初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试练习

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试练习，共16页。
一．选择题


1．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ）


A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣5


C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣5


2．当k取任意实数时，抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点所在的函数图象的解析式是（ ）


A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2x+1C．y＝x2﹣2x+3D．y＝x2+2x﹣3


3．设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（ ）


A．1B．0C．﹣1D．﹣2


4．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（ ）


A．抛物线的开口方向向上


B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1


C．抛物线对称轴左侧部分是下降的


D．抛物线顶点到x轴的距离是2


5．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）


A．a≠0B．a＞0C．a＞2D．a≠2


6．已知有且仅有一个正实数满足关于x的方程（x﹣1）（x﹣3）＝k，则k不可能为（ ）


A．﹣1B．1C．3D．5


7．若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣2，则方程|ax2+bx﹣1|＝2的不相同实数根的个数是（ ）


A．2B．3C．4D．5


8．某烟花厂为扬州“烟花三月”经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+20t．若这种礼炮在点火升空到最高点时引爆，则从点火到引爆需要的时间为（ ）


A．3sB．4sC．5sD．6s


9．某文学书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价x元后，每星期售出此文学书的销售额为y元，则y与x之间的函数关系式为（ ）


A．y＝（30﹣x）（200+10x）B．y＝（30﹣x）（200+5x）


C．y＝（30﹣x）（200﹣10x）D．y＝（30﹣x）（200﹣5x）


10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＜0；②4ac＜b2；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c﹣1＝0一定有两个相等的实数根，其中正确的个数是（ ）





A．1 个B．2个C．3个D．4个


二．填空题


11．抛物线y＝（x﹣1）（x﹣3）的对称轴是直线x＝ ．


12．若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第二象限，则m的取值范围为 ．


13．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．


14．汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是s＝30t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了 米．


15．若y＝（a+2）x|a|+1是以x为自变量的二次函数，则a＝ ．


三．解答题


16．某超市以20元/千克的进货价购进了一批绿色食品，如果以30元/千克销售这些绿色食品，那么每天可售出400千克．由销售经验可知，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系．


（1）试求出y与x的函数关系式；


（2）设该超市销售该绿色食品每天获得利润w元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？




















17．已知函数y＝（k+2）是关于x的二次函数．


（1）求k的值．


（2）x为何值时，抛物线有最低点，x为何值时，y随x增大而增大．














18．如图，抛物线L：y＝a（x﹣1）（x﹣5）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，且OB＝OC．点P（m，n）为抛物线L的对称轴右侧图象上的一点


（1）a的值为 ；抛物线的顶点坐标为 ；


（2）设抛物线L在点C和点P之间部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围；


（3）当点P（m，n）的坐标满足：m+n＝19时，连接PC，PB，AC，若M为线段PC上一点，且BM分四边形ABPC的面积为相等两部分，求点M的坐标．

















19．已知函数y＝x2+（m﹣3）x+1﹣2m（m为常数）．


（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．


（2）不论m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标．














20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣1（m≠0）．


（1）当m＝3时，求抛物线的顶点坐标；


（2）已知点A（1，2）．试说明抛物线总经过点A；


（3）已知点B（0，2），将点B向右平移3个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m的取值范围．





参考答案


一．选择题


1．解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，


∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．


故选：D．


2．解：∵抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点是（k+1，k2+2），


即当x＝k+1时，y＝k2+2，


∴k＝x﹣1，


把k＝x﹣1代入y＝k2+2得y＝（x﹣1）2+2＝x2﹣2x+3，


所以（k，﹣3k2）在抛物线y＝x2﹣2x+3上．


故选：C．


3．解：∵k＜0，


∴函数y＝kx2+（4k+3）x+1的图象在对称轴直线x＝﹣的左侧，y随x的增大而增大．


∵当x＜m时，y随着x的增大而增大


∴m≤﹣，


而当k＜0时，﹣＝﹣2﹣＞﹣2，


所以m≤﹣2，


故选：D．


4．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，


∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），


在对称轴左侧，y随x的增大而增大，


∴A、B、C不正确；


∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，


∴D正确，


故选：D．


5．解：由题意得：a﹣2≠0，


解得：a≠2，


故选：D．


6．解：如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣3）与x轴的两个交点坐标是（1，0），（3，0）．


又因为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，则该抛物线与y轴的交点坐标是（0，3），顶点坐标是（2，﹣1）．


