或.
（2）由题意可得：恒成立，
即：恒成立，
结合二次函数的性质可得：，
求解不等式可得实数的取值范围是.
4．已知集合，，若，求实数的值.
【答案】
解：由，，所以.解方程组，得.
5．已知函数，其中且，设．
(Ⅰ)求函数的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；
(Ⅱ)若，求使成立的的集合．
【答案】(Ⅰ) 定义域为；为奇函数；(Ⅱ).
(1)∵f(x)＝loga(2＋x)的定义域为{x|x>－2}，
g(x)＝loga(2－x)的定义域为{x|x<2}，
∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x>－2}∩{x|x<2}＝{x|－2
∴h(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－[loga(2＋x)－loga(2－x)]＝－h(x)，
∴h(x)为奇函数．
(2)∵f(2)＝loga(2＋2)＝loga4＝2，∴a＝2.
∴h(x)＝log2(2＋x)－log2(2－x)，
∴h(x)<0等价于log2(2＋x)
解得－2
（2）已知，求的解析式．
【答案】(1) 1 ；（2）
(1) ，所以 = =.
（2）f（x+1）＝x2+2x+1＝（x+1）2∴f（x）＝x2.
7．已知集合，函数的定义域为集合.
(I)求集合.
(II)当时，若全集，求 及；
(III)若，求实数的取值范围.
【答案】(I) (II) ，(III)<-8或
【解析】
(I)要使函数f(x)有意义，只需满足 ，解得，即集合；
(II)当a=-1时，0<-x+1≤5,解得集合，全集，则
，,
(III) A中不等式的解集应分三种情况讨论:
①若a=0,则A=R,若AB ,此种情况不存在.
②若a<0,则;若AB,如图,
则 , ,则a<-8,
③若a>0,则,若AB,如图,
则,则，即，
综上知,此时a的取值范围是a<-8或.
8．已知函数，，
（1）求的最大值和最小值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数最小值为2，最大值为3;（2）.
【解析】
（1）由题意，则，得，进而得到函数的最大值与最小值；
（2）由不等式在上恒成立，即在上恒成立，利用三角函数的值域，得到关于的不等式，即可求解实数的取值范围.
试题解析：
（1）∵函数，
∵，∴，，
∴当时，函数取得最小值为2，
当时，函数取得最大值为3.
（2）若不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
∴，且，由此求得，或，
故实数的取值范围为.
9．设S，T是R的两个非空子集，如果函数y=f（x）满足：①T={f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y=f（x）为集合S到集合T的“保序同构函数”．
（1）试判断下列函数f（x）=，f（x）=tan（πx-）是否是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．
（2）若f（x）=是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）s的最大值为1，t的最大值为
【解析】
解：（1）由②知，函数为增函数即可．
若f（x）=，
当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，函数y=为增函数，同时y=为增函数，
即f（x）=增函数，满足条件．
若f（x）=tan（πx-），当0＜x＜1时，0＜πx＜π，-＜πx-＜，
此时函数f（x）为增函数，满足条件．
即两个函数都是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数．
（2）函数f（x）为f′（x）==，
当x＞0时，由f′（x）＞0得1-x2＞0得x2＜1，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得1-x2＜0得x2＞1，即x＞1，
即函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，
则s的最大值为1，t的最大值为f（1）=．
10．已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）用定义证明函数在上的单调性；
（3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)单调增函数,证明见解析;(3).
(1)由函数是奇函数,且在处有定义,
则解得,当时,为奇函数满足题意,所以;
(2)单调递增函数,证明如下:
设,则由
化简得,因为,所以,即,
所以即,
所以函数在定义域上为单调递增函数;
(3)由(2)得函数在定义域上为单调递增函数,且为奇函数,
则不等式可转化为: ,
所以有在上恒成立,即恒成立,
则由解得.
11．某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．
（1）设与之间的函数关系式为，
根据题意得，解得，
与之间的函数关系式为；
（2），
，
当时，有最大值1600．
答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．
12．已知某企业生产某种产品的年固定成本为200万元，且每生产1吨该产品需另投入12万元，现假设该企业在一年内共生产该产品吨并全部销售完.每吨的销售收入为万元，且.
