专题02 充分条件与必要条件（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题02  充分条件与必要条件

 2021年江苏新高考考点分析

充分必要条件的判定是新高考的考查的方向，常与集合，函数，不等式等知识一起考查，题型多为选择题，难度适中.

2021年江苏新高考考点梳理

1．定义

（1）对于两个条件，如果命题“若则”是真命题，则称条件能够推出条件，记为，

（2）充分条件与必要条件：如果条件满足，则称条件是条件的充分条件；称条件是条件的必要条件

2.充要条件[来源:学。科。网]

名师讲坛考点突破

考点1 充分必要条件的判断

例1    在△ABC中，“A≠60°”是“cos A≠”的（   ）

A.充分不必要条件        B. 必要不充分条件        C.充要条件     D. 既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】法一：在△ABC中A≠60可以推得os A≠，cos A≠可以推得A≠60°. 即“A≠60°”是“cos A≠”的充要条件.故选C

法二：当A＝60°时，可以推得cos A＝；当cos A＝时，由于A∈(0，π)，也可以推得A＝60°，故“A＝60°”是“cos A＝”的充要条件. 即“A≠60°”是“cos A≠”的充要条件．故选C

变式训练1. (2x－1)x＝0”是“x＝0”的（   ）

A.充分不必要条件        B. 必要不充分条件        C.充要条件     D. 既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】若(2x－1)x＝0，则x＝或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，则一定能推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件，故选B.

变式训练2. 设 ，则“ ”是“ ”的(   )

 A.充分不必要条件        B. 必要不充分条件        C.充要条件     D. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】的解集为（1，3），的解集为，故 是的充分不必要条件,故选A.

考点2 利用充分必要条件求参数的取值范围

例2. 设命题；命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围.

A.             B.              C.             D.

【答案】

【解析】由题意知是的充分不必要条件.

；

即，所以

∵是的充分不必要条件，即，

则，∴,选A.

即的取值范围是.

变式训练3. 已知p：a≤x≤a＋1，q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是(   )

A.            B.               C.            D.

【答案】

【解析】令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0<x<4}．因为p是q的充分不必要条件，所以MN，所以解得0<a<3,选B.

变式训练4. 满足函数在上单调递减的一个充分不必要条件是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】若在上单调递减，
则满足且，
即且，
则，
即在上单调递减的一个充分不必要条件是，
故选：D．

新高考模拟试题过关测试

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）

1.是的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若，，，是的充分条件
若，，，不是的必要条件
是的充分不必要条件,故选A．

2.设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)

A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

【答案】 A　

【解析】由题意知|m|≠0，|n|≠0,设m与n的夹角为θ.

若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，

∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.

当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.

故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件,故选A．

3. 若，则“”是 “”的（  ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

4. 设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由可得，由可得，

易知由推不出，

由能推出，

故是的必要而不充分条件，

即“”是“”的必要而不充分条件.故选B.

5. 若，则“”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由a>1，得等价为x>y，等价为x>y>0，

故“”是“”的必要不充分条件，故选A.

6. 函数在处导数存在,若是的极值点,则 (　 　)

A.是的充分必要条件                   B.是的充分条件,但不是的必要条件

C.是的必要条件,但不是的充分条件    D.既不是的充分条件,也不是的必要条件

【答案】C

【解析】导数等于0不一定是极值点，如时，，但极值点导数一定等于0，选C.

7 . 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是 (      )

A.          B.          C.           D.

【答案】C

【解析】可求，但求充分而非必要条件即充要条件的真子集，选C.

8. 设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由可得，

由可得，

据此可知“”是“”的必要而不充分条件,故选B．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）

9. 下列说法正确的是

A. “”是“”的充分条件
B. “”的必要不充分条件是“”
C. “m是实数”的充分必要条件是“m是有理数”
D. 若，则

【答案】BD

【解析】，所以选项A错误；
当时，有成立，所以选项B正确；
若m是有理数，那么一定是实数，反之不一定，所以选项C错误；
根据不等式的性质：若，且a，b同号，那么所以选项D正确,故答案选BD．

10. 直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是m等于(　　)

A．4                B．0              C．－4                D．2

【答案】BC

【解析】由题意知，圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离等于圆的半径即＝

∴m＝0或－4.

11. 若不等式|x－a|<1成立的充分不必要条件是<x<，则实数a的取可能是(　　)

A.                  B.           C．1              D．2

【答案】ABC

【解析】由|x－a|<1可得a－1<x<a＋1.∵不等式|x－a|<1成立的充分不必要条件是<x<，

∴∴≤a≤,故选ABC.

12. 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m},x∈P是x∈S的必要条件，则m的值可能（  ）

A.1                 B.2                C．3                  D．4

【答案】CD

【解析】由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.

∴.∴m≤3.

综上，可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，故m的值为3或4，故选CD.

三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）

13. 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是________．

【答案】[0,3]

【解析】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

所以P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则所以0≤m≤3.

所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

14. 已知p：<1，q：x2＋(a－1)x－a>0，如果p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是        ．

【答案】(－2，－1]

【解析】不等式<1等价于－1<0，即>0，解得x>2或x<1，所以p为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x2＋(a－1)x－a>0可以化为(x－1)(x＋a)>0，当－a≤1时，解得x>1或x<－a，即q为(－∞，－a)∪(1，＋∞)，此时a＝－1；当－a>1时，不等式(x－1)(x＋a)>0的解集是(－∞，1)∪(－a，＋∞)，此时－a<2，即－2<a<－1．综上可知a的取值范围为(－2，－1]．

15. 已知集合A＝{x∈R|<2x<8}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是__________．

【答案】m>2

【解析】A＝{x∈R|<2x<8}＝{x|－1<x<3}，

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴，并且，∴m＋1>3，即m>2．

16. 设命题实数使曲线表示一个圆；命题实数使曲线表示双曲线.若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.

【答案】

【解析】对于命题： 表示圆，所以

解得： 或

对于命题 ，即或

是的充分不必要条件

， ,故实数的取值范围 .

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）

17. 记不等式的解集为集合A，函数的定义域为集合B．

当时，求 ；若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．

【解析】由得,即，

由，得，

即，

当时，，

所以

因为“”是“”的充分条件，

所以，

由知，

即实数a的取值范围是．

18．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．

(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围．

(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．

【解析】 A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|2<x<4}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．

(1)当a＝0时，B＝∅，不合题意．

当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，要满足题意，

则解得≤a≤2.

当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，要满足题意，

则无解．

综上，a的取值范围为.

(2)要满足A∩B＝∅，

当a>0时，B＝{x|a<x<3a},则a≥4或3a≤2，即0<a≤或a≥4.

当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，则a≤2或a≥，即a<0.

当a＝0时，B＝∅，A∩B＝∅.

综上，a的取值范围为∪[4，＋∞)．