专题01 空间向量及其运算（重难点突破）（原卷版）-高二上（新教材人教A版）

专题01 空间向量及其运算重难点突破

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

1．空间向量

(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．

(2)模(或长度)：向量的大小．

(3)表示方法：

①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||．

②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．

【几类特殊的向量】

(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．

(2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．

(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．

(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．

(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．

(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．

思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？

【名师提醒】　空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面．

2．空间向量的线性运算

类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．

图1　　　　　　　　图2

(1)如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b．

(2)如图2，＋＋＝．

即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．

(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：

①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：

(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．

②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．

(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：

对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．

3．空间向量的数量积

(1)空间向量的夹角

如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b．

(2)空间向量数量积的定义：

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b．

(3)数量积的几何意义

①向量的投影

如图所示， 过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′.

②数量积的几何意义： a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.

(4)空间向量数量积的性质：

①a⊥b⇔a·b＝0；

②a·a＝|a|2＝a2；

③|a·b|≤|a||b|；

④(λa)·b＝λ(a·b)；

⑤a·b＝b·a(交换律)；

5．共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb．

思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？

【名师提醒】平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立．

6．空间向量基本定理

如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．

特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0．

7．空间中向量的坐标

一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量．

思考1：若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？

【名师提醒】　不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．

8．空间向量的运算与坐标的关系

假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论：

(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；

(2)若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；

(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；

(4)|a|＝＝；

(5)当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝．

9．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直

(1)当a≠0时，a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔，当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔＝＝．

(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．

10．空间直角坐标系

(1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz．

(2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面．

(3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合．

(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．

(5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)．

(6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}．

11．空间向量坐标的应用

(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝．

(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝．

三、重难点题型突破

重难点1 空间向量的概念及其线性运算

例1．（1）如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（    ）

A．       B． 

C．       D．

（2） 给出以下结论：

两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；

若空间向量，，满足，则；

在正方体中，必有；

若空间向量，，满足，，则．

其中不正确的命题的序号为________．

【变式训练1】．在平行六面体，设，，，分别是，，的中点，则（    ）

A．       B．

C．        D．

【变式训练2】．（多选题）已知平行六面体，则下列四式中其中正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练3】．（多选题）在四面体中，以上说法正确的有（    ）

A．若，则可知

B．若Q为的重心，则

C．若，，则

D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则

重难点2 空间向量的基本定理

例2．（1）为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（    ）

A．       B．

C．       D．

（2）已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋．

(1)判断，，三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内．

【变式训练1】．如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，．

【变式训练2】．如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连接MN，NQ，QR，RM．应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面．

【变式训练3】．给出下列命题：

①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

重难点3 空间向量的坐标与空间直角坐标系

例3．（1）已知点，向量，则点坐标是（    ）

A． B． C． D．

（2）已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

（3）（多选题）对于任意非零向量，，以下说法错误的有(    )

A．若，则          B．若，则

C．  D．若，则为单位向量

【变式训练1】．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：

①线段长度的取值范围是；

②存在点使得平面；

③存在点使得.

其中，所有正确结论的序号是（    ）

A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②

【变式训练2】．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．

(1)若∥，且||＝2，求点P的坐标；

(2)求以，为邻边的平行四边形的面积．

四、课堂定时训练（45分钟）

1．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4．则a与b的夹角〈a，b〉＝(　　)

A．30°　　　　　　　　 B．45°

C．60°   D．以上都不对

2．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有    (　　)

①(＋)＋；

②(＋)＋；

③(＋)＋；

④(＋)＋．

A．1个　　　B．2个  C．3个　　　D．4个

3．已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于(　　)

A．＋＋

B．＋＋

C．＋＋

D．＋＋

4．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是(　　)

A．a　　　　   B．b

C．c　　　　   D．无法确定

5．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C且有6＝＋2＋3，则(　　)

A．O，A，B，C四点共面   

B．P，A，B，C四点共面

C．O，P，B，C四点共面   

D．O，P，A，B，C五点共面

6．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝(　　)

A．2   B．－2

C．－2或   D．2或－

7．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为(　　)

A．3　　　B．3  C．2　　　D．2

8.已知四棱柱的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为_____________．

9.已知为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一个基底______ 填“能”或“不能”．

10．已知是平行六面体．

（1）化简，并在图形中标出其结果；

（2）设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设，试求，，的值．

11．已知长方体中, ，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）写出点的坐标；

（2）求线段的长度；

（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．