（1）求该企业年总利润（万元）关于年产量（吨）的函数关系式；
（2）当年产量为多少吨时，该企业在这一产品的生产中所获年总利润最大？
【答案】（1）（2）年产量为10吨
（1）由题意.
（2）当时，，，
∵时，，时，，
∴函数在递增，在递减，
∴当且仅当时，有最大值；
当时，，
∵，
∴，
当且仅当，即时，取最大值322.
∵，∴当且仅当时，有最大值.
故当年产量为10吨时，该化工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，
最大利润为万元.
13．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于轴对称且经过坐标原点.
（1）求的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
（1），，故.
向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到y=.
即，故，即，
时满足条件，即，，故.
故
（2），故，故，.
设，即恒成立.
即的最大值小于等于零即可.
故满足：， 即 ，解得
14．已知函数，.
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；(2) ；（3）.
【解析】
因为函数在区间上单调递增，且函数是连续不间断的，
所以，解得，故所求实数的取值范围是.
(2) 当时，函数在上单调递增，上单调递增，在单调递减，
所以，当时取得最大值.
由不等式恒成立知，，所以，
当时，故恒成立；
当时，函数在上单调递减，上单调递减，在单调递增，
所以，当时取得最小值成立，
综上所述，实数的取值范围是.
15．已知试用表示的值.
【答案】
由，
所以.
又由，
又因为，于是，所以.
16．求函数的定义域．
【答案】{x| –1＜x＜0或0＜x＜2}
【解析】
因为 即定义域为：{x| –1＜x＜0或0＜x＜2}.
17．已知命题：“，使等式成立”是真命题．
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
（1）由题意知，方程在上有解，即的取值范围就是函数在上的值域，易得．
（2）因为是的必要不充分条件，所以且
若，分以下几种情形研究；
①当时，解集为空集，不满足题意，
②当时，，此时集合，
则解得，且时，，故满足题意，
③当时，，此时集合，
则，解得．
综上，或时是的必要不充分条件．
18．已知（，为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数在内单调递增或单调递减；②如果存在区间，使函数在区间上的值域为，那么称，为闭函数
（1）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数（）为闭函数；
（3）若是闭函数，求实数的取值范围
【答案】（1）见解析；(2)见解析；（3）
（1）函数f（x）在区间上单调递减，在上单调递增；
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数．
（2）先证y＝﹣x3符合条件①：对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，
有＝＝，
∴y1＞y2，故y＝﹣x3是R上的减函数．又因为y＝﹣x3在[﹣1，1]上的值域是[﹣1，1]．
所以函数y＝﹣x3（x∈[﹣1，1]）为闭函数；
（3）易知是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；
设函数符合条件②的区间为[a，b]，则有；
故a，b是的两个不等根，即方程组为：有两个不等非负实根；
设x1，x2为方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0的二根，则，解得：
∴k的取值范围：．
19．函数，
（1）用定义证明在上单调递减；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
（1）任取，且，则
在上单调递减
（2）解得
20．已知函数.
（1）若，直接写出关于x的不等式的解集；
（2）若，求关于x的不等式的解集.
【答案】（1）或；（2）当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
（1）当时，函数，
由，可得，
所以原不等式的解集为或.
（2）由，可得，
令，解得或，
因为，所以或，
当时，可得，原不等式的解集为；
当时，可得，原不等式的解集为或.
21．记函数的定义域、值域分别为集合A，B.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
（1）时，，由得，即，
由得，
∴；
（2）“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，若，
则由得，即，与（1）类似得，不合题意，
若，则，即，满足题意，
若，则，，，满足题意．
综上的取值范围是．
22．设函数是定义域为的奇函数.
（1）求的值；
（2）若，求在的最小值.
【答案】（1）k=2；（2）
(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0，
∴1−(k−1)=0，∴k=2.
(2)由得a=2（负值舍去），
则，
令由x≥1可得t≥，
则函数，
且在递增，
可得g(x)在[1,+∞)上的最小值为.
23．如图，点是函数的图象与轴的交点，点是该函数图象与轴的两个交点.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1） （2）
（1）∵的图象经过点，∴，
∵点在的递增区间，∴，
∵,∴.
（2）由（1）可知，
令，得，
∴，解得，
∴,，
又，则，，
∵,∴,即，
解得，又,∴.
