专题11 直线与圆锥曲线的位置关系（课时训练）解析版-高二上（新教材人教A版）
展开专题11 直线与圆锥曲线的位置关系
【基础巩固】
1．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为公里，远月点与月球表面距离为公里.已知月球的直径为公里，则该椭圆形轨道的离心率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图，F为月球的球心，月球半径为：×3476＝1738，
依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，
｜BF｜＝400＋1738＝2138.
2a＝1838＋2138，
a＝1988，
a＋c＝2138，
c＝2138－1988＝150，
椭圆的离心率为：，
选B.
2．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相较于点.若，且的面积为，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】根据已知，，由，得，不妨设点在第一象限，则，即，所以，易知，，所以，所以的面积是面积的3倍，即，所以，解得。
3．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于M，N两点，直线与，的延长线交于P，Q两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当直线垂直于x轴时，与相似，所以；
当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，
设.
联立得，
，所以，
所以
。综上，。
4．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，
则 =2，化简得.
∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，
∴ ，解得，
∴椭圆的离心率为．
故选D．
5．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设过点作的垂线，其方程为，
由解得，，即，
由，所以有，
化简得，所以离心率，故选B。
6．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为，代入得：.
由根与系数的关系得，，
所以.
又直线CD的方程为，同理，
所以，
所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得.所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立，故选C。
7．设F为双曲线E：的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆与E在第一象限的交点是P，且，则双曲线E的方程是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，双曲线E：的渐近线方程为，
由过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，且四边形OAFB为菱形，
则对角线互相平分，所以，，所以结合选项可知，只有D满足，
由，解得，，
因为，所以，解得，则，
故双曲线方程为，
故选D．
8．已知点，M，N是椭圆上的两个动点，记直线，，的斜率分别为，，k，若，则________.
【答案】
【解析】设,直线，
联立得，
则有；
因为，所以，
整理可得，
把代入可得；
所以。
9．已知抛物线：的焦点为，准线为．过点作倾斜角为的直线与准线相交于点，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为__________．
【答案】
【解析】由题得直线的方程为，从而；
由消去，得，
解得或（舍去），从而；
由得，，
解得，所以抛物线的标准方程为．
故答案为。
【能力提升】
10．已知椭圆的左顶点为，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意可得：，，得，则.
所以椭圆.
（2）当直线与轴重合时，不妨取，此时；
当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，，
联立得，
显然，，.
所以
.
当时，取最大值.此时直线方程为，
不妨取，所以.
又，所以的面积.
11．已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物
线的交点为，且.
（1）求的值；
（2）已知点为上一点，，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．
【答案】（1）4；（2）证明过程见解析，直线恒过定点.
【解析】（1）设，由抛物线定义知，
又，，
所以，解得，
将点代入抛物线方程，解得.
（2）由（1）知，的方程为，所以点坐标为，
设直线的方程为，点，，
由 得，.
所以，，
所以
，
解得，
所以直线的方程为，恒过定点．
12．（2020·安徽省淮北市高三一模（理）已知椭圆过点离心率为.
（1）求的方程；
（2）如图，若菱形内接于椭圆，求菱形面积的最小值.
【答案】（1）；（2）4
【解析】（1）由题意得又
解得，.
所以的方程为
（2）①当与轴或轴重合时，可求菱形的面积为；
②当为时，为，由
得，
所以由弦长公式得，
同理可得
所以菱形的面积为
∵
∴，当且仅当时取等号.
∵∴菱形面积的最小值为4。
13．（2020·北京市平谷区高三一模）已知椭圆：的两个焦点是，，在椭圆上，且，为坐标原点，直线与直线平行，且与椭圆交于，两点.连接、与轴交于点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：为定值.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）因为，由椭圆的定义得，，
点在椭圆上，代入椭圆方程，解得，
所以的方程为；
（2）证明：设，，直线的斜率为，设直线的方程为，
联立方程组，消去，整理得，
所以，，
直线的直线方程为，令，则，
同理，
所以：
，
代入整理得，
所以为定值.
14．（2020·四川省成都市树德中学高三二诊（理））已知椭圆 的焦距为，斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，且直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过左焦点斜率为的直线与椭圆交于点为椭圆上一点，且满足，问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由.
【答案】(1) . (2) 为定值.过程见解析.
【解析】
（1）由题意可知，设，代入椭圆可得：
，两式相减并整理可得，
，即.
又因为，，代入上式可得，.
又，所以，
故椭圆的方程为.
（2）由题意可知，，当为长轴时，为短半轴，此时
；
否则，可设直线的方程为，联立，消可得，
，
则有：，
所以
设直线方程为，联立，根据对称性，
不妨得，
所以.
故，
综上所述，为定值.
15．（2020届东北三省四市教研联合体高考模拟）点（）是抛物线：上一点，为的焦点.
（Ⅰ）若直线与抛物线的准线交于点，求的面积；
（Ⅱ）过点作两条倾斜角互补的直线分别与交于，两点，证明：直线的斜率是定值.
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）将代入得
则：，准线：，
∴
∴
（Ⅱ）设，
由题可知，，
∴
∴
∴
∴
∴
即证.
16．（2020届福建省泉州市高三一模）已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）设的准线为，过作于，则由抛物线定义，得，
因为到的距离比到轴的距离大1，所以，解得，
所以的方程为
（2）由题意，设直线方程为，
由消去，得，
设，，则，
所以，
又因为为的中点，点的坐标为，
直线的方程为，
令，得，点的坐标为，
所以，
解得，所以直线的斜率为.
17．（2020届河南省郑州市高三第二次质量预测）已知椭圆的短轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线平行于直线，且与椭圆交于两个不同的点，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由题意可得，所以，
，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由于直线平行于直线，即，设直线在轴上的截距为，
所以的方程为．
联立，得，
因为直线与椭圆交于两个不同的点，
所以，解得．
设，，则，．
因为为钝角等价于，且，
所以
，即，且，
所以直线在轴上的截距的取值范围：．
因为直线在轴上的截距，
所以的取值范围是：．
18．（2020届湖北省武汉市外国语学校高三模拟）已知椭圆的两个焦点分别为，且是圆的圆心，点的坐标为，且的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线与椭圆相交于，两点，使得直线与的斜率之和为1？若存在，求此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）由，可得，
则圆心坐标为，即，
∴半焦距.
∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴椭圆的方程为.
（2）假设存在这样的直线满足题设条件，设，.
联立消去可得，
∴，解得，.
由（1）知，，
则当时，直线过点，不合题意，
故.
令
解得
因此所求直线方程为。
