陕西省西安中学2021届高三上学期第四次月考 数学（文） (含答案) 试卷
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数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 定义集合A与B的“差集”为：且，若集合2，3，4，，3，，则为
A. M B. N C. 4， D.
- 已知i为虚数单位，复数若，则a的取值范围是
A. B. C. D.
- 已知单位向量与的夹角为，若与垂直，则实数x的值为
A. B. C. D.
- 下列选项中，说法正确的是
A. “，”的否定是“，”
B. 若向量，满足，则与的夹角为钝角
C. 若 ，则
D. “”是“”的必要条件
- 执行如图所示的程序框图，输出的s值为
A. B. C. D. - 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中矩形的高为4，俯视图是一个半圆内切于边长为4的正方形，则该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
- 幂函数，当a取不同的正数时，在区间上它们的图象是一组美丽的曲线如图，设点，，连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么
A. 0 B. 1 C. D. 2
|
|
- 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边与x轴正半轴重合，终边过点，且，则
A. B. C. D.
- 函数的部分图象如图所示，则
A. 6 B. 4 C. D.
- 在底边边长为2的正四棱锥中，异面直线PC与AD所成角的正切值为3，则四棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
- 函数存在极值点，则实数a的取值范围为
A. B.
C. 或 D. 或
- 正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，则
A. 直线与直线AF垂直
B. 直线与平面AEF不平行
C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为
D. 点C与点G到平面AEF的距离相等
|
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 方程sinx = lgx的实根有______个
- 设等差数列的前n项和为，若，，则当取最小值时，n等于______．
- 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底C在西偏北的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山底C在西偏北的方向上，山顶D的仰角为，则此山的高度______
- 关于函数x，有下列命题：
其图象关于y轴对称；当x时，是增函数；当x时，是减函数；
的最小值是；在区间、上是增函数；
无最大值，也无最小值．其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题:(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22，23题为选考题，考生根据要求作答.)
- 已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
设，求数列的前n项和 - 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量单位：的影响．该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费万元和年销售量单位：具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值．
万元 | 2 | 4 | 5 | 3 | 6 |
单位： | 4 | 3 | 6 |
(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程；
(2)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为，根据中的结果回答下列问题：
当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？
估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大．
附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
参考数据：,
- 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
求角A的大小；
若的面积为，且，求a． - 如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形，平面平面ABCD，，，．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求点D到平面BCF的距离．
- 已知函数．
若，求函数的极值和单调区间；
若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数a的取值范围． - 已知直线的参数方程为为参数)，曲线C的参数方程为 (为参数).(Ⅰ) 若在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(Ⅱ)设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线的距离的最小值与最大值。
- 已知函数，，且的解集为．
求m的值；若a，b，c都为正数，且，证明：．
西安中学高2021届高三第四次月考
数学（文）答案
一、选择题： CABDB AABAB. DC
二、填空题：13.3． 14. 6 15. 16.
17.【答案】解：在比数列中，由，得，，
，，成等差数列，
．
从而有，
；
由，且，
得，
18.【答案】解：，．
，．
关于x的线性回归方程为；
由知，当时，年销售量y的预报值，
年利润z的预报值；
，
，
，当且仅当，即时取等号．
．
该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大．
19.【答案】解：在中，，
由正弦定理可得：，即：，
，可得：，
为三角形内角，，
，
又，
．
，且的面积为，
解得：，
，，
，整理可得：，
，整理可得：．
20.【答案】解：Ⅰ四边形ABCD是正方形，，
又平面平面ABCD，平面平面，面ABCD，
平面ADE，分
又平面ADE，，分．
在中，，，，
由余弦定理得，，，分
又，平面分
又平面分
Ⅱ过点E做交AD于点H，连结FD．
平面平面ABCD，平面平面，平面ADE，
平面ABCD，在中，分
又，面ABCD，面ABCD
面到面ABCD的距离等于F到面ABCD的距离分，
分
在直角梯形EFBA中，，，，，可得，
分
设D点到平面BFC的距离为d，，
即，点D到平面BCF的距离分
21.【答案】解：因为，分
当，，
令，得，分
又的定义域为，，随x的变化情况如下表：
x | 1 | ||
0 | |||
极小值 |
所以时，的极小值为分
的单调递增区间为，单调递减区间为；分
，．
令，得到，
若在区间上存在一点，使得成立，
其充要条件是在区间上的最小值小于0即可．
当，即时，对成立，
在区间上单调递减，
故在区间上的最小值为，
由，得；
当，即时，
若，则对成立，
在区间上单调递减，
在区间上的最小值为，
显然，在区间上的最小值小于0不成立．
若，即时，则有
x | |||
0 | |||
极小值 |
在区间上的最小值为，
由，
得，解得，即．
综上，由可知：．
22.【答案】(1)将点化为直角坐标得，
直线的普通方程为，显然点不满足直线的方程，
所以点不在直线上.
(2)因为点在曲线上，故可设点，
点到直线：的距离为
，
所以当时，；
当时，.
故点到直线的距离的最小值为，最大值为.
23.【答案】解：由得得，
因为的解集为，
所以．
证明：由得，
所以．当且仅当时取等号，所以成立．