24．我们知道对数函数有如下性质：①过定点；②；③是增函数.已知函数，若对任意的都有，并且时，，研究函数是否具有与对数函数类似的性质，如果有，请给予证明.
【答案】证明见解析
性质一：把代入
得，所以必过点；
性质二：，
，类似可得：；
性质三：在上是增函数，设，依题
令，
所以，
所以，
所以在上是增函数.
25．定义函数(为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的的模.若模存在最大值，则称之为函数的长距；若模存在最小值，则称之为函数的短距.
(1)分别判断函数与是否存在长距与短距，若存在，请求出;
(2)求证：指数函数的短距小于1;
(3)对于任意是否存在实数，使得函数的短距不小于2且长距不大于4.若存在，请求出的取值范围；不存在，则说明理由？
【答案】（1）短距为，长距不存在，短距为，长距为5；（2）证明见解析；（3）.
（1）设（当且仅当取得等号）
短距为，长距不存在． +2分
设+3分
短距为，长距为5． +5分
（2）设
的短距不大于1 +7分
与单位圆存在两个交点
当时，存在使得
当时，存在使得
指数函数的短距小于1; +10分
（3）设函数的短距不小于2且长距不大于4 即对于始终成立 +11分
对于始终成立：
当时：对于始终成立
当时：取即可知显然不成立
当时：对于始终成立+14分
对于始终成立，
即对于始终成立：
+17分
综上+18分
26．已知函数.
（1）用“五点法”作出函数在一个周期闭区间上的图象（请先列表，再描点，图中每个小矩形的宽度为）；
（2）请根据图象写出函数在上的单调区间及在区间上的值域.
【答案】（1）详见解析；（2）增区间是，减区间是；值域是.
（1）列表如下：
0
x
y
0
3
0
-3
0
描点函数图象如图所示：
（2）函数的增区间是，减区间是；
因为，
所以，
所以 ，
所以在区间上的值域.
27．设二次函数.
（1）若，的解集为，求函数的值域；
（2）若不等式对任意恒成立，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
（1）由题意，且是方程的两个根，
所以，解得，
所以，
因为，
所以函数的值域为；
（2）若不等式即对任意恒成立，
则，即，易知，
当时，，；
当时，设，则
则，
当且仅当且时，等号成立，
所以的最大值为.
28．已知函数，的所有正数的零点构成递增数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
（1），
这就是函数的全部零点，
已知函数的全部正数的零点构成等差数列，
则其首项等于，公差等于1，的通项公式就是.
（2），
则，①
，②
①②：，
所以，，
因此，数列的前项和为.
29．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点是－2和3，当x∈(－2，3)时，f（x）<0，且f(－6)＝36，求二次函数的解析式．
【答案】f（x）＝x2－x－6.
二次函数的零点是－2和3，所以－2和3是函数的两根，又x∈(－2，3)时，f（x）<0，可知f（x）开口向上.
所以设f（x）＝a(x＋2)(x－3)且a>0
∵f(－6)＝a(-6＋2)(-6－3)=36，∴a＝1
∴f（x）＝(x＋2)(x－3)
满足条件－2
30．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．
（1）若a＝3，求P；
（2）若a＞﹣1且Q⊆P，求a的取值范围．
【答案】（1）P＝{x|﹣1＜x＜3}．（2）（﹣1，0）∪（2，+∞）
【解析】
（1）若a＝3，由，得P＝{x|﹣1＜x＜3}．
（2）Q＝{x||x﹣1|≤1}＝{x|0≤x≤2}．
当a＞0，得P＝{x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形
所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．
当﹣1＜a＜0时，⇔﹣a（x﹣a）（x+1）＞0，P＝（﹣∞，﹣1）∪（a，+∞），
满足Q⊆P．
综上所述，a的取值范围是：（﹣1，0）∪（2，+∞）
1．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”.
（1）已知二次函数（），试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；
（2）若是定义域为上的“局部中心函数”，求实数的取值范围.
2．设．
（1）在图的直角坐标系中画出的图像；
（2）若，求t值；
（3）求函数的最小值．
3．已知函数.
（1）当关于的不等式的解集为，时，求实数，的值；
（2）若对任意实数，时，恒成立，求实数的取值范围.
