第二章—元二次函数、方程和不等式（基础练）-2020-2021学年上学期高一数学期末复习制胜宝典（人教A版2019必修第一册）

第二章—元二次函数、方程和不等式（基础练）
-2020-2021学年上学期高一数学期末复习制胜宝典（人教A版2019必修第一册）

1．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．
4．若且，则下列四个数中最大的是( )
A． B． C．2ab D．
5．若实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为元，购买3只康乃馨所需费用为元，则的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．的大小关系不确定
7．若，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．若四个不相等的正数，，，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
9．若，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
10．若直角三角形面积为18，则两条直角边的和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．函数的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
13．函数的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
14．已知x>0，y>0，且+=1，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(-∞,-2]∪[4,+∞) B．(-∞,-4)∪[2,+∞)
C．(-2,4) D．(-4,2)
15．设，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
16．实数、，，且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
17．已知，，则的取值范围是___________.
18．已知a＞﹣1，b＞0，a+2b＝1，则+的最小值为______．
19．若，则的最大值为________.
20．若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是________.
21．已知,则与的大小关系是________.
22．关于的不等式的解集是，则______．
23．对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总为非负，则m的取值范围为________.
24．设，，且，则的最小值是________.
25．若不等式 对任意实数均成立，则实数的取值范围是_________
26．设，则当取得最小值时，x的值是______.
27．若不等式的解集为，求实数的取值范围.



28．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？




29．已知在上最大值是2，求实数a的值．




30．（1）已知,证明：；
（2）已知,证明：．


31．若，，求证：.


32．现有四个长方体容器，的底面积均为，高分别为；的底面积均为，高也分别为 (其中)，现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？



33．若，求函数的最小值，并求此时的值；
设，求函数的最大值；
已知，求的最小值；
已知，，且，求的最小值.



34．已知关于的不等式的解集为R，求实数的取值范围.



35．求不等式3x2+5x－2>0的解集.

36．已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．

第二章—元二次函数、方程和不等式（基础练）
-2020-2021学年上学期高一数学期末复习制胜宝典（人教A版2019必修第一册）

1．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分，两种情况，当，对恒成立，当时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立.
【解答】当时，原不等式可化为，对恒成立；
当时，原不等式恒成立，需，
解得，
综上.
故选：D
2．已知：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】考虑两个条件对应的集合的包含关系后可得两者的条件关系.
【解答】：等价于或.
故：.
又：等价于.
因为为的真子集，
故是的充分不必要条件.
故选：A.
【点评】（1）若是的必要不充分条件，则对应的集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件，则对应的集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应的集合与对应的集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应的集合互不包含.
3．已知，，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可求出．
【解答】因为，，由基本不等式可得，，当且仅当时等号成立．
故选：B．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
4．若且，则下列四个数中最大的是( )
A． B． C．2ab D．
【答案】B
【解析】因为，所以，可得．当且仅当时取等号．因为，所以等号不成立，则，可得．当且仅当时取等号．因为，所以等号不成立，则．而，所以．综上可得，四个数中最大的是，故选B
5．若实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可得，利用基本不等式即可求出.
【解答】由题意可知，
因为，所以，
所以，所以，
当且仅当，即时，取等号.
故选：B.
【点评】本题考查利用基本不等式求求值，属于基础题.
6．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为元，购买3只康乃馨所需费用为元，则的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．的大小关系不确定
【答案】A
【分析】设出玫瑰与康乃馨的单价，根据题意列出不等式，求出的表达式，利用不等式的性质求解即可.
【解答】设玫瑰与康乃馨的单价分别为(单位为：元)，则有.
所以有，因此.
可得：；
可得：，因此.
故选：A
【点评】本题考查了数学阅读能力，考查了不等式性质的应用，考查了数学建模思想，考查数学运算能力.
7．若，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由可得，利用基本不等式即可求解.
【解答】因为，
所以，
则，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为4.
故选：C.
【点评】本题考查基本不等式求最值，属于基础题.
8．若四个不相等的正数，，，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由正数，，，满足，得到，且，利用基本不等式，对四个选项进行判断，得到正确答案.
【解答】四个不相等的正数，，，满足，
由得，
因为，
所以根据基本不等式得，
所以得，
即，
故选项.
【点评】本题考查根据基本不等式证明不等关系，属于简单题.
9．若，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】对式子变形后利用基本不等式求出结果即可.
【解答】因为，所以
所以
当且仅当，即时等号成立
故选：A
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查了学生的变形能力，属于中档题.
10．若直角三角形面积为18，则两条直角边的和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设直角三角形的两直角边为a，b，根据直角三角形面积为18，得到ab=36,然后由求解.
【解答】设直角三角形的两直角边为a，b，
因为直角三角形面积为18，即ab=36,
所以两条直角边的和 ，
当且仅当时取等号，
所以两条直角边的和的最小值是12.
故选：D
【点评】本题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.
11．函数的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】将变形为，然后根据基本不等式求解出的最小值即可.
【解答】因为，
所以，
取等号时，即，
所以.
故选：C.
【点评】本题考查利用配凑法以及基本不等式求解最小值，利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件，属于基础题目.
12．若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误.
【解答】对于A选项，若，则，故A不成立；
对于B选项，，在不等式同时乘以，得，
另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；
对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；
对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.
故选B.
【点评】本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.
13．函数的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】直接利用基本不等式计算可得；
【解答】解：因为，
所以，
取等号时，即，
所以.
故选：C
【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
14．已知x>0，y>0，且+=1，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(-∞,-2]∪[4,+∞) B．(-∞,-4)∪[2,+∞)
C．(-2,4) D．(-4,2)
【答案】D
【分析】由已知条件，利用基本不等式求得，再由恒成立，可得，从而可求出m的取值范围
【解答】解：因为，x>0，y>0，
所以，当且仅当时，取等号，
因为恒成立，
所以，解得，
故选：D
15．设，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质求得的范围，利用基本不等式求得的范围，由此比较出两者的大小关系.
【解答】∵，
∴.
又∵，，
∴.
若，则，或，不符合.
∴.
∴.
∴.
故选：A
【点评】本小题主要考查利用基本不等式比较大小，属于基础题.
16．实数、，，且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到，由，根据基本不等式，即可求出结果.
【解答】因为，所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.
故选：C.
【点评】本题主要考查由基本不等式求最值，属于常考题型.


