专题07：2020-2021学年高二年级数学上学期期末复习通关秘笈直线与方程解析版

直线与方程

一、倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角是

A．     B．      C．      D．

【答案】B

【分析】由题意，取得直线的斜率，进而可求得倾斜角，得到答案．

【解析】由题意得，故倾斜角为．故选B．

【名师点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角，以及三角函数的求值，其中解答中根据直线的方程，求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

2．如图，已知直线，，的斜率分别为，，，则

A．                          B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据倾斜角的大小即可判断斜率大小．

【解析】由图可知，的倾斜角为钝角，故，

的倾斜角大于的倾斜角，且为锐角，则，

所以．故选D．

3．当a＝3时，直线ax＋(a－3)y－1＝0的倾斜角为____________．

【答案】90°

【解析】 当a＝3时，直线ax＋(a－3)y－1＝0可化为3x－1＝0，其倾斜角为90°.

4．直线的倾斜角，则其斜率的取值范围为         。

【答案】

【解析】直线的倾斜角为，则斜率为，在上为增函数.

由于直线的倾斜角，所以其斜率的取值范围为，即.

5. 过点和（）的直线的倾斜角的范围是___________．

【答案】

【分析】求出直线的斜率，由利用正切函数的性质得倾斜角的范围．

【解析】由题意直线的斜率为，

设的倾斜角为，则，又，所以．故答案为．

6．若直线被直线与截得的线段长为，则直线的倾斜角的值为___________．

【答案】或

【分析】易知直线与平行，且它们之间的距离为，然后根据直线被直线与截得的线段长为，求得直线与与的夹角即可

【解析】因为直线与平行，

则与之间的距离为，设直线与与的夹角为，

因为直线被直线与截得的线段长为，

则，解得，因为两直线的斜率为1，故倾斜角为，

所以直线的倾斜角的值为或，故答案为或．

7．过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是。

【答案】

【解析】当时，直线的倾斜角为，满足题意；

当时，直线的斜率为，或，

所以或，解得或.

综上，实数的取值范围是.

8．若直线：与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是___________．

【答案】

【分析】根据题意求出交点坐标，再结合交点的位置，得到不等式组，解不等式组，求出的取值范围，最后根据直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可．

【解析】当时，直线与直线平行，不符合题意，故舍去；

当时，解方程组得，即交点坐标为，

因为交点在第一象限，所以，设直线的倾斜角为，所以有，解得

故答案为.

9．已知点，,直线的方程为，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为       。

【答案】

【解析】直线整理为即可知道直线过定点，

作出直线和点对应的图象如图：，，，

，，

要使直线与线段相交，则直线的斜率满足或，或

即直线的斜率的取值范围是，

二、直线方程

1．经过的直线都可以用表示．（___________）（填“正确”或“错误”）

【答案】错误

【分析】直线过点，但不能用点斜式表示，即可知命题的正误．

【解析】点一定在直线上，即存在斜率的直线；对于斜率不存在的直线，同样有直线过，所以描述不正确．故答案为错误．

【名师点睛】本题考查了过定点的直线方程，过定点的直线要考虑斜率存在或不存在两种情况，属于简单题．

2．已知直线．

（1）过点且与直线平行的直线方程___________；

（2）过点且与直线垂直的直线方程是___________．

【答案】       

【解析】直线经过点，且与直线平行，

则直线的斜率为；所以直线的方程为，即；

直线经过点，且与直线垂直，

则直线的斜率为；所以直线的方程为，即．

故答案为，

【名师点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（）

3．已知直线l经过两条直线2x+3y+8＝0和x﹣y﹣1＝0的交点，且在两坐标轴的截距相等，则直线l的方程为___________．

【答案】2x﹣y＝0或x+y+3＝0

【分析】先求出两直线的交点坐标，然后分所求直线过原点和不过原点分别求解．

【解析】联立方程2x+3y+8=0和，解得，所以交点坐标为，

①当直线l过原点时，符合截距相等，此时直线l的方程为y＝2x，即2x﹣y＝0，

②当直线l不过原点时，设直线l的方程为，

把点代入得，解得a＝﹣3，所以直线l的方程为，即x+y+3＝0，综上所述，直线l的方程为2x﹣y＝0或x+y+3＝0．

4．过点，且与点，距离相等的直线方程是         。

【答案】或

【解析】由题意得：满足条件的直线斜率存在，

所以可设所求直线方程为

因为与点，距离相等，

所以或

即或

5．若直线过点，且被两直线：，：截得的线段恰被点平分，则直线的方程为___________．

【答案】

【分析】设直线与直线的两个交点为，设，则，代入直线：即可得点，进而可得到直线的方程．

【解析】设直线与直线的两个交点为，

设，则，代入直线：，

得，解得，所以点，

所以直线的方程为，即．

6．“直线在坐标轴上截距相等”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由题知：，由得；由得，.

因为在坐标轴上的截距相等，所以，解得或.