4．已知集合，，若，求实数的值.
5．已知函数，其中且，设．
(Ⅰ)求函数的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；
(Ⅱ)若，求使成立的的集合．
6．（1）已知，求
（2）已知，求的解析式．
7．已知集合，函数的定义域为集合.
(I)求集合.
(II)当时，若全集，求 及；
(III)若，求实数的取值范围.
8．已知函数，，
（1）求的最大值和最小值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
9．设S，T是R的两个非空子集，如果函数y=f（x）满足：①T={f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y=f（x）为集合S到集合T的“保序同构函数”．
（1）试判断下列函数f（x）=，f（x）=tan（πx-）是否是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．
（2）若f（x）=是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．
10．已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）用定义证明函数在上的单调性；
（3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
11．某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
12．已知某企业生产某种产品的年固定成本为200万元，且每生产1吨该产品需另投入12万元，现假设该企业在一年内共生产该产品吨并全部销售完.每吨的销售收入为万元，且.
（1）求该企业年总利润（万元）关于年产量（吨）的函数关系式；
（2）当年产量为多少吨时，该企业在这一产品的生产中所获年总利润最大？
13．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于轴对称且经过坐标原点.
（1）求的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
14．已知函数，.
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
15．已知试用表示的值.
16．求函数的定义域．
17．已知命题：“，使等式成立”是真命题．
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．已知（，为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数在内单调递增或单调递减；②如果存在区间，使函数在区间上的值域为，那么称，为闭函数
（1）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数（）为闭函数；
（3）若是闭函数，求实数的取值范围
19．函数，
（1）用定义证明在上单调递减；
（2）若，求的取值范围.
20．已知函数.
（1）若，直接写出关于x的不等式的解集；
（2）若，求关于x的不等式的解集.
21．记函数的定义域、值域分别为集合A，B.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
22．设函数是定义域为的奇函数.
（1）求的值；
（2）若，求在的最小值.
23．如图，点是函数的图象与轴的交点，点是该函数图象与轴的两个交点.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
24．我们知道对数函数有如下性质：①过定点；②；③是增函数.已知函数，若对任意的都有，并且时，，研究函数是否具有与对数函数类似的性质，如果有，请给予证明.
25．定义函数(为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的的模.若模存在最大值，则称之为函数的长距；若模存在最小值，则称之为函数的短距.
(1)分别判断函数与是否存在长距与短距，若存在，请求出;
(2)求证：指数函数的短距小于1;
(3)对于任意是否存在实数，使得函数的短距不小于2且长距不大于4.若存在，请求出的取值范围；不存在，则说明理由？
26．已知函数.
（1）用“五点法”作出函数在一个周期闭区间上的图象（请先列表，再描点，图中每个小矩形的宽度为）；
（2）请根据图象写出函数在上的单调区间及在区间上的值域.
27．设二次函数.
（1）若，的解集为，求函数的值域；
（2）若不等式对任意恒成立，求的最大值.
28．已知函数，的所有正数的零点构成递增数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
29．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点是－2和3，当x∈(－2，3)时，f（x）<0，且f(－6)＝36，求二次函数的解析式．
30．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．
（1）若a＝3，求P；
（2）若a＞﹣1且Q⊆P，求a的取值范围．
专题3.12 解答（30道）冲刺篇（期末篇）
1．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”.
（1）已知二次函数（），试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；
（2）若是定义域为上的“局部中心函数”，求实数的取值范围.
【答案】(1) 为“局部中心函数”，理由详见解题过程；（2）
解：（1）由题意，（），
所以，
，
当时，
解得：，
由于，所以，
所以为“局部中心函数”.
（2）因为是定义域为上的“局部中心函数”，
所以方程有解，
即在上有解，
整理得：，
令，，
故题意转化为在上有解，
设函数，
当时，在上有解，
即，
解得：；
当时，
则需要满足才能使在上有解，
解得：，
综上：.
2．设．
（1）在图的直角坐标系中画出的图像；
（2）若，求t值；
（3）求函数的最小值．
【答案】（1）答案见解析；（2）或，或；（3）-1.
