期末测试卷02（人教A版2019）（测试范围：必修第一册）（解析版）
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（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：必修第一册（人教A版2019）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．设集合，，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】由题意得，，，则，故选C。
2．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( )。
A、全等三角形的面积不一定都相等
B、不全等三角形的面积不一定都相等
C、存在两个不全等三角形的面积相等
D、存在两个全等三角形的面积不相等
【答案】D
【解析】命题是省略量词的全称命题，故选D。
3．已知，，且，则的最小值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】∵，，∴，
即最小值为，故选A。
4．已知为第三象限角，且，则的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】由已知得，则，由为第三象限角，得，
故，，∴，故选D。
5．若函数的定义域为，则实数的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】等价于恒成立，
若，则，不可取，
若，则需，，解得，
∴的范围为，故选D。
6．关于的不等式()的解集为，则的最小值是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】可化为，解集为，
∵，∴，，
∴，故选C。
7．为得到函数的图像，可将函数的图像向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度(、均为正数)，则的最小值是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】的图像向左平移个单位长度，即可得到函数的图像，
此时，，
的图像向右平移个单位长度，即可得到函数的图像，
此时，，
即，
∴当时，取得最小值为，故选A。
8．设函数定义域为，，且对任意的都有，若在区间上函数恰有四个不同零点，则实数的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】由可知函数的周期，
令，则函数恒过点，
函数在区间上的图像如图所示，
当时，，可得，则，
∴在区间上恰有四个不同零点时，取值范围是，故选A。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．下面给出的几个关系中正确的是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】CD
【解析】A选项，中有元素，中有元素、，，A错，
B选项，中有元素，中有元素、，，B错，
C选项，∵，∴，C对，
D选项，是任意集合的子集，∴，D对，
故选CD。
10．若和都是定义在实数集上的函数，且方程有实数解，则可能是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】ACD
【解析】由得，则得，则，
A选项，，即，有解，
B选项，，即，无解，
C选项，，即，，有解，
D选项，，即，，有解，
故选ACD。
11．设、为实数，若，则关于的说法正确的是( )。
A、无最小值
B、最小值为
C、无最大值
D、最大值为
【答案】BD
【解析】，∴，∴，
∴即，即，
当且仅当时取等号，∴最小值为，最大值为，故BD。
12．定义性质：对于，都有，则下列函数中具有性质的是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】ACD
【解析】A选项，，，
∵，∴，可取，
B选项，，成立，排除，
C选项，，，
∴，可取，
D选项，，，
∴，可取，
故选ACD。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设集合，，，则实数的值为 。
【答案】
【解析】由题意知，，故，即，经验证，符合题意，∴。
14．己知，那么的最小值为 。
【答案】
【解析】∵，则，则，
∴
当且仅当即时取等号，∴最小值为。
15．下列说法中，正确的是 。（填入正确的序号）
①任取，均有；②当，且时，有；③是增函数；④的最小值为；⑤在同一坐标系中，与的图像关于轴对称。
【答案】①④⑤
【解析】由与的图像知当时，①正确，
当时函数是增函数，则，
当时函数是减函数，则，②不正确，
是减函数，③不正确，
，当时，④正确，
在同一坐标系中，与的图像关于轴对称，⑤正确。
16．已知函数(，)与函数的部分图像如图所示，且函数的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到，则 ，函数在区间上的值域为 。（本小题第一个空2分，第二个空3分）
【答案】
【解析】将函数的图像上的点向右平移个单位长度，
可得的图像在五点法做图时的第一个点，坐标为，即，
由的部分图像可知五点法做图时的第三个点坐标为，
则，解得，∴，由得，
当，即时，，
当，即时，，
故函数在区间的值域为。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知集合，集合。
(1)已知，求；
(2)若，求实数的取值范围。
【解析】(1)∵，∴集合，∴， 2分
，∴， 5分
(2)∵，∴， 6分
①当，即时，，∴， 7分
②当时，∵，∴，∴， 9分
综上所述，实数的取值范围为。 10分
18．（本小题满分12分）
设，在上满足=恒成立。
(1)求的值；
(2)证明：在上是增函数。
【解析】(1)依题意，对一切，有，即， 1分
∴对一切成立，由此可得，即， 3分
又∵，∴，∴； 5分
(2)证明：在上任取，则：
， 8分
由，得，，， 11分
∴，即在上是增函数。 12分
19．（本小题满分12分）
若，且，()。
(1)求的最小值及对应的值；
(2)取何值时，且。
【解析】(1)∵，∴，则，2分
∵，∴，，， 4分
∴，得，解得，∴， 6分
从而， 7分
∴当，即时有最小值； 9分
(2)由题意得，解得，∴，
∴的取值范围为。 12分
20．（本小题满分12分）
已知函数，，是常数。
(1)当时，判断和的大小，并说明理由；
(2)求函数的最小值。
【解析】(1)当时，，证明如下： 1分
∵时，，
∴，， 3分
∵正弦函数在区间上是减函数，且，
∴，∴，∴； 5分
(2)令，则， 6分
∵，∴， 7分
∵，∴， 8分
∴可转化为，
∴只需求出函数，的最小值即可， 9分
∵，，
∴当，即时，函数的最小值为，
当，即时，函数的最小值为，
当即时，函数的最小值为。 12分
21．（本小题满分12分）
对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”。若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，。
(1)求证：；
(2)若(、)，且，求实数的取值范围。
【解析】(1)证明：若，则显然成立； 1分
若，设，则，，即，从而； 3分
(2)解：中元素是方程即的实根，
由，知或，即， 5分
中元素是方程 ，即的实根，
由，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为：
， 7分
若，则方程①要么没有实根，
要么实根是方程②的根， 8分
若①没有实根，则，由此解得， 9分
若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有，代入①有，
由此解得，再代入②得，由此解得， 11分
故的取值范围是。 12分
22．（本小题满分12分）
已知函数(，，)在内取得一个最大值和一个最小值，且当时，有最大值，当时，有最小值。
(1)求函数的解析式；
(2)是否存在实数满足？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由。
【解析】(1)由题意可知：，，∴，则，
∴， 2分
∵点在此函数图像上，∴，，，
，，∵，∴，∴； 5分
(2)∵，，∴， 6分
， 7分
而在上是增函数，∴， 8分
∴，
∴，∴，解得：， 11分
∴的取值范围是。 12分
