专训2.4 空间几何（解析版） 试卷

专训2.4 空间几何   1．（2020·海南高三一模）如图，三棱锥的底面和侧面都是等边三角形，且平面平面.（1）若点是线段的中点，求证：平面；（2）点在线段出上且满足，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为和都为等边三角形，且有公共边，所以.因为为的中点，所以，，又因为，所以平面. （2）取的中点，连接，，由条件可得，，两两垂直.以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.设，则，则点，，，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则，令，可得.设与平面所成角为，则.2．（2020·全国高三其他模拟）如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，是的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）如图，连接，交于点，连接，由于四边形是平行四边形，所以是的中点．因为是的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）如图，取的中点，连接，，根据和都是正三角形，得，．又平面平面，平面平面，所以平面，于是．以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．设，则，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．设平面的法向量，则，即，令，则，，所以．设二面角的大小为，由图易知为锐角，则，因此二面角的余弦值为．3．（2020·全国高三其他模拟）如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．（1）证明：；（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，连接，，，因为四边形是菱形，且，所以，且，所以为正三角形，．因为，所以．又，所以平面，因为平面，所以．（2）设，则，所以，所以．由（1）知，，又，，所以，所以．故以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，所以，，．设是平面的法向量，则即 取，则．设是平面的法向量，则即则，取，则．则，由图易知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为．4．（2020·全国高三其他模拟）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等腰直角三角形，，，是的中点，二面角的大小等于120°.（1）在上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）在线段上存在点满足题意，为的中点；（2）.【解析】（1）在线段上存在点满足题意，且为的中点.如图，连接，，，∵四边形是矩形，∴.又，分别是，的中点，∴，.∵为等腰直角三角形，，为的中点，∴.∵，平面，平面，∴平面.又平面，∴平面平面.故上存在中点，使得平面平面.（2）解：由（1）可知就是二面角的平面角，∴.以为坐标原点，，的方向分别为，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由为等腰直角三角形，，得，.可得，，，，∴，，，设是平面的法向量，则即可取.设直线与平面所成的角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为.5．（2020·海南高三期中）如图，在多面体中，是边长为4的等边三角形，，，，点为的中点，平面平面．（1）求证：平面（2）线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为线段上靠近点的八等分点.【解析】（1）因为，是边长为4的等边三角形，所以，所以是等腰直角三角形，．又点为的中点，所以．因为平面平面，平面平面，所以平面．因为，，所以，，所以与都是直角三角形，故，．又，所以平面，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）连接，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设存在，使得二面角为直二面角，易知，且．设平面的法向量为，则由，，得，令，得，，故．设平面的法向量为，则由，，得，令，得，，故．由，得，故．所以当为线段上靠近点的八等分点时，二面角为直二面角．6．（2020·梅河口市第五中学高三其他模拟）如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，为的中点，平面平面，二面角的余弦值为，三棱锥的体积为．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）为等边三角形，为的中点，所以有，又平面平面，平面平面，，所以平面（面面垂直的性质定理），又平面，所以平面平面（线面垂直的判定定理），得证. （2）因为，，，所以 过作于点，连接，则，所以为二面角的平面角.即即为所求.设三棱锥的高为，则有，得.由（1）可知，为二面角的平面角，所以，则，则，所以.由余弦定理可得：，.在中，由余弦定理可知：，则有，所以，同理，又，所以由余弦定理可知.  7．（2020·天津南开中学高三月考）如图，平面，，点分别为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.由点和分别为和的中点，可得且，因为为的中点，所以且，可得且，即四边形为平行四边形，所以，又，，所以.（Ⅱ）因为，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.依题意可得，.设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得.，于是.所以，二面角的正弦值为.（Ⅲ）设，即，则.从而.由（Ⅱ）知平面的法向量为，由题意，，即，整理得，解得或，因为所以，所以.8．（2020·重庆巴蜀中学高三其他模拟）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，且平面，是的中点，且．（1）求证：平面；（2）已知三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：连接交于，则为的中点，又是的中点，，又平面，平面，平面．（2）解：因为，又因为平面，所以，而，因为，底面是正三角形，所以，，代入得．以为轴正方向，为轴正方向，过作的平行线为轴正方向建立空间直角坐标系，所以，，，，，因为平面，且平面，所以，又，且，故平面．取平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，．因为，，所以令，，，则．又，所以与夹角的余弦值为，所以二面角的余弦值为． 9．（2020·山东高三三模）如图，点是以为直径的圆上的动点（异于，），已知，，平面，四边形为平行四边形. （1）求证：平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为四边形为平行四边形，所以.因为平面，所以平面，所以.因为是以为直径的圆上的圆周角，所以，因为，平面，所以平面.（2）中，设，，所以，因为，，所以，所以，当且仅当，即时，三棱锥体积的最大值为.法一：以为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，所以，，平面的法向量，设平面的法向量，，所以，即，所以.法二：因为，平面，平面，所以平面，设平面平面，则，又，所以，又点是平面与平面公共点，所以过点，过点在圆内作交圆于点，则直线与重合，所以为平面与平面的交线，因为，，所以，又因为平面，所以，所以，所以为两个平面所成的锐二面角的平面角，在中，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.10．（2020·四川省内江市第六中学高三其他模拟）在三棱柱中，侧面底面，，且侧面为菱形.（1）证明：平面；（2）若，，直线与底面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】（1）证明：连接，因为四边形是菱形，则，因为平面平面，且为交线，，平面，， ，，又平面；（2）取的中点，连接，则面，且，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，因为四边形为平行四边形，则，平面的一个法向量为，，解得，.