（1）的图像如下边：
（2）当时，，∴；
当时，，解得：；
当时，，∴，
综上所述：或，或．
（3）由图可知：当时，，
所以函数的最小值为．
3．已知函数.
（1）当关于的不等式的解集为，时，求实数，的值；
（2）若对任意实数，时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
解：（1）由题意可得，一元二次方程的两根为，
结合韦达定理可得：，解得：或.
（2）由题意可得：恒成立，
即：恒成立，
结合二次函数的性质可得：，
求解不等式可得实数的取值范围是.
4．已知集合，，若，求实数的值.
【答案】
解：由，，所以.解方程组，得.
5．已知函数，其中且，设．
(Ⅰ)求函数的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；
(Ⅱ)若，求使成立的的集合．
【答案】(Ⅰ) 定义域为；为奇函数；(Ⅱ).
(1)∵f(x)＝loga(2＋x)的定义域为{x|x>－2}，
g(x)＝loga(2－x)的定义域为{x|x<2}，
∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x>－2}∩{x|x<2}＝{x|－2
∴h(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－[loga(2＋x)－loga(2－x)]＝－h(x)，
∴h(x)为奇函数．
(2)∵f(2)＝loga(2＋2)＝loga4＝2，∴a＝2.
∴h(x)＝log2(2＋x)－log2(2－x)，
∴h(x)<0等价于log2(2＋x)
解得－2
（2）已知，求的解析式．
【答案】(1) 1 ；（2）
(1) ，所以 = =.
（2）f（x+1）＝x2+2x+1＝（x+1）2∴f（x）＝x2.
7．已知集合，函数的定义域为集合.
(I)求集合.
(II)当时，若全集，求 及；
(III)若，求实数的取值范围.
【答案】(I) (II) ，(III)<-8或
【解析】
(I)要使函数f(x)有意义，只需满足 ，解得，即集合；
(II)当a=-1时，0<-x+1≤5,解得集合，全集，则
，,
(III) A中不等式的解集应分三种情况讨论:
①若a=0,则A=R,若AB ,此种情况不存在.
②若a<0,则;若AB,如图,
则 , ,则a<-8,
③若a>0,则,若AB,如图,
则,则，即，
综上知,此时a的取值范围是a<-8或.
8．已知函数，，
（1）求的最大值和最小值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数最小值为2，最大值为3;（2）.
【解析】
（1）由题意，则，得，进而得到函数的最大值与最小值；
（2）由不等式在上恒成立，即在上恒成立，利用三角函数的值域，得到关于的不等式，即可求解实数的取值范围.
试题解析：
（1）∵函数，
∵，∴，，
∴当时，函数取得最小值为2，
当时，函数取得最大值为3.
（2）若不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
∴，且，由此求得，或，
故实数的取值范围为.
9．设S，T是R的两个非空子集，如果函数y=f（x）满足：①T={f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y=f（x）为集合S到集合T的“保序同构函数”．
（1）试判断下列函数f（x）=，f（x）=tan（πx-）是否是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．
（2）若f（x）=是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）s的最大值为1，t的最大值为
【解析】
解：（1）由②知，函数为增函数即可．
若f（x）=，
当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，函数y=为增函数，同时y=为增函数，
即f（x）=增函数，满足条件．
若f（x）=tan（πx-），当0＜x＜1时，0＜πx＜π，-＜πx-＜，
此时函数f（x）为增函数，满足条件．
即两个函数都是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数．
（2）函数f（x）为f′（x）==，
当x＞0时，由f′（x）＞0得1-x2＞0得x2＜1，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得1-x2＜0得x2＞1，即x＞1，
即函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，
则s的最大值为1，t的最大值为f（1）=．
10．已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）用定义证明函数在上的单调性；
（3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)单调增函数,证明见解析;(3).
(1)由函数是奇函数,且在处有定义,
则解得,当时,为奇函数满足题意,所以;
(2)单调递增函数,证明如下:
设,则由
化简得,因为,所以,即,
所以即,
所以函数在定义域上为单调递增函数;
(3)由(2)得函数在定义域上为单调递增函数,且为奇函数,
则不等式可转化为: ,
所以有在上恒成立,即恒成立,
则由解得.
