期末测试卷01（人教A版2019）（测试范围：必修第一册）（解析版）
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（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：必修第一册（人教A版2019）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．设集合，，则它们之间最准确的关系是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】由集合得，，则，
由集合得，，则，
则∴，故选C。
2．下列命题中，真命题是( )。
A、，
B、如果，那么
C、，
D、，使
【答案】D
【解析】A显然是假命题，
B中若虽然但不小于，
C中不存在，使得，
D中对总有，∴，故D是真命题，故选D。
3．已知，，且，则的最小值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】∵，，且，
∴，
当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为，故选B。
4．已知，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】由可得，
∴，∴，
∴，故选D。
5．若，则函数的最大值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】∵，∴，，
两边平方，
又，
∴，，即最大值为，故选D。
6．若直线与函数(且)的图像有两个公共点，则的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】作图，由图可知，
作出和两种图像易知，
只有有可能符合，∴，故选A。
7．已知函数()，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】∵
，
∴，故选C。
8．已知数，则下列说法错误的是( )。
A、的图像关于点对称
B、的图像关于直线对称
C、在上单调递增
D、是周期函数
【答案】C
【解析】，
∵，
，
∴，∴的图像关于点中心对称，A对，
∵，
，
∴，∴的图像关于直线轴对称，B对，
∵，
∴是函数的一个周期，D对，
综上，故选C。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．下面说法中正确的是( )。
A、集合中最小的数是
B、若，则
C、若，，则的最小值是
D、的解集组成的集合是。
【答案】AC
【解析】A选项，是正整数集，最小的正整数是，A对，
B选项，当时，，且，B错，
C选项，若，则的最小值是，若，则的最小值也是，
当和都取最小值时，取最小值，C对，
D选项，由的解集是，D错，
故选AC。
10．已知，且，则下列说法错误的是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】ABD
【解析】∵，
选项A，取，，则，A错，
选项B，取，，则，B错，
选项C中，在上是减函数，∴，∴成立，C正确，
选项D，取，，则，D错，
故选ABD。
11．给出函数，则下列说法错误的是( )。
A、函数的定义域为
B、函数的值域为
C、函数的图像关于原点中心对称
D、函数的图像关于直线轴对称
【答案】ABD
【解析】∵函数，则，解得且，
∴，做函数图像如图，
∴定义域为，A选项错，
∴值域为，B选项错，
∴的图像关于原点成中心对称，C选项对，
∴的图像不关于轴对称，D选项错，
故选ABD。
12．已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】ABC
【解析】函数的定义域为，值域为，∴时，，
故能取到最小值，最大值只能取到，把、其中的一个按住不动，则：
①当不动时，设，则，则，又为周期函数，
则()，
当时，，可取、、，
②当不动时，设，则，则，又为周期函数，
则()，
当时，，可取、、，
∴综上，一定取不到，故选ABC。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设参加某会议的代表构成集合，其中的全体女代表构成集合，全体男代表构成集合，则 。(填“”或“”或“”)
【答案】
【解析】表示参加该会议的全体女代表和全体男代表构成的集合即为集合，故。
14．函数(且)的图像恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为 。
【答案】
【解析】由题意，点，故，故，
，当且仅当时等号成立。
15．若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】结合函数及在上的图像易知，
只需满足条件：，且即可，从而得到。
16．若函数()的值域为，则的最小值为 。
【答案】
【解析】∵二次函数()的值域为，∴，
，则，∴，，
而，即，∴的最小值为。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知命题：关于的方程的解集至多有两个子集，命题：，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围。
【解析】∵是的必要不充分条件，∴是的充分不必要条件， 2分
对于命题，依题意知，∴，4分
令：，：， 6分
由题意知， ∴或，解得， 9分
因此实数的取值范围是。 10分
18．（本小题满分12分）
已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，。
(1)求证：；
(2)求；
(3)解不等式。
【解析】(1)令，，则，∴； 3分
(2)，，
故； 6分
(3)设、且，于是，
∴， 8分
∴在上为增函数，又∵， 10分
∴，解得，∴原不等式的解集为。 12分
19．（本小题满分12分）
已知函数，且当时的最小值为。
(1)求的值；
(2)先将函数的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求方程在区间上所有根之和。
【解析】(1)，∵，∴， 2分
∴，∴； 4分
(2)依题意得，由得， 6分
∴()或()， 8分
∴或，解得或， 11分
∴所有根的和为。 12分
20．（本小题满分12分）
已知幂函数()满足。
(1)求的值并求出相应的的解析式；
(2)对于(1)中得到的函数，试判断是否存在()，使函数在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由。
【解析】(1)∵，且当时在第一象限一定单调， 1分
∴在第一象限是单调递增函数，故，解得， 2分
又∵，∴或，当或时，∴； 4分
(2)假设存在()满足题设，由(1)知，， 5分
∵，∴两个最值点只能在端点和顶点处取得， 7分
而， 9分
∴，，解得， 11分
∴存在满足题意。 12分
21．（本小题满分12分）
已知定义域为的函数满足。
(1)若，求；又若，求；
(2)设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式。
【解析】(1)∵对，有，∴，
又由得，即， 2分
若，则，即； 4分
(2)∵对，有，
又∵有且仅有一个实数，使得，
∴对，有，令，则， 6分
又∵，∴，故或， 7分
若，则，即，
但方程有两个不相等的实数根，与题设条件矛盾，故， 9分
若，则，即，易验证该函数满足题设条件， 11分
综上，所求函数为()。 12分
22．（本小题满分12分）
已知函数。
(1)求函数的周期；
(2)若函数，试求函数的单调递增区间；
(3)若恒成立，试求实数的取值范围。
【解析】(1)∵，
∴的周期， 2分
(2)由(1)，知， 4分
由，解得，
∴函数的单调递增区间，， 6分
(3)∵， 8分
∴当时，， 10分
∵恒成立，等价于，
∴，即，解得，
∴实数的取值范围为。 12分
