2021年高考数学一轮复习夯基练习：两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案)

夯基练习 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一 、选择题1.函数f(x)=sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是(　　)A.1          B.2           C.            D.3  2.计算sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　)A.－          B.            C.－         D.  3.已知cos α＋cos β=，sin α＋sin β=，则cos(α－β)=(　　)A．－           B．－          C.            D．1  4.cos(－15°)的值为(　　)A.　        B.         C.          D．－  5.Sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（      ）A．   B．   C．  D．-6.已知cos＋sin α=，则sin的值为(　　)A.－          B.         C.－          D.  7.若tan α=，tan(α＋β)=，则tan β等于(　　)A.            B.         C.           D.  8.若α∈，且sin2 α＋cos 2α=，则tan α的值等于(　　)A.          B.          C.              D. 9.若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β=0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于(　　)A．1          B．－1          C．0          D．±1  10.已知函数f(x)=sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的一条对称轴是(　　)A．x=－         B．x=            C．x=－             D．x=  11.在锐角△ABC中，tan Atan B的值(　　)A．不小于1        B．小于1        C．等于1          D．大于1  12.函数y=sin 2x＋sin2 x，x∈R 的值域是(　　)A.     B.      C.     D.  二 、填空题13.在△ABC中，若cos A=，则sin2＋cos 2A等于________．  14.定义运算=ad－bc.若cos α=，=，0＜β＜α＜，则β=        .  15.已知cos＋sin α=，则sin=________.  16.已知tan α和tan(- α)是方程ax2＋bx＋c=0的两个根，则a，b，c的关系是________．   三 、解答题17.已知函数f(x)=cos－2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.             18.求证：tan －tan =.          19.如图，在矩形ABCD中，AB=a，BC=2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP=PD，求tan∠APD的值．           20.已知α，β为锐角，tan α=，cos(α＋β)=－.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．            
参考答案1.答案为：C；解析　f(x)=＋sin 2x=sin＋，∵x∈，∴2x－∈，∵sin∈，∴f(x)max=1＋=，故选C.  2.答案为：D；  3.答案为：A.解析：由cos α＋cos β=，sin α＋sin β=，两边平方相加得(cos α＋cos β)2＋(sin α＋sin β)2=＋=1，∴2＋2cos αcos β＋2sin αsin β=1，2(cos αcos β＋sin αsin β)=－1，cos(α－β)=－.  4.答案为：C.解析：cos(－15°)=cos(30°－45°)=cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°=.  5.B6.答案为：C；解析：∵cos＋sin α=，∴cos αcos ＋sin αsin ＋sin α=，∴cos α＋sin α=，即cos α＋sin α=，∴sin=.∴sin=－sin=－.  7.答案为：A；  8.D.解析：因为sin2 α＋cos 2α=，所以sin2 α＋cos2 α－sin2 α=cos2 α=所以cos α=±.又α∈，所以cos α=，sin α=.tan α=. 9.答案为：C.解析：∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β=sin(α＋β－β)=sin α=0，∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β)=2sin αcos 2β=0.  10.答案为：D.解析：函数f(x)=sin ωx＋cos ωx=2sin(ωx＋)．因为y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，所以函数的周期T=π，所以ω=2，所以f(x)=2sin(2x＋)．令2x＋=＋kπ，k∈Z，解得x=＋，k∈Z，当k=0时，有x=.故选D.  11.答案为：D.解析：由于△ABC为锐角三角形，∴tan A，tan B，tan C均为正数，∴tan C>0，∴tan[180°- (A＋B)]>0，∴tan(A＋B)<0，即<0，而tan A>0，tan B>0，∴1- tan Atan B<0，即tan Atan B>1.  12.C.解析：y=sin 2x＋=＋=sin＋.因为x∈R，所以2x－∈R ，sin∈[－1，1]，所以函数y的值域是.  二 、填空题13.答案为：－；解析：在△ABC中，=－，所以sin2＋cos 2A=sin2＋cos 2A=cos2＋cos 2A=＋2cos2A－1=－.  14.答案为：；解析：由题意，得sin αcos β－cos αsin β=，∴sin(α－β)=.∵0＜β＜α＜，∴cos(α－β)= =.又由cos α=，得sin α=.∴cos β=cos[α－(α－β)]=cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)=×＋×=，∴β=.  15.答案为：－；解析：cos＋sin α=cos α＋sin α＋sin α=cos α＋sin α==sin=.∴sin=，∴sin=－sin=－.  16.答案为：c=a＋b；解析：∴tan =tan[(- α)＋α]==1，∴- =1- ，∴- b=a- c，∴c=a＋b.   三 、解答题17.解：(1)f(x)=cos－2sin xcos x=cos 2x＋sin 2x－sin 2x=sin 2x＋cos 2x=sin，所以T==π.(2)证明：令t=2x＋，因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，因为y=sin t在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)≥sin=－，得证.  18.证明：∵左边=tan －tan =－======右边.∴原等式得证.  19.解：由AB＋BP=PD，得a＋BP=，解得BP=a.设∠APB=α，∠DPC=β，则tan α==，tan β==，所以tan(α＋β)==- 18.又∠APD＋α＋β=π，所以tan∠APD=18.  20.解：(1)∵tan α=，∴=.又sin2α＋cos2α=1.∴sin2α=，cos2α=.∴cos 2α=cos2α－sin2α=－.(2)cos 2α=－，α为锐角⇒<α<⇒sin 2α>0⇒sin 2α=.∵cos(α＋β)=－，α、β均为锐角，<α＋β<π，∴sin(α＋β)=.∴cos(α－β)=cos(2α－(α＋β))=cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)=.∴sin(α－β)=sin(2α－(α＋β))=sin 2αcos(α＋β)－cos 2αsin(α＋β)=－.∴tan(α－β)==－.