专题08 不等式的综合问题（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题08 不等式的综合问题2021年江苏新高考考点分析一元二次不等式和基本不等式是江苏高考的重要考点，常与其他知识相结合，难度中等。2021年江苏新高考考点梳理1.几个重要不等式（1）（2）（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）极值定理：若则：如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；  [来源:学&科&网Z&X&X&K]如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.     利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. （当仅当a=b=c时取等号）（当仅当a=b时取等号）（7）2.几个著名不等式[来源:学科网] （1）平均不等式：   如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：特别地，（当a = b时，）[来源:学科网ZXXK]幂平均不等式：注：例如：.常用不等式的放缩法：①②3.不等式恒成立，能成立，恰成立问题（1）恒成立：若在区间D上存在最小值，则不等式在区间D上恒成立若在区间D上存在最大值，则不等式在区间D上恒成立（2）能成立：若在区间D上存在最小值，则不等式在区间D上能成立若在区间D上存在最大值，则不等式在区间D上能成立（3）恰成立：不等式在区间D上恰成立的解集为D.不等式在区间D上恰成立的解集为D.新高考模拟试题过关测试一、    单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）1. 已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是（）A.()         B.()             C.()                D (]【答案】A【解析】由题可得f(x)<0对于x∈[m，m＋1]恒成立，即f(m)<0且f(m+1)<0解得－<m<0.故选A.2. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为(   )   A.8                  B.9                  C.10                D .11【答案】B【解析】因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋－c＜0的解集为(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得且解得c＝9.故选B.3. 直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为（）A.5                  B.6                 C.7               D .8【答案】D【解析】因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，所以＋＝1，因为a＞0，b＞0，所以2a＋b＝(2a＋b)=4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，所以2a＋b的最小值为8.故选D.4. 函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为(  )A.                  B.                 C.              D .【答案】B[来源:学.科.网Z.X.X.K]【解析】由题意可知，令x+3=1，则y=-1，即x=-2,y=-1，所以A（-2，-1），可得2m+n=1，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为5. 若正实数满足，则的最大值为(  )A.                   B.                   C.                          D. 8【答案】C【解析】因为，所以，而，故，所以，当且仅当等号成立，故的最大值为.故答案为C. 6. 若正数满足，，则的取值范围是(   )A.,+                  B.,+              C. ,+                 D .,+【答案】B【解析】因为，所以，所以因为，当且仅当时，“=”成立，又因为在上单调递增，所以，所以，故的取值范围是.故选B.7. 已知，且，则的最小值为_____________.A.                  B.                 C.                D .【答案】C【解析】由可知，且，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.8. 在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan  Btan C的最小值是（  ）A.6                  B.7                 C.8               D .9【答案】C【解析】在锐角三角形ABC中，因为sin A＝2sin Bsin C，所以sin(B＋C)＝2sin Bsin C，所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，等号两边同除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C.所以tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝＝.①因为A，B，C均为锐角，所以tan Btan C－1＞0，所以tan Btan C＞1.由①得tan Btan C＝.又由tan Btan C＞1得＞1，所以tan A＞2.所以tan Atan Btan C＝＝(tan A－2)＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当tan A－2＝，即tan A＝4时取得等号．故tan Atan Btan C的最小值为8.故选C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）9. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD10. 在中，角的对边分别为，若，则取值可能是（   ）A.3                 B.2               C.1              D .【答案】AB【解析】∵，由正弦定理得，∴，∴，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值是．故答案为：AB．三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）11. 定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．【答案】【解析】因为x⊗y＝，所以(2y)⊗x＝.又x>0，y>0，故x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．12. 已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为__________．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此所以：当且仅当时取等号，则的最小值为9. 14. 已知函数，，，使，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】，使，即g(x)的值域是的子集，g(x)[]，，，当a≤-1时，f(x)[]，即≤，解得a，当-1<a≤0时，f(x)[]，即≤，不等式组无解，当a>1时，f(x)[]，即≤，不等式组无解．综上所述，a的范围为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）15. 已知()是偶函数，当时，．(1) 求的解析式；(2) 若不等式在时都成立，求m的取值范围．【解析】（1）设x＜0时，则－x＞0，∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x．∴f(x)＝(2) 由题意得x2－2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x－2≥m在1≤x≤2时都成立，即m≤x－2在1≤x≤2时都成立， 当1≤x≤2时，(x－2)min＝－1，  则m≤－1．16．设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．【解析】（1），.均不为，则，；（2）不妨设，由可知，，，.当且仅当时，取等号，，即.17. 已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.【解析】(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥3×(2)×(2)×(2)＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.18. 已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.(1)若不等式f(x)>(a－1)x2＋(2a＋1)x－3a－1对任意的x∈[－1,1]恒成立，求实数a的取值范围；(2)若a<0，解不等式f(x)>1.【解析】(1)原不等式等价于x2－2ax＋2a＋1>0对任意的x∈[－1,1]恒成立，设g(x)＝x2－2ax＋2a＋1＝(x－a)2－a2＋2a＋1，x∈[－1,1]，①当a<－1时，g(x)min＝g(－1)＝1＋2a＋2a＋1>0，无解；②当－1≤a≤1时，g(x)min＝g(a)＝－a2＋2a＋1>0，得1－<a≤1；③当a>1时，g(x)min＝g(1)＝1－2a＋2a＋1>0，得a>1. 综上，实数a的取值范围为(1－，＋∞)．(2)f(x)>1，即ax2＋x－a－1>0，即(x－1)(ax＋a＋1)>0，因为a<0，所以(x－1)<0，因为1－＝，所以当－<a<0时，1<－，解集为；当a＝－时，不等式可化为(x－1)2<0，不等式无解；当a<－时，1>－，解集为.综上，当a<－时，不等式的解集为；当a＝－时，不等式的解集为∅；当－<a<0时，不等式的解集为.