专题16 函数的零点-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习（原卷版）

专题16 函数的零点

2021年江苏新高考考点分析

1．函数的零点问题是命题热点，经常考查函数零点存在的区间和零点个数的判断，难度不大． 2．函数零点性质的应用主要是利用函数的零点个数求参数的范围．

2021年江苏新高考考点梳理

函数零点的定义

(1) 一般地，对于函数，我们把方程的实数根称为函数的零点；

(2) 明确三个等价关系(三者相互转化)

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者能相互转化，在解决有关零点的问题以及已知零点的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化．

2.函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得。

（1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提

（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续）

① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个

② 若，那么在不一定有零点

③ 若在有零点，则不一定必须异号[来源

:学&科X3．断函数零点个数的常见方法

（1）直接法：解方程，方程有几个解，函数就有几个零点；

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

（3）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴的交点个数即为函数的零点个数；

或将函数拆成两个常见函数和的差，从而

，则函数的零点个数即为函数与函数的图象的交点个数；

4.函数零点问题中参数的范围

已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：

(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．

(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．

5.以函数零点为背景的解答题主要考察函数与方程思想，不仅要研究单调性，确定至多一解，而且要考虑零点存在定理，确定至少有一解，从两方面确保解的个数的充要性．

 函数零点个数证明与讨论

函数零点问题的不等式的证明

名师讲坛考点突破

考点1函数零点个数问题

例1 (2017苏锡常镇调研）若函数f(x)＝则函数y＝|f(x)|－的零点个数为________．

变式训练1. (2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为       

变式2.函数在有          个零点．

考点2 函数零点问题中参数的范围

例2. 设函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．

变式训练1. （2020·江苏省高三期中）若函数恰有2个零点，则的取值范围是______.

变式训练2.【2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)】已知，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是______．

新高考模拟试题过关测试

一、    单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）

1.（2020•和平区期中）在下列个区间中，存在着函数f（x）＝2x3﹣3x﹣9的零点的区间是（　　）

A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）

2.（2020•岳麓区校级期中）已知函数，若a＜b＜c＜d，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则a+b+c+2d的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

3.【2020年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是

A．     B．

C．     D．

4.（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数，若函数在上只有两个零点，则实数的值不可能为

A． B．

C． D．

5.（2021·江西景德镇一中高三月考（文））已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6.（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文））已知函数，则方程实根的个数为（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5

7.（2020·四川内江�高二期末（理））已知，，若函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8.将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）

9.（2020·山东高三其他）对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在处取得极大值

B．有两个不同的零点

C．

D．若在恒成立，则

10.已知函数f(x)＝，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（ ）

A．-1                 B．0                 C．2                 D．3

三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）

11.(2018南通、泰州一调） 已知函数f(x)＝g(x)＝x2＋1－2a.若函数y＝f(g(x))有4个零点，则实数a的取值范围是________．

12.【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】若函数恰有3个不同的零点，则a的取值范围是____.

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）

13. （2020江苏苏州五校联考）已知函数．

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）当时，求证：；

（3）设函数，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．

14．（2020江苏徐州高三上学期期中考试）设函数，，．

（1）当，，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值；

（3）当时，若函数恰有两个零点，，求证：．

15. 已知

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若关于的函数在区间上有唯一零点，求实数的取值范围．

16. （2020江苏南京学期初联考）已知函数．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）函数在区间上有零点，求的值；

（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．