人教版第二十二章 二次函数22.2二次函数与一元二次方程精品导学案

这是一份人教版第二十二章 二次函数22.2二次函数与一元二次方程精品导学案，共8页。学案主要包含了，求抛物线的对称轴.，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系


出示目标


1.理解二次函数与一元二次方程的关系.


2.会判断抛物线与x轴的交点个数.


3.掌握方程与函数间的转化.


4.会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解.


预习导学


阅读教材，自学“问题”、“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解.


自学反馈 学生独立完成后集体订正


①抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.


②二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:当b2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，抛物线与x轴有0个交点.


③观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？





方程x2+x-2=0的根是x1=-2,x2=1；


方程x2-6x+9=0的根是x1=x2=3；


方程x2-x+1=0的根是无实数根.


④如图所示，你能直观看出哪些方程的根？





解:-x2+2x+3=0的根为x1=-1,x2=3；-x2+2x+3=4的根为x1=x2=1；-x2+2x+3=3的根为x1=0,x2=2


点拨：此题充分体现二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数y=-x2+2x+3中，y为某一确定值m(如4、3、0)时，相应x值是方程-x2+2x+3=m(m=4、3、0)的根.


⑤已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根是x1=x2=1.


点拨：此题解法较多，但是根据图象来解是最简单的方法.


活动1 小组讨论


例1 已知二次函数y=2x2-(4k+1)x+2k2-1的图象与x轴交于两点.求k的取值范围.


解:根据题意知b2-4ac>0，即(4k+1)2-4×2×(2k2-1)>0, 解得k>- SKIPIF 1 < 0 .


点拨：根据交点的个数来确定b2-4ac的正、负是解题关键，要熟悉它们之间的对应关系.


活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)


1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1，0)、(3，0)，求抛物线的对称轴.


解：直线x=1





2.画出函数y=x2-2x-3的图象，根据图象回答:


①方程x2-2x-3=0的解是什么？


②x取什么值时，函数值大于0;x取什么值时，函数值小于0？


解：①x1=-1,x2=3；②当x<-1或x>3时，函数值大于0；当-1

点拨：x2-2x-3=0的解，即求二次函数y=x2-2x-3中函数值y=0时自变量x的值.





3.已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A(x1，0)、B(x2,0)(x1

①求A、B两点的坐标；


②求抛物线的关系式及点C的坐标；


③在抛物线上是否存在点P，使△ABP的面积等于四边形ACMB面积的2倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.











解：①A(-1，0)、B(3,0)；②y=x2-2x-3,C(0，-3)；③存在，P1(1+ SKIPIF 1 < 0 ,9),P2(1- SKIPIF 1 < 0 ,9).


点拨：此题的切入点为根据一元二次方程根与系数的关系求出m的值，求出A、B的坐标后代入二次函数的解析式，再根据顶点坐标公式得到关于a、b、c的关系式，即得到一个三元方程组，解之即可求出待定系数.第③题可设出点P的坐标，从而得到△ABP面积的代数式，然后建立方程模型.





课堂小结


1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2+bx+c=m的根.


2.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点为(x0,0)，则x0是方程ax2+bx+c=0的根.


3.有下列对应关系:


























第2课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数的关系


出示目标


1.熟练掌握函数与方程的综合应用.


2.能利用函数知识解决一些简单的实际问题.


合作探究1


活动1 小组讨论


例1 将抛物线y=x2+2x-4向左平移2个单位，又向上平移3个单位，最后绕顶点旋转


180°.


①求变换后新抛物线对应的函数解析式；


②若这个新抛物线的顶点横纵坐标恰为x的整系数方程x2-(4m+n)x+3m2-2n=0的两根，求m、n的值.








解：①y=x2+2x-4=(x+1)2-5.由题意，可得平移旋转后抛物线的解析式为y=-x2-6x-11.


②该抛物线顶点坐标为(-3，-2).


设方程两根为x1,x2，则有x1+x2=4m+n=-5,x1·x2=3m2-2n=6.


即 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0


点拨：熟练运用二次函数平移规律解决问题，二次函数与一元二次方程的转化，以及一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法.





活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)


1.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1,当x=2时，对应的函数值y=-8.


2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=-1.


3.函数y=(x-2)(3-x)取得最大值时，x= SKIPIF 1 < 0 .


4.二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴交于A、B两点，点C在该函数图象上运动，


若S△ABC=2，求点C的坐标.

















解：C1(4+ SKIPIF 1 < 0 ,2)或C2(4- SKIPIF 1 < 0 ，2).