17．已知，，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】需将y的符号转化成-y，再采用同向可加性进行求解
【解答】，根据同向可加性，满足，即
【点评】同向可加性的适用前提是符号必须相同：同为大于号或同为小于号
18．已知a＞﹣1，b＞0，a+2b＝1，则+的最小值为______．
【答案】
【分析】根据条件可得，然后由+＝，即可利用基本不等式求得最小值.
【解答】∵a＞﹣1，b＞0，a+2b＝1，∴，
∴
＝
＝≥＝，
当且仅当a+1＝b，即，时取等号，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属基础题．
19．若，则的最大值为________.
【答案】
【分析】由基本不等式，得，由此即可求出函数的最大值．
【解答】，

当且仅当时，即时等号成立
因此，函数的最大值为，
故答案为：
【点评】本题主要考查了基本不等式求最值，解答过程注意“一正二定三相等”的应用，属于中档题．
20．若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是________.
【答案】或
【分析】分别讨论和，利用不等式的解集不是空集，解出的取值范围.
【解答】解：若，则原不等式等价为，此时不等式的解集为空集，所以不成立，即.
若，要使不等式的解集不是空集，
则①若，有，解得.
②若，则满足条件.
综上所述，满足条件的的取值范围是或.
故答案为：或.
【点评】本题主要考查一元二次不等式的基本解法，属于基础题.
21．已知,则与的大小关系是________.
【答案】
【分析】根据基本不等式,可得三组对应的不等式,等式两边分别相加即可得解.
【解答】根据基本不等式可知,当时
,当且仅当时取等号
,当且仅当时取等号
当且仅当时取等号
不等式两边分别相加可得
即,当且仅当时取等号
故答案为:
【点评】本题考查了利用基本不等式判断不等式大小关系,属于基础题.
22．关于的不等式的解集是，则______．
【答案】
【分析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根与系数的关系，得到和的值，得到答案.
【解答】因为关于的不等式的解集是，
所以关于的方程的解是，
由根与系数的关系得，解得，
所以.
【点评】本题考查二次不等式解集和二次方程根之间的关系，属于简单题.
23．对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总为非负，则m的取值范围为________.
【答案】{0}
【分析】根据题意，在上恒成立，即可由进行求解.
【解答】由题意知＝(m－4)2－4(4－2m)= m2≤0，得m＝0.
故答案为：.
【点评】本体考查由一元二次不等式在实数集上恒成立求参数范围，属经典简单题.
24．设，，且，则的最小值是________.
【答案】18
【分析】利用指数运算性质，根据基本不等式求最值.
【解答】
当且仅当时取等号，即的最小值是18
故答案为：18
【点评】本题考查利用基本不等式求最值、指数运算，考查基本分析求解能力，属基础题.
25．若不等式 对任意实数均成立，则实数的取值范围是_________
【答案】
【分析】将原不等式转化为，对分成和两种情况进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.
【解答】由题意，不等式恒成立，可化为恒成立，当，即时，不等式恒成立，符合题意；
当时，要使不等式恒成立，需 ，
解得，综上所述，所以的取值范围为．
故答案为：
【点评】本小题主要考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于中档题.
26．设，则当取得最小值时，x的值是______.
【答案】
【分析】利用，对不等式进行变形，再利用基本不等式求最值，最后根据最值取法得结果.
【解答】解：∵，则1﹣x＞0，
由基本不等式可得＝，
当且仅当，即当时，等号成立.
故答案为：
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