11．某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．
（1）设与之间的函数关系式为，
根据题意得，解得，
与之间的函数关系式为；
（2），
，
当时，有最大值1600．
答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．
12．已知某企业生产某种产品的年固定成本为200万元，且每生产1吨该产品需另投入12万元，现假设该企业在一年内共生产该产品吨并全部销售完.每吨的销售收入为万元，且.
（1）求该企业年总利润（万元）关于年产量（吨）的函数关系式；
（2）当年产量为多少吨时，该企业在这一产品的生产中所获年总利润最大？
【答案】（1）（2）年产量为10吨
（1）由题意.
（2）当时，，，
∵时，，时，，
∴函数在递增，在递减，
∴当且仅当时，有最大值；
当时，，
∵，
∴，
当且仅当，即时，取最大值322.
∵，∴当且仅当时，有最大值.
故当年产量为10吨时，该化工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，
最大利润为万元.
13．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于轴对称且经过坐标原点.
（1）求的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
（1），，故.
向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到y=.
即，故，即，
时满足条件，即，，故.
故
（2），故，故，.
设，即恒成立.
即的最大值小于等于零即可.
故满足：， 即 ，解得
14．已知函数，.
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；(2) ；（3）.
【解析】
因为函数在区间上单调递增，且函数是连续不间断的，
所以，解得，故所求实数的取值范围是.
(2) 当时，函数在上单调递增，上单调递增，在单调递减，
所以，当时取得最大值.
由不等式恒成立知，，所以，
当时，故恒成立；
当时，函数在上单调递减，上单调递减，在单调递增，
所以，当时取得最小值成立，
综上所述，实数的取值范围是.
15．已知试用表示的值.
【答案】
由，
所以.
又由，
又因为，于是，所以.
16．求函数的定义域．
【答案】{x| –1＜x＜0或0＜x＜2}
【解析】
因为 即定义域为：{x| –1＜x＜0或0＜x＜2}.
17．已知命题：“，使等式成立”是真命题．
（1）求实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
（1）由题意知，方程在上有解，即的取值范围就是函数在上的值域，易得．
（2）因为是的必要不充分条件，所以且
若，分以下几种情形研究；
①当时，解集为空集，不满足题意，
②当时，，此时集合，
则解得，且时，，故满足题意，
③当时，，此时集合，
则，解得．
综上，或时是的必要不充分条件．
18．已知（，为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数在内单调递增或单调递减；②如果存在区间，使函数在区间上的值域为，那么称，为闭函数
（1）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数（）为闭函数；
（3）若是闭函数，求实数的取值范围
【答案】（1）见解析；(2)见解析；（3）
（1）函数f（x）在区间上单调递减，在上单调递增；
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数．
（2）先证y＝﹣x3符合条件①：对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，
有＝＝，
∴y1＞y2，故y＝﹣x3是R上的减函数．又因为y＝﹣x3在[﹣1，1]上的值域是[﹣1，1]．
所以函数y＝﹣x3（x∈[﹣1，1]）为闭函数；
（3）易知是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；
设函数符合条件②的区间为[a，b]，则有；
故a，b是的两个不等根，即方程组为：有两个不等非负实根；
设x1，x2为方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0的二根，则，解得：
∴k的取值范围：．
19．函数，
（1）用定义证明在上单调递减；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
（1）任取，且，则
在上单调递减
（2）解得
20．已知函数.
（1）若，直接写出关于x的不等式的解集；
（2）若，求关于x的不等式的解集.
【答案】（1）或；（2）当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
（1）当时，函数，
由，可得，
所以原不等式的解集为或.
（2）由，可得，
令，解得或，
因为，所以或，
当时，可得，原不等式的解集为；
当时，可得，原不等式的解集为或.
21．记函数的定义域、值域分别为集合A，B.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
（1）时，，由得，即，
由得，
∴；
（2）“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，若，
则由得，即，与（1）类似得，不合题意，
若，则，即，满足题意，
若，则，，，满足题意．
综上的取值范围是．
22．设函数是定义域为的奇函数.
（1）求的值；
（2）若，求在的最小值.
【答案】（1）k=2；（2）
(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0，
∴1−(k−1)=0，∴k=2.
(2)由得a=2（负值舍去），
则，
令由x≥1可得t≥，
则函数，
且在递增，
可得g(x)在[1,+∞)上的最小值为.
