期末测试卷02（人教A版）（测试范围：必修1、必修4）（解析版）
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（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：必修1、必修4（人教A版）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．设集合，，则它们之间最准确的关系是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】由集合得，，则，
由集合得，，则，
则∴，故选C。
2．已知平面向量，，若与反向共线，则实数的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】由题意可知，存在实数，使得，
∴，则，解得或，
又，∴，∴，故选D。
3．已知，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】由可得，
∴，∴，
∴，故选D。
4．已知向量，，，若，则实数的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】∵，，∴，又∵，，
∴，解得，故选A。
5．扇形圆心角为，半径长为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】∵扇形的圆心角是，半径为，∴，
∵扇形的内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，
∴几何知识知，∴内切圆的半径为，∴，
∴扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为，故选B。
6．若直线与函数(且)的图像有两个公共点，则的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】作图，由图可知，
作出和两种图像易知，
只有有可能符合，∴，故选A。
7．已知函数()，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】∵
，
∴，故选C。
8．已知数，则下列说法错误的是( )。
A、的图像关于点对称
B、的图像关于直线对称
C、在上单调递增
D、是周期函数
【答案】C
【解析】，
∵，
，
∴，∴的图像关于点中心对称，A对，
∵，
，
∴，∴的图像关于直线轴对称，B对，
∵，
∴是函数的一个周期，D对，
综上，故选C。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．下面给出的几个关系中正确的是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】CD
【解析】A选项，中有元素，中有元素、，，A错，
B选项，中有元素，中有元素、，，B错，
C选项，∵，∴，C对，
D选项，是任意集合的子集，∴，D对，
故选CD。
10．下列函数中在区间上单调递减的函数是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】BC
【解析】在定义域上是增函数，
在定义域上是减函数，
，其在区间上单调递减，
在定义域上是增函数，故选BC。
11．下列命题正确的是( )。
A、若(其中)是偶函数，则实数
B、既是奇函数又是偶函数
C、已知是定义在上的奇函数，若当时，，则当时，
D、已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意的、恒成立，则是偶函数
【答案】ABC
【解析】A选项，若是定义在上的偶函数，
则，∴，对，
B选项，的定义域为，
则函数转化，，∴既是奇函数与又是偶函数，对，
C选项，当时，，则，根据奇函数，
∴，，∴当时，，对，
D选项，令，得到，令，得到：，∴，
令，则有，∴函数为奇函数，错。
故选ABC。
12．如图，四边形是正方形，延长至，使得。若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断错误的是( )。
A、满足的点有且只有一个
B、满足的点必为的中点
C、满足的最小值不存在
D、满足的最大值为
【答案】ABC
【解析】如图建系，取，∵，
∴，
动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，
当时，有且，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
综上，，
选项A，当点取或的中点时均满足，此时点不唯一，错，
选项B，取，满足，此时，
因此点不一定是的中点，错，
选项C，当取点时，取得最小值，错，
选项D，当点取点时，且，解得，取得最大值为，对，
故选ABC。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设集合，，，则实数的值为 。
【答案】
【解析】由题意知，，故，即，经验证，符合题意，∴。
14．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】画出分段函数的图像如图所示，
结合图像可以看出，函数有两个零点，
即与有两个不同的交点，
即的取值范围为。
15．已知非零向量、满足，，且与的夹角为，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】令，则，与的夹角为，
∴，
又，∴，∴的取值范围是。
16．已知函数(，)与函数的部分图像如图所示，且函数的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到，则 ，函数在区间上的值域为 。（本小题第一个空2分，第二个空3分）
【答案】
【解析】将函数的图像上的点向右平移个单位长度，
可得的图像在五点法做图时的第一个点，坐标为，即，
由的部分图像可知五点法做图时的第三个点坐标为，
则，解得，∴，由得，
当，即时，，
当，即时，，
故函数在区间的值域为。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
设、、、为平面内的四点，且，，。
(1)若，求点的坐标；
(2)设向量，，若与平行，求实数的值。
【解析】(1)设，∵，∴， 2分
化为，∴，解得，∴； 5分
(2)∵，， 6分
∴，， 8分
∵与平行，∴，解得。 10分
18．（本小题满分12分）
定义在上的函数满足，当时有。
(1)求在上的解析式；
(2)判断在上的单调性并用定义证明。
【解析】(1)设，则，∵，且时，， 2分
∴时，有， 4分
在中，令，， 5分
综上，当时，有：； 6分
(2)在上是减函数，证明：设，则，， 8分
∴，，
∴， 10分
∴，∴在上是减函数。 12分
19．（本小题满分12分）
已知函数。
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)若，求函数的值域。
【解析】(1)函数
，
∴， 2分
令，，∴，
∵，∴函数的单调递增区间； 4分
(2)
， 6分
令，∵，∴， 8分
∴，∴， 10分
∴原式可化为，， 11分
∴，
∴最大值为，最小值为，∴值域为。 12分
20．（本小题满分12分）
已知函数，。
(1)求函数的解析式；
(2)解不等式；
(3)若在上单调递增，求实数的范围。
【解析】(1)∵，∴； 2分
(2)由可得：，
等价于，解得，或，解得， 4分
∴原不等式的解集为； 6分
(3)依题意在上单调递增， 7分
①当时，在上单调递增，符合题意， 8分
②当时，为二次函数，对称轴为， 9分
当时，图像开口向上，只需，解得， 10分
当时，图像开口向下，只需，解得， 11分
综上：。 12分
21．（本小题满分12分）
已知函数满足(且)。
(1)判断函数的奇偶性及单调性；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，恒成立，求的取值范围。
【解析】(1)令()，则，∵，
则()， 2分
又∵，∴为奇函数， 4分
又当时，为增函数，为增函数，
当时，为减函数，仍为增函数， 6分
综上，可知是上递增的奇函数； 7分
(2)由(1)，当时，，
再由单调性及定义域可得； 9分
(3)设，∵是上的增函数，∴在上也递增，
由得，则，
要使恒成立，只需在时恒成立， 11分
即，解得且。 12分
22．（本小题满分12分）
已知函数。
(1)若且时，求的最大值和最小值；
(2)若且时，方程有两个不相等的实数根、，求的取值范围及的值。
【解析】(1)若，则，∵，∴， 1分
∴当时，的取得最大值为，
此时在的最大值为， 3分
当时，的取得最小值为，
此时在的最小值为； 5分
(2)若，，∵，∴，
∴，∴， 7分
当有两不等的根，
结合函数的图像可得或，
即， 9分
由得，由，得， 10分
即函数在内的对称性为和，
两个根分别关于和对称， 11分
即或。 12分
