2021年高考数学一轮复习夯基练习：几何概型(含答案)

夯基练习 几何概型

一 、选择题

1.在区间(0，4)上任取一数x，则<2x－1<1的概率是(　　)

A．           B．             C．               D．

2.取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，，那么剪的两段的长度都不小于1m的概率是（    ）

A 、2/3        B 、1/3        C 、1/4        D、不能确定

3.在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm2的概率为(　　)

A．           B．            C．          D．

4. (2017全国卷1∙文)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(      )

A.                                                B.                                                C.                                                D.

5.有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，即可中奖，小明希望中奖，则他应当选择的游戏盘为(　　)

6.从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)

A．          B．            C．          D．

7.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为(　　)

A．           B．            C．            D．

8.在圆心角∠AOB为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为(　　)

A．            B．            C．               D．

9.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是(　　)

A．2－       B．4－        C．4－         D．4

10.向等腰直角三角形ABC(其中AC=BC)内任意投一点M，则AM小于AC的概率为(　　)

A．          B．1－           C．            D．

11.在线段[0，3］上任取一点，则此点坐标大于1的概率是（    ）

A 、1/3   B 、2/3    C、1/2     D、1/3

12.如图，已知曲线y=sin＋3把边长为4的正方形OABC分成黑色部分和白色部分．若在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)

A．           B．            C．           D．

二 、填空题

13.两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候后到者20分钟，过时就可离开，这两人能会面的概率为____________________________________________。

14.记函数f(x)=的定义域为D．在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是______．

15.若向区域Ω={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}内投点，则该点到原点的距离小于1的概率为______．

16.已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是__________________________。

三 、解答题

17.设有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0，1]上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1，3]上的诸数字，旋转这陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于[0、5，1、5]上的概率。

18.取一个边长为4a的正方形及其内切圆，如图，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。

4a

19.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.

(1)求n的值．

(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.

①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；

②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．

20.在人寿保险业中，要重视某一年龄的投保人的死亡率，经过随机抽样统计，得到某城市一个投保人能活到75岁的概率为0.60，试问：

（1）3个投保人都能活到75岁的概率；

（2）3个投保人中只有1人能活到75岁的概率；

（3）3个投保人中至少有1人能活到75岁的概率．（结果精确到0.01）

参考答案

1.答案为：C；

解析：由题设可得－2<x－1<0，即－1<x<1，所以d=1，D=4，

则由几何概型的概率公式可知所求概率P=．故选C．

2.B；

3.答案为：B；

解析：不妨设矩形的长为x cm，则宽为(12－x) cm，由x(12－x)>20，解得2<x<10，

所以该矩形的面积大于20 cm2的概率为=．故选B．

4.【答案】B

5.答案为：A；

解析：A游戏盘的中奖概率为，B游戏盘的中奖概率为，

C游戏盘的中奖概率为=(其中r为圆的半径)，

D游戏盘的中奖概率为=(其中r为圆的半径)，

故A游戏盘的中奖概率最大．故选A．

6.答案为：C；

解析：如图，数对(xi，yi)(i=1，2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，

两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，

则由几何概型的概率公式可得=⇒π=．故选C．

7.答案为：C；

解析：

设正方形的边长为2，则由几何概型的概率公式，知所求概率为=．故选C．

8.答案为：A；

解析：记M=“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．

如图所示，作射线OD，OE使∠AOD=30°，∠AOE=60°．

当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，

此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90．

所以P(M)==．

9.答案为：B；

解析：设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积

S=24×=4πr2－6r2，圆的面积S′=πr2，

所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为=4－，故选B.

10.答案为：D；

解析：以A为圆心，AC为半径画弧与AB交于点D．依题意，

满足条件的概率P===．故选D．

11.B；

12.答案为：A；

解析：如图，点D，E在直线y=3上，F为y=3与曲线y=sin＋3(0＜x＜4)的交点．

将y=3代入y=sin＋3得sin=0．又因为0＜x＜4，所以x=2．

由正弦函数的性质可知y=sin＋3的图象关于点F(2，3)对称，

所以阴影部分的面积S=S四边形BCDE=4×(4－3)=4．又因为S正方形OABC=4×4=16，

所以此点取自黑色部分的概率是=．故选A．

二 、填空题

13.

14.答案为：；

解析：

由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D=[－2，3]．如图，区间[－4，5]的长度为9，

定义域D的长度为5，∴P=．

15.答案为：；

解析：如图，由题意知区域Ω的面积为1，在区域Ω内，到原点的距离小于1的区域为阴影部分，即四分之一个圆，其面积为，所以所求概率为．

16.

三 、解答题

17.

18.解：记“豆子落入圆内”为事件A，则

P（A）=圆的面积/正方形的面积

=

=

答：豆子落入圆内的概率为。

19.解：

(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，

取到标号为2的小球概率为=，得n=2.

(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a，b)所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，

(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，

而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)==.

②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y2＞4，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，

则全部结果所构成的区域为Ω=，

由几何概型得概率为P==1－.

20.解：（1）

（2）

（3）