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2021年高考数学一轮复习夯基练习:简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(含答案)
展开夯基练习 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一 、选择题
1.设命题p:∃n∈N,n2>2n,则綈p为( )
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n
2.已知全集U=R,A⊆U,B⊆U,如果命题p:∈(A∪B),则命题“p”是( )
A.∉A B.∈(∁UA)∩(∁UB)
C.∈∁UB D.∉(A∩B)
3.下列各组命题中,满足“p或q”为真,且“非p”为真的是( )
A.p:0=∅;q:0∈∅
B.p:在△ABC中,若cos 2A=cos 2B,则A=B;q:函数y=sin x在第一象限是增函数
C.p:a+b≥2(a,b∈R);q:不等式|x|>x的解集为(-∞,0)
D.p:圆(x-1)2+(y-2)2=1的面积被直线x=1平分;q:过点M(0,1)且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线有两条
4. “p∨q为假命题”是“p为真命题”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若命题p:x∈A∩B,则p为( )
A.x∈A且x∉B B.x∉A或x∉B
C.x∉A且x∉B D.x∈A∪B
6.已知命题p:对任意x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.p∧q C.p∧q D.p∧q
7.已知命题p:∃x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是( )
A.{a|a<-1} B.{a|a≥1} C.{a|a>1} D.{a|a≤-1}
8.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A.∀x∈R,2x+1>0
B.若2x为偶数,则∀x∈N
C.所有菱形的四条边都相等
D.π是无理数
9. “xy≠0”是指( )
A.x≠0且y≠0 B.x≠0或y≠0
C.x,y至少有一个不为0 D.不都是零
10.若存在x∈R,使ax2+2x+a<0是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(-1,1) D.(-1,1]
11.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
12.下列命题中的真命题是( )
A.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数
B.∃α,β∈R,使cos(α+β)=cos α+cos β
C.向量a=(2,1),b=(-1,0),则a在b方向上的投影为2
D.“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件
二 、填空题
13.已知命题p:6是12的约数,q:6是24的约数,则p∧q是______,p∨q是______,p是________.
14.命题“若abc=0,则a,b,c中至少有一个为零”的否定为:________,否命题为:________.
15.命题“∃x∈[﹣,],tanx≤m”的否定为 .
16.已知命题p:x≤1,命题q:<1,则p是q的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中的一个).
三 、解答题
17.对下列各组命题,利用逻辑联结词“且”构造新命题,并判断它们的真假.
(1)p:12是3的倍数,q:12是4的倍数;
(2)p:π>3,q:π<2;
(3)p:x≠0,则xy≠0,q:y≠0,则xy≠0.
18.将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示,并判断真假.
(1)实数的平方是非负数;
(2)整数中1最小;
(3)方程ax2+2x+1=0(a<1)至少存在一个负根;
(4)对于某些实数x,有2x+1>0.
19.写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题,并判断真假.
(1)p:1是质数,q:1是方程x2+2x-3=0的根;
(2)p:平行四边形的对角线一定相等,q:平行四边形的对角线互相垂直;
(3)p:N⊆Z,q:0∈N.
20.设q(x):x2=x,试用不同的表达方法写出特称命题“∃x∈R,q(x)”(至少用5种).
参考答案
1.答案为:C;
解析:因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,p(x)”,
所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”,故选C.
2.答案为:B;
解析:由p:∈(A∪B),可知p:∉(A∪B),
即∈∁U(A∪B),而∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
3.答案为:C;
解析:A中,p,q均为假命题,故“p或q”为假,排除A;B中,
由在△ABC中,cos 2A=cos 2B,得1-2sin2A=1-2sin2B,即(sin A+sin B)(sin A-sin B)=0,
所以A-B=0,故p为真,从而“非p”为假,排除B;C中,p为假,从而“非p”为真,q为真,
从而“p或q”为真;D中,p为真,故“非p”为假,排除D.故选C.
4.答案为:A;
解析:p∨q为假命题,则p,q均为假命题,故p∨q为假命题⇒p为真命题,
但p为真命题 p∨q为假命题.
