专题04 一元二次不等式和分式不等式（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题04 一元二次不等式和分式不等式

2021年江苏新高考考点分析

用函数理解一元二次不等式是江苏高考的重要考点，一元二次不等式常与函数，方程交叉组合，是江苏高考的重要组成部分.

2021年江苏新高考考点梳理

三个“二次”间的关系

不等式的解法

1．整式不等式的解法（根轴法）.

 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.

2．分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

3. 一元二次不等式恒成立问题

(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；

(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；

(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；

(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足.[来源:学科网ZXXK]

4．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．

设f(x)的最大值为M，最小值为m.

(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.[来源:学,科,网Z,X,X,K]

(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.

名师讲坛考点突破

考点1一元二次不等式的解法

例1解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．

【解析】原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，

因为a＞0，所以a(x－1)＜0，

所以当a＞1时，解为＜x＜1；当a＝1时，解集为∅；

当0＜a＜1时，解为1＜x＜.

综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为.

当a＝1时，不等式的解集为∅.

当a＞1时，不等式的解集为.

变式训练1. 求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．

【解析】原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.

当a>0时，不等式的解集为∪；

当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；

当a<0时，不等式的解集为∪.

变式训练2. 已知函数f(x)＝的定义域为R,若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式

x2－x－a2－a＜0.

【解析】f(x)＝＝，

由题意及(1)可知0＜a≤1，

所以当x＝－1时，f(x)min＝，

由题意得，＝，所以a＝，

所以不等式x2－x－a2－a＜0可化为x2－x－＜0.

解得－＜x＜，所以不等式的解集为.

考点2 一元二次不等式恒成立的解法

例2.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R且a≠0)，若对任意实数x，不等式2x≤f(x)≤(x＋1)2恒成立．求a的取值范围．

【解析】令x＝1，由2x≤f(x)≤(x＋1)2，可得2≤f(1)≤2，所以f(1)＝2.

由f(1)＝2，可得a＋b＋c＝2，即b＝2－(a＋c)，

因为对一切实数x，f(x)－2x≥0恒成立，

所以ax2＋(b－2)x＋c≥0(a≠0)对一切实数x恒成立，

所以即

可得(a－c)2≤0，但(a－c)2≥0，即有a＝c＞0，则f(x)＝ax2＋bx＋a，f(x)≤(x＋1)2恒成立，

即x2＋(b－1)x＋≤0恒成立，所以a－＜0，且Δ＝(b－1)2－42≤0，

由b－1＝1－2a，即有Δ＝0成立．

综上可得a的取值范围是.

变式训练3.设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．

【答案】(－∞，0)∪

【解析】要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．

因为x2－x＋1＝2＋＞0，

又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.

因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．

因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪.

变式训练4. 对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．

【答案】(－∞，1)∪(3，＋∞)

【解析】由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.

由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，

所以解得x<1或x>3.

故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．

考点3分式不等式

例3解关于的不等式

【解析】原不等式等价于

(1)当时，解集为

(2)当时，原不等式可化为，

因为，所以解集为

(3)当时，，解集为

(4)当时，原不等式等价于，即，

解集为

(5)当时，，解集为[来源:学|科|网]

综上所述，当时，解集为；当时，解集为；

当时，解集为；当时，解集为

新高考模拟试题过关测试

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）

1. 不等式7x2+3x﹣4＞0的解集为（　　）

A．{x|x＞，或x＜﹣1} B．{x|x＞1，或x＜﹣} 

C．{x|﹣＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜}

【答案】A

【解析】不等式7x2+3x﹣4＞0化为（x+1）（7x﹣4）＞0，

解得x＜﹣1或x＞，所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}．故选：A．

2. 不等式x2﹣mx+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}，则实数m的值为（　　）

A．2 B．﹣3 C．1 D．3

【答案】D

【解析】不等式x2﹣mx+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}，

所以方程x2﹣mx+2＝0的实数解1和2，

由根与系数的关系知，m＝1+2＝3．故选：D．

3. 不等式的解集是（　　）

A．（﹣∞，1）∪[2，+∞） B．（﹣∞，1]∪（2，+∞） 

C．[1，2） D．[1，2]

【答案】C

【解析】不等式，等价于且，解得1≤x＜3，

所以不等式的解集是[1，3）．故选：C．

4. 关于的不等式，解集为，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题,是方程的两根,可得,即,

所以不等式为,即,所以,故选：D

5.若不等式ax2－bx＋c＜0的解集是(－2,3)，则不等式bx2＋ax＋c＜0的解集是（  ）

A. (－3,2)                 B. (－2,2)．             C. (－3,3)．             D. (－4,2)．

【答案】A

【解析】因为不等式ax2－bx＋c＜0的解集是(－2,3)，

所以a＞0，且对应方程ax2－bx＋c＝0的实数根是－2和3，

由根与系数的关系，得

即＝－6，＝1，所以b＞0，且＝1，＝－6，

所以不等式bx2＋ax＋c＜0可化为x2＋x－6＜0，

解得－3＜x＜2，所以该不等式的解集为(－3,2)．故选A.

