专题11 函数的奇偶性与单调性（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题11 函数的奇偶性与单调性
2021年江苏新高考考点分析
函数的奇偶性是函数的整体性质，是新高考的重要考点，通常与函数的单调性综合考查，难度中等。
2021年江苏新高考考点梳理
1.奇函数，偶函数：
⑴偶函数：
设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.
②满足，或，若时，.
⑵奇函数：
设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.
②满足，或，若时，.
2.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
3. 函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．
(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a＞0)．
(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a＞0)．
4．函数的对称性常见的结论
(1)函数y＝f(x)关于x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．
特殊：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；
函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．
(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.
特殊：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；
函数y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．
(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；
y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．
5．函数奇偶性常用结论
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(4)y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．
名师讲坛考点突破
考点1 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
【解析】　(1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
∴x－20时，－x0⇒fx2-3x>-f(2)⇒f(x2-3x)>f(-2)⇒x2-3x或－0，所以fx在0,2上为增函数；
当x>2时，f'x0时fx的取值范围为-1,e-2，因为fx为R上的奇函数，
故fx的值域为-1,1，故∀x1,x2∈R都有fx1-fx20时，f(x)＝x＋，且当x∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值是________．
【答案】1
【解析】因为当x∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤m恒成立，所以n≤f(x)min且m≥f(x)max，
所以m－n的最小值是f(x)max－f(x)min，又由偶函数的图象关于y轴对称知，当x∈[－3，－1]时，函数的最值与x∈[1,3]时的最值相同，又当x>0时，f(x)＝x＋，在[1,2]上递减，在[2,3]上递增，且f(1)>f(3)，
所以f(x)max－f(x)min＝f(1)－f(2)＝5－4＝1.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）
13. 定义在R上的奇函数fx满足fx+4=fx，并且当x∈0,1时，fx=2x-1，求flog210的值
【解析】因为fx满足fx+4=fx，
所以函数的周期为4，
由题得flog210=flog210-4=f(log21016)=f(log258)，
因为函数f(x)是奇函数，
所以f(log258)=-f(-log258)=-f(log285)，
因为log285∈（0,1），
所以f(log258)=-f(log285)=-(2log285-1)=-35.
14．已知函数的图像上存在两个点关于轴对称，求实数的取值范围.
【解析】函数的图像上存在两个点关于轴对称,即的图像关于y轴变换后和有交点，即有正根，有正根，
令，
，故导函数恒大于0，原函数单调递增，
故得到，故只需要

15. 已知是定义在上的奇函数，满足，若，
求.
【解析】是定义在上的奇函数，
且，
，，
，，
是周期为4的函数，[来源:Z|xx|k.Com]
，，
，
且，，
又，[来源:学科网ZXXK]
，



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16. 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f ＝－f 成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；
(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．
【解析】(1)由f ＝－f ，
且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f ＝－f ＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，
且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数．
故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，
即g(－x)＝g(x)恒成立，
于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.