专题08 不等式的综合问题（原卷版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题08 不等式的综合问题

2021年江苏新高考考点分析

一元二次不等式和基本不等式是江苏高考的重要考点，常与其他知识相结合，难度中等。

2021年江苏新高考考点梳理

1.几个重要不等式

（1）

（2）（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）

极值定理：若则：

如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； 

如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.[来源:学科网]

     利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

（当仅当a=b=c时取等号）

（当仅当a=b时取等号）

（7）

2.几个著名不等式

 （1）平均不等式：   如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

特别地，（当a = b时，）

幂平均不等式：

注：例如：.

常用不等式的放缩法：①

②[来源:学科网ZXXK]

3.不等式恒成立，能成立，恰成立问题

（1）恒成立：若在区间D上存在最小值，则不等式在区间D上恒成立

若在区间D上存在最大值，则不等式在区间D上恒成立

（2）能成立：若在区间D上存在最小值，则不等式在区间D上能成立

若在区间D上存在最大值，则不等式在区间D上能成立

（3）恰成立：不等式在区间D上恰成立的解集为D.

不等式在区间D上恰成立的解集为D.

新高考模拟试题过关测试

一、    单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）[来源:学+科+网Z+X+X+K]

1. 已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是（）

A.()         B.()             C.()                D (]

2. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为(   )  

A.8                  B.9                  C.10                D .11

3. 直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为（）

A.5                  B.6                 C.7               D .8

4. 函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为(  )

A.                  B.                 C.              D .

5. 若正实数满足，则的最大值为(  )

A.                   B.                   C.                          D. 8

6. 若正数满足，，则的取值范围是(  )

A.,+                  B.,+              C. ,+                 D .,+

7. 已知，且，则的最小值为_____________.

A.                  B.                 C.                D .

8. 在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan  Btan C的最小值是（  ）

A.6                  B.7                 C.8               D .9

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）

9. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 在中，角的对边分别为，若，则取值可能是（   ）[来源:学科网ZXXK]

A.3                 B.2               C.1              D .

三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）

11. 定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．

12. 已知，且，则的最小值为_________．

13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为__________．

14. 已知函数，，，使，则实数的取值范围是__________．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）

15. 已知()是偶函数，当时，．

(1) 求的解析式；

(2) 若不等式在时都成立，求m的取值范围．

16．设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．

17. 已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.

证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；

(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.

18. 已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.

(1)若不等式f(x)>(a－1)x2＋(2a＋1)x－3a－1对任意的x∈[－1,1]恒成立，求实数a的范围；

(2)若a<0，解不等式f(x)>1.