所以直线在坐标轴上截距相等”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

7．过点（2，1）且在x轴上截距是在y轴上截距的两倍的直线的方程为___________．

【答案】或

【解析】当直线在两轴上的截距都是零的时候，即直线过坐标原点时，直线方程是，当直线不过坐标原点时，设直线方程为，即，将点代入即可求得，从而求得直线的方程是，所以所求的直线方程是或．

8．设直线l过点，它被平行线与所截的线段的中点在直线上，则l的方程是___________．

【答案】

【分析】由于到平行线与距离相等的直线方程为，然后由可求出直线l被平行线与所截的线段的中点坐标，再利用两点式可求得方程.

【解析】因为到平行线与距离相等的直线方程为．

所以联立方程组解得，

所以直线l被平行线与所截的线段的中点为．

所以直线l的两点式方程为，即．

9. 已知直线与两坐标轴分别交于两点，如果△的面积为，那么满足要求的直线的条数是．

A．1  B．2

C．3  D．4

【答案】C

【分析】按照、分类，求出截距后列方程即可得解．

【解析】当时，直线，不合题意；

当时，若，则，若，则，

所以，

所以或，

解得或或；

所以满足要求的直线的条数是3．故选C．

10．已知是圆内一点，则过点P的最长弦所在直线方程是___________．

【答案】

【分析】分析可得该直线经过圆心时弦长最长，从而可得斜率，进而可得直线方程．

【解析】圆，整理得圆，所以圆心为圆．过的最长弦为经过圆心时，所以该直线的斜率为，

所以直线方程为，整理得．

11．若直线经过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线的方程为___________或___________．

【答案】       

【分析】将题意转化为直线在两坐标轴上的截距相等或相反且不等于0，按照两种情况设直线方程的截距式，再代入点的坐标可解得结果．

【解析】依题意知，直线在两坐标轴上的截距相等或相反且不等于0，

当直线在两坐标轴上的截距相等且不等于0时，设直线的方程为，

因为直线经过点，所以，解得，此时直线的方程为，

当直线在两坐标轴上的截距相反且不等于0时，

设直线的方程为，因为直线经过点，所以，解得，此时直线的方程为，所以直线的方程为或．

故答案为，．

12．已知直线的方程为，分别求直线的方程，使得

（1）与平行，且过点；

（2）与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为6．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】（1）由于与平行，所以设直线的方程为，然后把点代入方程中可求出的值，从而可得直线的方程，（2）由于与垂直，所以设直线的方程为，然后求出直线在坐标轴上的截距，由与两坐标轴围成的三角形面积为6，列方程求出的值，从而可得直线的方程．

【解析】（1）因为直线的方程为，且与平行，

所以设直线的方程为，

因为点在直线上，所以，解得，

所以直线的方程为；

（2）因为直线的方程为，且与垂直，

所以设直线的方程为，当时，，当时，，

因为与两坐标轴围成的三角形面积为6，所以，解得或，

所以直线的方程为或．

三、直线间的位置关系

1．直线，若，则a的值为   。

【答案】3

【解析】因为直线，且，

所以，且，解得

2、设a∈R，则“a＝3”是“直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】当a＝3时，两直线的方程分别为和，此时两条直线平行成立；

反之，当两直线平行时，有且，解得或，

而当时，两条直线都为，重合，舍去，所以，

所以“a＝3”是“直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行”的充要条件，故选：C

3、直线与互相垂直，则实数的值是

A．  B．

C．或  D．以上都不对

【答案】C

【解析】由题意，解得或．故选C．

4、已知直线，，且，则的值为

A．0  B．－1

C．0或1  D．0或－1

【答案】D

【解析】因为直线，，且，

所以，解得或．故选D．

【名师点睛】此题易用两条直线的斜率之积等于，而忽略一条直线斜率不存在另外一条直线斜率为0的情况．

5、已知直线，直线，且∥，若均为正数，则的最小值是（    ）

A． B． C．8 D．24

【答案】A

【解析】因为直线，直线，且∥，

所以，即，

因为均为正数，所以，

，

当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：A

6、设向量，，若，则直线与直线的位置关系是

A．平行  B．相交且垂直

C．相交但不垂直  D．重合

【答案】B

【分析】根据向量垂直，得到，从而可得两直线斜率之间的关系，即可得出结果．

【解析】因为向量，，若，则，即，

所以直线可化为，直线可化为，

两直线斜率之积为，所以两直线相交且垂直．故选B．

7、若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为            。

【答案】

【解析】由直线与直线互相垂直

所以即

又a、b为正实数，所以

即，当且仅当a，b时取“＝”；所以的最大值为．

四、点到直线的距离、平行线间的距离

1．若直线与平行，则与间的距离为      。

【答案】

【解析】由题：直线与平行，

则，即，解得或，

当时，直线与重合；

当时，直线与平行，

两直线之间的距离为.

2、若动点分别在直线和上移动，则中点所在直线方程为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】由题意知,M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为 .

本题选择A选项.

3、已知直线恒过定点.

（Ⅰ）若直线经过点且与直线垂直，求直线的方程；

（Ⅱ）若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，求直线的方程.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【解析】

直线可化为，

由可得，所以点A的坐标为.