所以当抛物线＝（x﹣1）（x﹣3）与直线y＝k的交点横坐标是正数时，k的取值范围是k≥3或k＝﹣1．


观察选项，只有选项B符合题意．


故选：B．





7．解：由题意可知，二次函数y＝ax2+bx﹣1的图象开口向上，经过定点（0，﹣1），最小值为﹣2，


则二次函数 y＝ax2+bx﹣1 的大致图象如图1所示，


函数y＝|ax2+bx﹣1|的图象则是由二次函数y＝ax2+bx﹣1位于x轴上方的图象不变，


位于x轴下方的图象向上翻转得到的，如图2所示，


由图2可知，方程|ax2+bx﹣1|＝2 的不相同实数根的个数是3个，





故选：B．


8．解：h＝﹣t2+20t．


函数的对称轴为：t＝＝4，


故选：B．


9．解：设每本书降价x元，则每星期可售出（200+×10）＝（200+5x）本，


∴每星期售出此文学书的销售额y＝（30﹣x）（200+5x）．


故选：B．


10．解：①∵根据图示知，抛物线开口方向向下，


∴a＜0．


由对称轴在y轴的右侧知b＞0，


∵抛物线与y轴正半轴相交，


∴c＞0，


∴abc＜0．


故①符合题意；





②∵抛物线与x轴有两个交点，


∴△＝b2﹣4ac＞0．


∴4ac＜b2．


故②符合题意；





③如图所示，当x＝1时，y＝a+b+c＞0，


故③不符合题意；





④∵二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为1，即ax2+bx+c≤1，


∴方程ax2+bx+c＝1有两个相等的实数根．


故④符号题意．


综上所述，正确的结论有①②④，共3个．


故选：C．





二．填空题


11．解：∵抛物线y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，


∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，


故答案为：2．


12．解：∵y＝（x﹣m）2+（m+1），


∴顶点为（m，m+1），


∵顶点在第二象限，


∴m＜0，m+1＞0，


∴﹣1＜m＜0，


故答案为﹣1＜m＜0．


13．解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，


w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，


∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，


故答案为：70．


14．解：∵s＝30t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+，


∴汽车刹车后到停下来前进了m．


故答案为：．


15．解：由题意得：|a|＝2，且a+2≠0，


解得：a＝2，


故答案为：2．


三．解答题


16．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，


，得，


即y与x的函数关系式是y＝﹣20x+1000（30≤x≤50）；


（2）w＝（x﹣20）y


＝（x﹣20）（﹣20x+1000）


＝﹣20x2+1400x﹣20000


＝﹣20（x﹣35）2+4500，


故当x＝35时，w取得最大值，此时w＝4500，


答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．


17．解：（1）∵函数y＝（k+2）是关于x的二次函数，


∴，


解得，k＝3，


即k的值是3；


（2）由（1）知，k＝3，


∴函数y＝5x2，


∴当x＝0时，抛物线取得最小值，此时y＝0，当x＞0时，y随x增大而增大，


即当x＝0时，抛物线有最低点，x＞0时，y随x增大而增大．


18．解：（1）∵抛物线L：y＝a（x﹣1）（x﹣5）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，


∴A（1，0），B（5，0），


∵OB＝OC，


∴C（0，5），


∵y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝ax2﹣6ax+5a，


∴5a＝5，


∴a＝1，


∴抛物线L为y＝x2﹣6x+5，


∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，


∴抛物线的顶点为（3，﹣4），


故答案为1，（3，﹣4）；


（2）由（1）可知：抛物线L的解析式为y＝x2﹣6x+5，


∴当y＝5时，x2﹣6x+5＝5，


∴x1＝0，x2＝6，


∴抛物线L的对称轴为直线x＝3，


当3≤m≤6时，点C是最高点，抛物线L的顶点是最低点，


∴h＝5﹣（﹣4）＝9，


当m＞6时，点P是最高点，抛物线L的顶点是最低点，


∴h＝m2﹣6m+5+4＝m2﹣6m+9；





（3）∵点P（m，n）是抛物线y＝x2﹣6x+5图象上的点．


∴n＝m2﹣6m+5．


又∵m+n＝19，


∴n＝﹣m+19．


∴﹣m+19＝m2﹣6m+5，即m2﹣5m﹣14＝0．


∴m1＝7，m2＝﹣2（舍）．


∴点P的坐标为（7，12）．


设直线PC的函数表达式为y＝kx+b．


∴，解得．


∴y＝x+5，


设点M的坐标为（x，y），连接BM，OP，OM．


∵S四边形ABMC＝S四边形ABPC．


∴S△OMC+S△OBM﹣S△OAC＝（S△OPC+S△OBP﹣S△OAC）


∴+＝（﹣），


解得x＝，


∴y＝x+5＝，


∴点M的坐标为（，）．





19．（1）证明：令 y＝0，则 x2+（m﹣3）x+1﹣2m＝0． 因为 a＝1，b＝m﹣3，c＝1﹣2m，


所以 b2﹣4ac＝（m﹣3）2﹣4（1﹣2m）＝m2+2m+5＝（m+1）2+4＞0．


所以方程有两个不相等的实数根．


所以不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点．


（2）解：y＝x2+（m﹣3）x+1﹣2m＝（x﹣2）m+x2﹣3x+1． 因为该函数的图象都会经过一个定点，


所以 x﹣2＝0，


解得 x＝2．


当x＝2 时，y＝﹣1．


所以该函数图象始终过定点（2，﹣1）．


20．解：（1）把m＝3代入y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣1中，得y＝3x2﹣6x+5＝3（x﹣1）2+2，


∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．


（2）当x＝1时，y＝m﹣3（m﹣1）+2m﹣1＝m﹣3m+3+2m﹣1＝2．


∵点A（1，2），


∴抛物线总经过点A．


（3）∵点B（0，2），由平移得C（3，2）．


①当抛物线的顶点是点A（1，2）时，抛物线与线段BC只有一个公共点．


由（1）知，此时，m＝3．


②当抛物线过点B（0，2）时，


将点B（0，2）代入抛物线表达式，得


2m﹣1＝2．


∴m＝＞0．


此时抛物线开口向上（如图1）．





∴当0＜m＜时，抛物线与线段BC只有一个公共点．


③当抛物线过点C（3，2）时，


将点C（3，2）代入抛物线表达式，得


9m﹣9（m﹣1）+2m﹣1＝2．


∴m＝﹣3＜0．


此时抛物线开口向下（如图2）．





∴当﹣3＜m＜0时，抛物线与线段BC只有一个公共点．


综上，m的取值范围是m＝3或0＜m＜或﹣3＜m＜0．