人教版 (新课标)必修25.向心加速度学案设计

5.向心加速度

问题导学

一、向心加速度的方向及意义[来源:学科网]

活动与探究1

1．加速度是描述速度变化快慢的物理量，而匀速圆周运动的线速度大小不变，那么向心加速度是描述哪个量变化快慢的物理量？是描述角速度变化快慢还是线速度变化快慢的物理量？

2．圆周运动向心加速度方向与速度方向是什么关系？做变速圆周运动的向心加速度，其方向还指向圆心吗？[来源:学,科,网Z,X,X,K]

迁移与应用1

关于向心加速度，以下说法中正确的是（　　）[来源:学科网ZXXK]

A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直

B．向心加速度的方向保持不变

C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

1．向心加速度的物理意义

描述线速度改变的快慢，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。

2．向心加速度的方向

总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。

3．无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动，都有向心加速度，且方向都指向圆心。

说明：做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度；二是切向加速度，切向加速度改变速度大小。

二、曲线运动中的速度的变化量

活动与探究2

一质点做匀速圆周运动，其半径为2 m，周期为3.14 s，如图所示，求质点从A点转过90°到达B点的速度变化量。

迁移与应用2

飞机做曲线运动表演时，初速度为v1，经时间t速度变为v2，速度变化量Δv与v1和v2的方向关系如图所示，其中正确的是（　　）

A．①　　　B．②

C．③      D．都不正确

速度变化量的求法

1．速度是矢量，速度变化量Δv也是矢量，Δv＝v2－v1为矢量式，其变化关系满足平行四边形定则或三角形法则。[来源:学&科&网]

2．用矢量图表示速度变化量

（1）同一直线上速度的变化，矢量关系如图甲所示。

（2）不在同一直线上速度的变化，如图乙所示。

三、向心加速度的表达式及应用

活动与探究3

1．设做匀速圆周运动的物体的线速度大小为v，轨迹半径为r。经过时间Δt，物体从A点运动到B点。尝试用v、r写出向心加速度的表达式。

2．试利用an＝ω2r以及前面学过的匀速圆周运动的公式推导向心加速度的另外几种表达式an＝r，an＝4π2f2r，an＝ωv。

迁移与应用3

如图所示，一大轮通过皮带带动小轮转动，皮带和两轮之间无滑动。大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的。当大轮边缘上P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多大？

1．公式：an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv。

2．an与r的关系图象如图（a）（b）所示。

由anr图象可以看出：an与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定。

3．向心加速度与合加速度的关系

（1）物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体运动的合加速度。

（2）物体做非匀速圆周运动时，合加速度既有沿切线方向的分量，又有指向圆心方向的分量，其指向圆心方向的分量就是向心加速度，此时向心加速度仍满足：an＝＝ω2r。

答案：

【问题导学】

活动与探究1：1．答案：匀速圆周运动的线速度大小不变，但方向时刻变化，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，匀速圆周运动的角速度恒定不变，向心加速度并不表示角速度的变化情况。

2．答案：向心加速度的方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。

无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动，都有向心加速度，且方向都指向圆心。

迁移与应用1：AD　解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线方向。所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变。物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心。一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向并不始终指向圆心。正确选项为A、D。

活动与探究2：答案：4 m/s　方向斜向左下方，与vB方向成45°角

解析：如图所示，分别画出A点和B点的速度矢量，然后用矢量三角形求解。

由v＝得vA＝vB＝ m/s＝4 m/s。将初速度vA平移到B点，作出速度变化量Δv，则Δv＝＝4 m/s，其方向斜向左下方，与vB方向成45°角。

迁移与应用2：B　解析：不共线的v1、v2、Δv应构成封闭的矢量三角形，且Δv由v1的末端指向v2的末端。

活动与探究3：1．答案：物体从A点运动到B点，经历的时间为Δt，位移为x。将vA移至B点，作出速度的变化量Δv，如图所示。[来源:Zxxk.Com]

将v＝ωr代入，可得an＝ω2r。

2．答案：（1）根据ω＝及an＝ω2r可得an＝r；（2）根据ω＝2πf及an＝ω2r可得an＝4π2f2r；（3）根据v＝rω及an＝ω2r可得an＝ωv。

迁移与应用3：答案：4 m/s2　24 m/s2

解析：圆周运动的向心加速度知识往往要和皮带传动的匀速圆周运动的规律结合起来出题。本题考查的是匀速圆周运动中皮带传动的有关规律与向心加速度公式应用的综合性习题。

同一轮子上的S点和P点的角速度相同，即ωS＝ωP。

由向心加速度公式a＝Rω2可得＝（a正比于R），故aS＝aP·＝12× m/s2＝4 m/s2。

又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ。

由向心加速度公式a＝可得＝（a反比于R），故aQ＝aP·＝12× m/s2＝24 m/s2。