5.答案为:B;
解析:“x∈A∩B”是指“x∈A,且x∈B”,故p:x∉A或x∉B.
6.答案为:B;
解析:当x>0时,x+1>1,因此ln(x+1)>0,即p为真命题;
取a=1,b=-2,这时满足a>b,显然a2>b2不成立,因此q为假命题.
由复合命题的真假性,知B为真命题.
7.答案为:B;
解析:∵p为假命题,∴¬ p为真命题,即:∀x>0,x+a-1≠0,即x≠1-a,
∴1-a≤0,则a≥1.∴a的取值范围是{a|a≥1},故选B.
8.答案为:C;
解析:对A,是全称量词命题,但不是真命题,故A不正确;
对B,是真命题,但不是全称量词命题,故B不正确;
对C,是全称量词命题,也是真命题,故C正确;
对D,是真命题,但不是全称量词命题,故D不正确,故选C.
9.答案为:A;
解析:xy≠0是指“x≠0,且y≠0”.
10.答案为:A;
解析:当a≤0时,显然存在x∈R,使ax2+2x+a<0;
当a>0时,必需Δ=4-4a2>0,解得-1<a<1,故0<a<1.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,1).
11.答案为:D;
解析:原命题是全称量词命题,其否定是:存在一个能被2整除的整数不是偶数.
12.答案为:B;
解析:
对于A,当φ=时,f(x)=cos 2x,为偶函数,故A为假命题;
对于B,令α=,β=-,则cos(α+β)=cos=,
cos α+cos β=+0=,cos(α+β)=cos α+cos β成立,故B为真命题;
对于C,向量a=(2,1),b=(-1,0),则a在b方向上的投影为==-2,故C为假命题;
对于D,|x|≤1,即-1≤x≤1,故充分性成立,若x≤1,
则|x|≤1不一定成立,所以“|x|≤1”为“x≤1”的充分不必要条件,故D为假命题.
二 、填空题
13.答案为:6是12和24的约数 6是12或24的约数 6不是12的约数;
解析:p∧q:6是12和24的约数;p∨q:6是12或24的约数;p:6不是12的约数.
14.答案为:若abc=0,则a,b,c全不为零 若abc≠0,则a,b,c全不为零;
解析:
否定形式:若abc=0,则a,b,c全不为零.
否命题:若abc≠0,则a,b,c全不为零.
15.答案为:∀x∈[﹣,],tanx>m;
16.答案为:充分不必要;
解析:p:x≤1⇒p:x>1⇒<1,但<1 x>1.∴p是q的充分不必要条件.
三 、解答题
17.解:
(1)p∧q:“12是3的倍数且是4的倍数”,是真命题.
(2)p∧q:“π大于3且小于2”,是假命题.
(3)p∧q:“x≠0,则xy≠0,且y≠0,则xy≠0”,是假命题.
18.解:
(1)∀x∈R,x2≥0;真.
(2)∀x∈Z,x≥1;假.
(3)∃x<0,有ax2+2x+1=0(a<1);真.
(4)∃x∈R,有2x+1>0;真.
19.解:
(1)因为p假q真,所以p或q:1是质数或1是方程x2+2x-3=0的根,为真命题;
p且q:1是质数且1是方程x2+2x-3=0的根,为假命题;
非p:1不是质数,为真命题.
(2)因为p假q假,所以p或q:平行四边形的对角线一定相等或互相垂直,为假命题;
p且q:平行四边形的对角线一定相等且互相垂直,为假命题;
非p:平行四边形的对角线不一定相等,为真命题.
(3)因为p真q真,所以p或q:N⊆Z或0∈N,为真命题;
p且q:N⊆Z且0∈N,为真命题;
非p:NZ,为假命题.
20.解:
存在实数x,使x2=x成立;
至少有一个x∈R,使x2=x成立;
对有些实数x,使x2=x成立;
有一个x∈R,使x2=x成立;
对某个x∈R,使x2=x成立.