27．若不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】观察不等式，二次项系数为，故讨论系数，得到不等式解集为的的范围．
【解答】解：由题意，时，不等式为恒成立，满足题意，所以成立；
时，不等式的解集为，等价于，解得；
综上得到的范围是；
【点评】本题考查了不等式恒成立问题；关键是注意讨论的二次项系数，属于基础题．
28．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
【答案】矩形的长、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.
【分析】设矩形菜园的长为，宽为，可得出，利用基本不等式可求得篱笆长的最小值，利用等号成立的条件可求得矩形菜园的长和宽，由此可得出结论.
【解答】设矩形菜园的长为，宽为，则，篱笆的长为.
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
因此，这个矩形的长、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.
【点评】本题考查利用基本不等式解决实际问题，考查计算能力，属于基础题.
29．已知在上最大值是2，求实数a的值．
【答案】或
【分析】根据二次函数的解析式求得对称轴为，分，，三种情况进行讨论，分别求出函数的最大值，令最大值为2，即可求出a的值.
【解答】解：，则函数图象开口向下，对称轴为，
当时，当时，，解得；
当时，当时，，解得，此时无解；
当时，当时，.
综上所述： 或.
【点评】本题考查了已知二次函数的最值求参数的值，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
30．（1）已知,证明：；
（2）已知,证明：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【分析】(1)利用作差法证明即可.
(2)利用基本不等式证明即可.
【解答】(1)因为.
因为,故,即.
故成立.
(2)由基本不等式可得,故.
同理有,.
相加可得,当且仅当时取等号.
即得证.
【点评】本题主要考查了作差法以及基本不等式证明不等式的问题,属于基础题.
31．若，，求证：.
【答案】证明见解析.
【分析】利用差比较法证明不等式成立.
【解答】，∵，，
又，，
∴，∴.
又，
∴，∴，
∴.即.
【点评】本小题主要考查差比较法证明不等式，属于基础题.
32．现有四个长方体容器，的底面积均为，高分别为；的底面积均为，高也分别为 (其中)，现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？
【答案】未能确定与大小的情况下，取必胜,有1种必胜的方案.
【分析】由条件得，然后用作差法由其中两项的和减去另两项的和比较分析得出答案.
【解答】由条件得,
则
当时， ，当时，

当时， ，当时，

所以未能确定与大小的情况下，取必胜,有1种必胜的方案.
【点评】本题考查了不等式的基本性质、“作差法”，考查了推理能力，属于基础题．
33．若，求函数的最小值，并求此时的值；
设，求函数的最大值；
已知，求的最小值；
已知，，且，求的最小值.
【答案】时,取得最小值；；；.
【分析】由于，利用基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，即可求的结果；
先根据的范围确定的符号，再由结合基本不等式的内容可得到函数的最大值；
由，可得 ，可得，利用基本不等式的性质即可求得结果；
由，且，，进而可求得最小值
【解答】解：当时，，
当且仅当，即时取等号.
所以函数的最小值为，当时，有最小值.
，，
.
当且仅当，即时，等号成立.
，
函数的最大值为.
，，
，
当且仅当，即时，等号成立.
的最小值为.
，且，
，
当且仅当，，
即，时，上式取等号.
故当，时，.
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，考查分析能力，属于基础题.
34．已知关于的不等式的解集为R，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】按照两种情况讨论：①当时，可得符合；②当时，根据图象的开口方向和判别式列式可解得结果.
【解答】根据题意，分两种情况
①当时，即或时，
若，不等式变为，成立，符合条件；
若，不等式变为，解集为，不符合题意.
②当时，不等式为一元二次不等式，要使解集为R，
则对应二次函数的图象开口只能向上，且，
即且，
则或，且，
所以或，且，
即，
综上，实数的取值范围.
【点评】本题考查了分类讨论思想，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.
35．求不等式3x2+5x－2>0的解集.
【答案】或
【分析】不等式左边因式分解后，把不等式转化为两个一元一次不等式组求解．
【解答】将原不等式可以转化为：（x+2）(3x-1)>0
即：或
解得或
所以不等式的解集：或．
【点评】本题考查解一元二次不等式，解题方法是降次，利用因式分解转化为一元一次不等式组．
36．已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）12；（2）．
【分析】（1）变形为后，根据基本不等式可得结果；
（2）转化为，等价于，等价于,等价于.
【解答】（1）因为，所以，
因为，所以，
所以
当且仅当时，等号成立，
所以当时，．
（2）存在，使得成立，
等价于当时，
由（1）知，所以，，
所以．
因为，所以，解得，
所以实数a的取值范围为．
【点评】本题考查了利用基本不等式求最小值，考查了不等式能成立问题，属于基础题.