（Ⅰ）设直线的方程为，

将点A代入方程可得，所以直线的方程为,

（Ⅱ）①当直线斜率不存在时，因为直线过点A，所以直线方程为，

符合原点到直线的距离等于3.

②当直线斜率不存在时，设直线方程为，即

因为原点到直线的距离为3，所以，解得

所以直线的方程为

综上所以直线的方程为或.

【点睛】

本题主要考查了直线的垂直关系的应用及直线方程的求法，点到直线的距离公式，主要分斜率存在和不存在两种情况讨论，属于基础题。

五、定点问题

1、已知实数满足，则直线必过定点，这个定点的坐标为     。

【答案】

【解析】∵a+2b=1，∴a=1-2b.∵直线ax+3y+b=0，∴(1-2b)x+3y+b=0，即b(1-2x)+(x+3y)=0.

∴直线必过点 .

2、方程()所表示的直线恒过定点        。 

【答案】

【解析】方程可化为

即则恒过定点

3、已知直线恒过定点．

（1）若直线经过点且与直线垂直，求的方程；

（2）若直线经过点且坐标原点到的距离等于2，求的方程．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】（1）求出直线恒过定点，设与直线垂直的直线方程为，把代入，能求出直线的方程．

（2）直线经过点且坐标原点到直线的距离等于2，当直线的斜率不存在时，直线的方程为；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由原点到直线的距离，能求出直线的方程．

【解析】（1）直线恒过定点．，

由，得，设与直线垂直的直线方程为，

把代入，得，解得，直线的方程为．

（2）直线经过点且坐标原点到直线的距离等于2，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，成立；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

原点到直线的距离，解得，

直线的方程为，即．

综上，直线的方程为或．

【名师点睛】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线垂直的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于常考题型．

4、设直线的方程为．

（1）若不经过第二象限，求实数的取值范围；

（2）证明：不论为何值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标；

（3）证明：不论为何值，直线恒过第四象限．

【答案】（1）；（2）证明见解析，定点；（3）证明见解析．

【分析】（1）将直线方程化为斜截式，结合直线的性质即可得解；（2）将直线方程变为，令即可得证；（3）由直线过定点即可得证．

【解析】（1）将的方程化为，欲使不经过第二象限，

当且仅当或成立，所以，

故所求的取值范围为；

（2）证明：直线方程可整理成，

令，解得，当时，恒成立，

所以直线恒过点；

（3）证明：由（2）知，直线恒过第四象限内的点，

所以不论为何值，直线恒过第四象限．

5、设直线的方程为．

（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；

（2）若不经过第三象限，求的取值范围．

【答案】（1）或；（2）．

【解析】（1）由题意知，当时不符合题意；

当时，令得，令得，

若在两坐标轴上的截距相等，则，解得或．

（2）直线的方程可化为，所以，

所以，所以直线过定点，如下图所示：

若不经过第三象限，则，解得，

故实数的取值范围为．

【名师点睛】根据直线的截距相等求解参数的常规思路：

（1）先考虑直线过坐标原点的情况；

（2）再分析直线不过坐标原点但截距相同的情况；

（3）两者综合求解出最终结果．

六、对称问题

1、点关于直线对称的点的坐标为         。

【答案】

【解析】设点关于直线对称的点坐标为，

可得

2、已知直线l：，则点到直线l的距离等于___________；直线l关于点M对称的直线方程为___________．

【答案】       

【分析】直接利用点到直线的距离公式求点到直线l的距离；设为对称直线上任一点，根据它关于点M的对称点为在直线l上，可得，从而可得所求直线方程．

【解析】点到直线l的距离为，

设为对称直线上任一点，则其关于点M的对称点为，因为该点在直线l上，所以，化简得，

所以所求的直线方程为，故答案为；

3、已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为、

【答案】

【解析】在上任取一点，设关于直线的对称点为，

所以，解得，

代入，得：，所以直线的方程为.

4、如果关于直线的对称点为，则直线的方程是        。

【答案】

【解析】因为已知点关于直线的对称点为，故直线为线段的中垂线，

求得的中点坐标为，的斜率为，故直线的斜率为，

 故直线的方程为，即.

5、圆关于直线对称的圆的方程为        。

【答案】

【解析】圆的圆心坐标为，半径为2，

设关于直线的对称点为，

则，解得．

，则圆关于直线对称的圆的方程为

6、已知方程为的圆关于直线对称，则圆的半径___________；若过点作该圆的切线，切点为，则线段长度为___________．

【答案】3       

【分析】将圆方程整理成标准形式得到圆心与半径，由圆关于直线对称，得到直线过圆心，从而解出，求出半径，再根据，利用勾股定理求解即可．

【解析】圆的标准方程为，

因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，

所以，圆半径，设圆心为，则，所以，

所以，故答案为3；．

【名师点睛】本题考查圆的标准方程，利用其求半径，切线长等，属于基础题．此类题一般会利用圆的一些基本性质，例如：过圆心的直线平分圆，切点与圆心的连线与该切点处的切线垂直等，要求学生对圆的知识掌握熟练．