23．如图，点是函数的图象与轴的交点，点是该函数图象与轴的两个交点.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1） （2）
（1）∵的图象经过点，∴，
∵点在的递增区间，∴，
∵,∴.
（2）由（1）可知，
令，得，
∴，解得，
∴,，
又，则，，
∵,∴,即，
解得，又,∴.
24．我们知道对数函数有如下性质：①过定点；②；③是增函数.已知函数，若对任意的都有，并且时，，研究函数是否具有与对数函数类似的性质，如果有，请给予证明.
【答案】证明见解析
性质一：把代入
得，所以必过点；
性质二：，
，类似可得：；
性质三：在上是增函数，设，依题
令，
所以，
所以，
所以在上是增函数.
25．定义函数(为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的的模.若模存在最大值，则称之为函数的长距；若模存在最小值，则称之为函数的短距.
(1)分别判断函数与是否存在长距与短距，若存在，请求出;
(2)求证：指数函数的短距小于1;
(3)对于任意是否存在实数，使得函数的短距不小于2且长距不大于4.若存在，请求出的取值范围；不存在，则说明理由？
【答案】（1）短距为，长距不存在，短距为，长距为5；（2）证明见解析；（3）.
（1）设（当且仅当取得等号）
短距为，长距不存在． +2分
设+3分
短距为，长距为5． +5分
（2）设
的短距不大于1 +7分
与单位圆存在两个交点
当时，存在使得
当时，存在使得
指数函数的短距小于1; +10分
（3）设函数的短距不小于2且长距不大于4 即对于始终成立 +11分
对于始终成立：
当时：对于始终成立
当时：取即可知显然不成立
当时：对于始终成立+14分
对于始终成立，
即对于始终成立：
+17分
综上+18分
26．已知函数.
（1）用“五点法”作出函数在一个周期闭区间上的图象（请先列表，再描点，图中每个小矩形的宽度为）；
（2）请根据图象写出函数在上的单调区间及在区间上的值域.
【答案】（1）详见解析；（2）增区间是，减区间是；值域是.
（1）列表如下：
0
x
y
0
3
0
-3
0
描点函数图象如图所示：
（2）函数的增区间是，减区间是；
因为，
所以，
所以 ，
所以在区间上的值域.
27．设二次函数.
（1）若，的解集为，求函数的值域；
（2）若不等式对任意恒成立，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
（1）由题意，且是方程的两个根，
所以，解得，
所以，
因为，
所以函数的值域为；
（2）若不等式即对任意恒成立，
则，即，易知，
当时，，；
当时，设，则
则，
当且仅当且时，等号成立，
所以的最大值为.
28．已知函数，的所有正数的零点构成递增数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
（1），
这就是函数的全部零点，
已知函数的全部正数的零点构成等差数列，
则其首项等于，公差等于1，的通项公式就是.
（2），
则，①
，②
①②：，
所以，，
因此，数列的前项和为.
29．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点是－2和3，当x∈(－2，3)时，f（x）<0，且f(－6)＝36，求二次函数的解析式．
【答案】f（x）＝x2－x－6.
二次函数的零点是－2和3，所以－2和3是函数的两根，又x∈(－2，3)时，f（x）<0，可知f（x）开口向上.
所以设f（x）＝a(x＋2)(x－3)且a>0
∵f(－6)＝a(-6＋2)(-6－3)=36，∴a＝1
∴f（x）＝(x＋2)(x－3)
满足条件－2
30．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．
（1）若a＝3，求P；
（2）若a＞﹣1且Q⊆P，求a的取值范围．
【答案】（1）P＝{x|﹣1＜x＜3}．（2）（﹣1，0）∪（2，+∞）
【解析】
（1）若a＝3，由，得P＝{x|﹣1＜x＜3}．
（2）Q＝{x||x﹣1|≤1}＝{x|0≤x≤2}．
当a＞0，得P＝{x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形
所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．
当﹣1＜a＜0时，⇔﹣a（x﹣a）（x+1）＞0，P＝（﹣∞，﹣1）∪（a，+∞），
满足Q⊆P．
综上所述，a的取值范围是：（﹣1，0）∪（2，+∞）
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