专题03 简单的逻辑联结词，全称量词与存在量词（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题03 简单的逻辑联结词，全称量词与存在量词

 2021年江苏新高考考点分析

江苏高考对逻辑联结词,全称命题,特称命题的考查常与集合，不等式，函数相结合，考查学生的综合素养。

2021年江苏新高考考点梳理

1. 命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。[来源:学,科,网Z,X,X,K]

2.逻辑联结词、简单命题与复合命题：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。[来源:Z_xx_k.Com]

3.“或”、  “且”、  “非”的真值判断

（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；

（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；

（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真.

4.逻辑联结词：或（），且（），非（）

若为真，当且仅当均为真；若为假，当且仅当均为假；

若为真，当且仅当为假；

全称命题p：； 全称命题p的否定p：。

特称命题p：； 特称命题p的否定p：；

5.原命题：若，则；逆否命题：若，则

命题的否定（非）：若，则（命题的否定条件不否，结论否）

逆命题：若，则；否命题：若，则（否命题是条件和结论全否）

注：（1）“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词;通常用符号“”

  表示“对任意”;[来源:Zxxk.Com]

 （2）“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词;通常用符号“”表示

  “存在”;

（3）含有全称量词的命题称为全称命题,含有存在量词的命题称为存在性(或特称)命题;它们的一般形式可

   表示为:全称命题:;存在性(或特称)命题:。其中为给定的集合,

   是一个含有的语句;

（4）要判定一个存在性(或特称)命题为真,只要在给定集合中,找到一个元素,使为真;否则命题为

   假。要判定一个全称命题为真,必须对给定的集合的每一个元素,都为真;但要判定一个全称命题

   为假,只要在给定集合内找出一个,使为假;

（5）含有一个量词的命题的否定:“”的否定为“”;“”的否

   定为“”。即全称命题的否定是存在性(或特称)命题;存在性(或特称)命题的否定是全称

   命题。

名师讲坛考点突破

考点1 简单的逻辑联结词

例1    已知命题：若，则；命题：若，则．

在命题①②；③；④中，真命题是　　

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】A

【解析】命题：若，则；命题是真命题；是假命题；

命题：若，则．是假命题，例如，，不成立；是真命题；

可得① 是真命题；②；是假命题；③是真命题；④是假命题；故选：．

变式训练1. 已知命题：若实数，满足，则，互为相反数；命题：若，则．下列命题，，，中，真命题的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】由实数，满足，得，即，互为相反数，故命题为真命题，

由，不等号左右两边同时除以正数得：，故命题为真命题，

则命题，，，中为真命题，，即真命题的个数是2，故选：．

变式训练2. 已知命题：若，则；命题：若，则．

在命题①②；③；④中，真命题是　　

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】A

【解析】命题：若，则；命题是真命题；是假命题；

命题：若，则．是假命题，例如，，不成立；是真命题；

可得① 是真命题；②；是假命题；③是真命题；④是假命题；故选：．

考点2 全称量词与存在量词

例2. 已知命题，，命题，，若为真命题，则实数的取值范围是　　

A． B．， C． D．

【答案】B

【解析】命题，，是真命题时，可得；

命题，，是真命题时，△，解得．

若为真命题，则两个命题都是真命题，可得．故选：C．

变式训练3. 由命题“存在，使是假命题，得的取值范围是，则的值是

A．2 B． C．1 D．

【答案】C

【解析】命题“存在，使”是假命题，

对于任意的，都成立，即 恒成立；

又

则，，实数的值．故选：．

变式训练4. 已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为时，，所以命题，为假命题，则为真命题．

因为，所以或，所以命题，为真命题．

则为真命题．故选：．

新高考模拟试题过关测试

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）

1. 命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是(   )

A.∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1               B. ∃x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1

C. ∀x∈(0，＋∞)，ln x=x－1               D. ∃x∈(0，＋∞)，ln x=x－1

【答案】A

【解析】命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1

2. 若“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】若“，使得，则要有解，

∵，

∴，故选A.

3. 设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是(　　)

A．p∧()   B．()∧q

C．p∧q   D．()∨q

【答案】A

【解析】 (2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋＝>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x成立，故命题q为假命题，所以p∧()为真命题，故选A.

4. 若“x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)”是假命题，则x的取值范围是(   )

A.(1,2)            B. [1,2)       C.[1,2]              D.(1,3)

【答案】B

【解析】根据题意得“x∉[2,5]且x∉(－∞，1)∪(4，＋∞)”是真命题，所以解得1≤x＜2，故x∈[1,2)．故选B.

5. 已知命题p：∀x>0，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是(　　)

A．p是假命题   B．q是真命题

C．p∧(┐q)是真命题   D．(┐p)∧q是真命题

【答案】C

【解析】p：∵x>0，∴x＋≥2＝4，∴p为真命题．

q：当x>0时，2x>1，∴q为假命题．

∴p∧(┐q)是真命题．故选C.