活动1 小组讨论


例2 如图Rt△AOB的两直角边OA，OB的长分别是1和3，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，至△DOC的位置.


①求过C、B、A三点的二次函数的解析式；


②若①中抛物线的顶点是M，判定△MDC的形状，并说明理由.





解:①由题可得A(1，0)、B(0，3)、C(-3，0).


设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1)，


将B(0，3)代入解得a=-1.


∴y=-(x+3)(x-1).即y=-x2-2x+3；


②△MDC为等腰直角三角形.


理由：过点M作MN⊥y轴于点N,


由①求得点M坐标为(-1,4)，


∵OD=OA=1，


∴MN=OD=1，ND=OC=3.


∴Rt△MDN≌Rt△DCO.


∴MD=CD，∠MDN=∠DCO


∵∠DCO+∠CDO=90°，


∴∠MDN+∠CDO=90°.


即∠MDC=90°.


∴△MDC是等腰直角三角形.


点拨：有旋转就要联想到全等形，就有相等的角和线段.





活动2 跟踪训练(小组内讨论解题思路)


如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为D.


(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；


(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m.


①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形?


②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式.








课堂小结


学生试述:这节课你学到了些什么？


课堂小练


一、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 在同一坐标系下,抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图,那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是（ ）





A.x＜0 B.0＜x＜2 C.x＞2 D.x＜0或 x＞2





LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象与直线y=1交点坐标为(1,1),(3,1)，则不等式ax2+bx+c﹣1＞0的解集为（ ）





A.x＞1 B.1＜x＜3 C.x＜1或x＞3 D.x＞3





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( )


A.-1或3 B.-1 C.3 D.-3或1





LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是（ ）


A.m<2 B.m>2 C.0




LISTNUM OutlineDefault \l 3 不论m为何实数，抛物线y=x2﹣mx+m﹣2（ ）


A.在x轴上方 B.与x轴只有一个交点 C.与x轴有两个交点D.在x轴下方





LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )





A.﹣1＜x＜5 B.x＞5 C.x＜﹣1且x＞5 D.x＜﹣1或x＞5








二、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(﹣3，0)，对称轴为x=﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是 ．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为 .





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若二次函数y=x2＋2x＋m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是________.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 二次函数y=2x2+3x﹣9的图象与x轴交点的横坐标是 ．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 直线y=3x—3与抛物线y=x2 －x+1的交点的个数是 .


LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，一次函数y=mx+n的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于A(﹣1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 .











LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）与一次函数y=kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4）,B(8，2)，如图所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是_______





LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ．











三、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：





根据表格中的信息，完成下列各题


（1）当x=3时，y=


（2）当x为何值时，y=0？


（3）①若自变量x的取值范围是0≤x≤5，求函数值y的取值范围；


②若函数值y为正数，则自变量x的取值范围.























参考答案


LISTNUM OutlineDefault \l 3 B


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C


LISTNUM OutlineDefault \l 3 A．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C


LISTNUM OutlineDefault \l 3 D


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：﹣3＜x＜1．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：4.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：m＞1；


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：﹣3或1.5．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：1.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为x＜﹣1或x＞4.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：x<－2或x>8时，y1>y2


LISTNUM OutlineDefault \l 3 -1＜x＜3．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）从表格看出，函数的对称轴为x=1，顶点为（1，﹣2），


故x=3时，y=﹣1，故：答案是﹣1；


（2）把顶点坐标代入二次函数顶点式表达式得：y=a（x﹣1）2﹣2，


把点（﹣1，﹣1）代入上式得：﹣1=a（﹣1﹣1）2﹣2，解得：a=0.25，


则函数表达式为：y=0.25（x﹣1）2﹣2，令y=0，则x=1±2 SKIPIF 1 < 0 ；


（3）①当0≤x≤5，函数在顶点处取得最小值，y=﹣2，


当x=5时，函数取得最大值y=0.25（5﹣1）2﹣2=2，


即：函数值y的取值范围为：﹣2≤x≤2；


②若函数值y为正数，则x＜1﹣2 SKIPIF 1 < 0 或x＞1+2 SKIPIF 1 < 0 .


二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
b2-4ac的值
有两个公共点
有两个不相等的实数根
b2-4ac>0
只有一个公共点
有两个相等的实数根
b2-4ac=0
无公共点
无实数根
b2-4ac<0
x
…
-3
-2
0
1
3
5
…
y
…
7
0
-8
-9
-5
7
…