6. 已知关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围为   

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】关于x的不等式在区间上有解，等价于在区间上有解，
令，
由对勾函数的单调性知：在区间上递增，则最大值为，所以．故选D．

7. 已知函数,若对于任意,都有成立，则的范围是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】且得的范围是，故选A.

8. 已知函数对任意实数 恒成立，则实数的取值范围是(  )

A.( B. [ C. [1,19] D.

【答案】B

【解析】①当，或.

若，则函数化为，对任意实数不可能恒大于0.

若，则恒成立.

②当时，根据题意有

∴∴

综上可知，实数的取值范围是.故答案为B.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）

9. 对于函数，下列判断正确的有

A. 若对一切实数x成立，则a的取值范围是，
B. 若的值域是，，则a的取值范围是，
C. 若对一切实数x成立，则a的取值范围是
D. 若的值域是，，则a的取值范围是

【答案】AD

【解析】若对一切实数x成立，由题意可得对一切x恒成立，

由，当且仅当时取得最大值2，即可得到故A正确
若的值域是，，，即，即得故D正确．故选AD．

10. 下列不等式对任意的恒成立的是

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】对于A，时，显然不成立，故A不对；
对于B，设，则，
当时，，当时，，
时，取得最大值为0，，
恒成立，即恒成立，故B正确；
对于C，设，，
当时，，当时，，
时，取得最小值为0，，
，故C正确；对于D，在上函数值由0递增到1，
在上函数值由1递减到，故在上存在实数x使，
故在不恒成立，故D不对．故选BC．

三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）

11. 不等式的解集为________．

【答案】(1,2)

【解析】解不等式，得，
不等式的解集为．

12. 已知函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．

【答案】(0,1]

【解析】因为函数f(x)＝的定义域为R，

所以 ax2＋2ax＋1≥0恒成立，

当a＝0时，1≥0恒成立．

当a≠0时，需满足题意，

则需

解得0＜a≤1，

13. 已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)＞1的解集为________．

【答案】(－1,0)

【解析】因为f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a≠0)，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0，所以函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点．因此f(－2)f(－1)＜0，所以(6a＋5)(2a＋3)＜0.解得－＜ a＜－.又a∈Z，所以a＝－1.不等式f(x)＞1，即为－x2－x＞0，解得－1＜x＜0.

14. 已知函数，．对于任意的，不等式成立，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【解析】对于任意的，不等式成立
等价于对于任意的恒成立，  成立，  
，所以实数a的取值范围

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）

15. 已知关于x的不等式2kx2+kx＜0，k≠0．

（1）若不等式的解集为（﹣，1），求k的值．

（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围．

【解析】（1）由题意可得，﹣和1是 方程2kx2+kx﹣＝0的两个根，

由方程的根与系数关系可得，k＝，

（2）由题意可得，2kx2+kx﹣＜0恒成立，

则，得﹣3＜k＜0，故k的范围为（﹣3，0）．

16．已知函数，．

 对于任意的，不等式成立，试求实数a的取值范围

解关于x的不等式．

【解析】对于任意的，不等式成立
等价于对于任意的恒成立，  成立，  
，
所以实数a的取值范围
   关于x的不等式，

即，
，
当时，方程的两根，解集为（），
当，
当时，，解集为，
当时，，， ，
解集为
综上当时不等式解集，
时不等式解集为，
当时．解集为

17. 函数的定义域为A，函数。

（1）若时，的解集为B，求；

（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围。

【解析】（1）由，解得：或，则，

若，，由，解得：，则

所以；                                                     

（2）存在使得不等式成立，即存在使得不等式成立，所以                                

因为，当且仅当，即时取得等号

所以，解得：．                                        

18. 已知函数的定义域为，值域为；设．

求的值；若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；

若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

【解析】函数图象对称轴为直线．
因为函数的定义域为，值域为，函数在定义域上递增，
所以
解得：．
由得：，所以，
若不等式在上恒成立，
则在上恒成立，
，
当即时，取最小值0，
故k的取值范围是．
如图：

令，则化为：，
则原方程可化为：，
即，
若关于x的有三个不同的实数解，
由的图象知，有两个不相等的实数根，且或．
记，
则，或
解得，实数k的取值范围是．