6. 已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(4，＋∞)   B．(0,4]

C．(－∞，4]   D．[0,4)

【答案】C

【解析】当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.

7. 已知命题p：方程x2－mx＋1＝0有实数解，命题q：x2－2x＋m>0对任意x恒成立．若命题q∨(p∧q)真、┐p真，则实数m的取值范围是（   ）

A. (1,2)             B.[1,2]             C.(1, 2]             D.[1,2 ) 

【答案】A

【解析】由于┐p真，所以p假，则p∧q假，又q∨(p∧q)真，故q真，即命题p假、q真．当命题p假时，即方程x2－mx＋1＝0无实数解，此时m2－4<0，解得－2<m<2；当命题q真时，4－4m<0，解得m>1.所以所求的m的取值范围是1<m<2.故选A.

8. 下列有关命题的说法正确的是（   ）

A．，使得成立．

B．命题：任意，都有，则：存在，使得．

C．命题“若且，则且”的逆命题为真命题．

D．若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．

【答案】D

【解析】选项A，设，则，在上单调递减，所以当时，取得最小值3，故A错误；

选项B，：存在，使得，所以B错误．

选项C，逆命题为：“若且，则且”当时，满足且，但不满足且，所以C错误．

选项D，若数列是等比数列，，则，

反过来，若数列是等比数列，当公比为1时，，不能推出，故D正确．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）

9. 有关命题的说法正确的是

A. 命题“若则”的逆否命题为：“若，  则”
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 对于命题p：，则：，
D. 若为假命题，则p、q均为假命题

【答案】AC

【解析】A、“若“，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；
B、由，解得或2，因此“”是“”的充分不必要条件，故B错误；
C、命题p：，使得，则：，都有，故C正确；
D、由p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，因此D不正确．故选AC．

10. 下面四个命题中的真命题为．

A. 若复数z满足，则
B. 若复数z满足，则
C. 若复数，满足，则
D. 若复数，则

【答案】AD

【解析】若复数z满足，则，故命题A为真命题；
复数满足，则，故命题B为假命题；
若复数，满足，但，故命题C为假命题；
若复数，则，故命题D为真命题．故选AD．

11. 已知命题：方程表示的图形是双曲线的一支和一条直线；

命题：已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于、两点，且弦被点平分，则直线的方程为．则下列四个命题正确的是（  ）

A.            B.          C.        D.

【答案】ABD

【解析】原方程可转化为或；

则方程表示的图形是双曲线的一支和一条直线，为真命题；

设， ，，，由点差法可知，，

两式相减可得，，

因为，，

所以斜率，

故直线方程为即，即为真命题；

根据复合命题的真假关系可得①为真命题，②为真命题，③为假命题，④为真命题，故答案为：ABD.

12. 若命题p：，，命题q：，2 ，则下列为真命题的是

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】命题p：，是假命题，
命题q：，2 是假命题，故是真命题，是真命题．故选BD．

三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）

13. 由命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围为　　．

【答案】

【解析】 “存在，使”是假命题，

对任意的，，

，解得．

故答案为：．

14. 已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．

【答案】(－∞，－2]∪{1}

【解析】由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1.因为“p∧q”为真命题，所以p，q均为真命题，所以a≤－2或a＝1.

15. 给出下列五个命题：

①函数在区间上存在零点；[来源:学科网ZXXK]

②若，则函数在处取得极值；

③命题“，”的否定是“，”；

④“”是“成立”的充分不必要条件

⑤若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称；

其中正确命题的序号是　    　（请填上所有正确命题的序号）

【答案】①④⑤[来源:Z|xx|k.Com]

【解析】①，

（1），（e），故在区间上存在零点，故正确；

②根据极值点的定义，在极值点两侧单调性不同，该点才为极值点．故若，则函数在处不一定取得极值，故错误；

③命题“，”的否定是“，”，故错误；

④“”能推出“，但反之，得出，故应是充分不必要条件，故正确；

⑤若函数是偶函数，则的图象关于轴对称，图象右移2个单位得出的图象，

函数的图象关于直线对称，故正确．故答案为①④⑤．

16. 已知命题，；命题，．若命题为真命题，为真命题，则实数的取值范围是　　．

【答案】（1，2）

【解析】已知命题，；

所以△，解得或．

命题，．

所以△，解得，

由于命题为真命题，为真命题，

所以为假命题，为真命题．

所以，解得，

故的取值范围是．故答案为．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）

17. 已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．

【解析】若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，所以0<a≤1.

若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根．

所以Δ＝[16(a－1)]2－4×16<0，所以<a<.

因为命题“p∧q”为真命题，所以命题p，q都为真，

所以所以<a≤1.

故实数a的取值范围为.

18．已知命题p：，命题q：关于x的方程的一个根大于1，另一个根小于如果命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．

【解析】因为，

命题p：，即， 

设，

命题q：关于x的方程的一根大于1，另一根小于1．则，

即，解得，
因为命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以p，q中恰有一个为真，
若p真q假，则，若p假q真，则．
综合得a的范围是，．