专题04 两条直线的位置关系、距离公式（重难点突破）原卷版-高二上（新教材人教A版）

专题04  两条直线的位置关系、距离公式一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理一、两条直线的交点坐标1．基础知识几何元素及关系代数表示点M直线l不同时为0)点M在直线l上直线与的交点是M方程组的解是_______2．两条直线的交点已知两条不重合的直线不同时为0),不同时为0)，如果这两条直线相交，则交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个直线方程的唯一公共解；如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点必是和的____________.3．两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的联系直线与的位置关系相交重合平行直线与的公共点个数一个无数个零个方程组的解______________无解二、两点间的距离平面上任意两点间的距离公式为                      .特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离.三、点到直线的距离1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的        .2．点到直线的距离公式平面上任意一点到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离为            .四、两条平行直线间的距离1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间          的长.2．两条平行直线间的距离公式一般地，两条平行直线(其中A与B不同时为0，且)间的距离            .五、对称问题对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称.1．点关于点对称点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点.特别地,点P关于坐标原点O的对称点为.2．点关于直线对称对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系:①（直线l的斜率存在且不为零）；②线段的中点在直线l上；③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即.常见的点关于直线的对称点：①点关于x轴的对称点          ；②点关于y轴的对称点          ；③点关于直线y=x的对称点          ；④点关于直线y=−x的对称点          ；⑤点关于直线x=m(m≠0)的对称点；⑥点关于直线y=n(n≠0)的对称点.3．直线关于直线对称（1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质：①若与相交，则直线l是、夹角的平分线；②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等；③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l,且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）.充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法. （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0,①l关于x轴对称的直线是            ;②l关于y轴对称的直线是            ;③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0;④l关于直线y=−x对称的直线是A(−y)+B(−x)+C=0.三、重难点题型突破(一) 直线的交点问题例1．若关于的方程组无解，则________．     【变式训练】直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围为_________. 
(二) 直线的距离公式的应用例2．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（  ）A．1   B．2         C．3   D．4 【变式训练】（1）.已知的三个顶点分别是A(−1,0),B(1,0), ,则为(    ) A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形（2）.若直线：与直线：平行，则与的距离为(    ) A．     B．C．     D．(三) 直线的对称问题例3．已知点P,Q在直线上.(1)若点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,求点P的坐标;(2)若点Q到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,求点Q的坐标. 
【变式训练1】某地A,B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1,2),B(4,0),一条河所在直线l的方程为x+2y-10=0.在河边上建一座供水站P分别向A,B两镇供水,若要使所用管道最省,则供水站P应建在什么地方?      
    【变式训练2】已知直线l:3x-y+3=0,求:(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.
(四) 综合问题例4．（2014四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（   ）A．    B．   C．   D．【变式训练1】．（2012浙江）设，则“”是“直线：与直线：平行”的（    ）A．充分不必要条件               B．必要不充分条件C．充分必要条件                 D．既不充分也不必要条件
四、课堂定时训练1．下列各对直线不互相垂直的是　(　　)A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1，0)，Q(4，)B．l1的斜率为-，l2过点P(1，1)，QC．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2)D．l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)2.（2020上海高二课时练）点到直线：的距离最大时，与的值依次为(　　)A．3，－3 B．5，2C．5，1 D．7，13．直线与直线的垂直,则=（   ）[来源:学,科,网Z,X,X,K]A. 1    B. -1    C. 4    D. -44．已知直线与垂直，则的值是（   ）A. 或    B.     C.     D. 或[来源:学科网ZXXK]5．（2020瓦房店市高级中学高二月考）若点在直线上，且到直线的距离为，则点的坐标为_________6．（2020合肥一六八中学高二期中）若动点，分别在直线和上移动，则的中点到原点的距离的最小值为__________．7．（2020山东泰安一中高二月考）已知四边形ABCD的顶点A(m，n)、B(5，－1)、C(4,2)、D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形.
8．已知直线，，.（1）若点在上，且到直线的距离为，求点P的坐标；（2）若//，求与之间的距离.          9．（1）求与点P(3，5)关于直线l：x－3y＋2＝0对称的点P′的坐标．（2）已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．
10．（2020上海高二课时练）直线，相交于点，其中.（1）求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；（2）求的面积；（3）问为何值时，最大？