全国中考数学压轴题专集(最齐全的试题、最精确的绘图)

全国各地中考数学压轴题专集
索 引

1．北京市 1
2．北京市 1
3．天津市 1
4．天津市 2
5．上海市 2
6．上海市 3
7．重庆市 3
8．重庆市江津区 3
9．重庆市綦江县 4
10．江苏省 4
11．江苏省 4
12．浙江省杭州市 5
13．浙江省台州市 5
14．浙江省温州市 6
15．浙江省湖州市 6
16．浙江省衢州市、舟山市 7
17．浙江省宁波市 7
18．浙江省金华市 7
19．浙江省绍兴市 8
20．浙江省嘉兴市 8
21．浙江省义乌市 8
22．浙江省丽水市 9
23．浙江省丽水市 9
24．浙江省慈溪中学保送生招生考试 10
25．浙江省奉化市保送生招生考试 10
26．河南省 10
27．安徽省 10
28．安徽省芜湖市 11
29．安徽省蚌埠二中高一自主招生考试 11
30．吉林省 11
31．吉林省长春市 11
32．山西省 12
33．山西省太原市 12
34．江西省、江西省南昌市 13
35．江西省、江西省南昌市 13
36．青海省 14
37．青海省西宁市 14
38．新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团 14
39．新疆乌鲁木齐市 14
40．云南省 15
41．云南省昆明市 15
42．陕西省 16
43．陕西省 16
44．河北省 16
45．海南省 17
46．宁夏回族自治区 17
47．西藏自治区 17
48．贵州省贵阳市 18
49．贵州省遵义市 18
50．贵州省安顺市 18
51．贵州省六盘水市盘县特区 19
52．贵州省六盘水市盘县特区 19
53．贵州省毕节地区 19
54．贵州省铜仁地区 20
55．贵州省黔东南州 20
56．贵州省黔西南州 20
57．贵州省黔南州 21
58．甘肃省兰州市 21
59．甘肃省天水市 21
60．甘肃省庆阳市 22
61．甘肃省陇南市 22
62．甘肃省平凉市 22
63．甘肃省张掖市 23
64．甘肃省甘南州 23
65．甘肃省武威、金昌、定西、白银、酒泉、嘉峪关 23
66．内蒙古呼和浩特市 24
67．内蒙古包头市 24
68．内蒙古鄂尔多斯市 25
69．内蒙古锡林郭勒盟通辽市兴安盟呼伦贝尔市 25
70．内蒙古赤峰市 25
71．内蒙古赤峰市 26
72．内蒙古乌兰察布市 26
73．内蒙古巴彦淖尔市 26
74．黑龙江省哈尔滨市 27
75．黑龙江省哈尔滨市 27
76．黑龙江省牡丹江市、鸡西市 28
77．黑龙江省大庆市 28
78．黑龙江省齐齐哈尔市、绥化市 29
79．黑龙江省大兴安岭地区 29
80．黑龙江省双鸭山市、黑河市 29
81．黑龙江省佳木斯市、伊春市 30
82．辽宁省沈阳市 30
83．辽宁省大连市 30
84．辽宁省大连市 31
85．辽宁省大连市 31
86．辽宁省大连市试测（一） 31
87．辽宁省大连市试测（一） 32
88．辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试 32
89．辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试 32
90．辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试 33
91．辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试 33
92．辽宁省十二市、丹东市 33
93．辽宁省十二市、丹东市 33
94．辽宁省阜新市 34
95．辽宁省葫芦岛市 34
96．辽宁省本溪市 35
97．辽宁省锦州市 35
98．辽宁省锦州市 35
99．辽宁省抚顺市 36
100．辽宁省营口市 36
101．辽宁省朝阳市 36
102．辽宁省朝阳市 37
103．辽宁省辽阳市 37
104．辽宁省铁岭市 37
105．山东省中招、日照市、东营市中考 38
106．山东省济南市 38
107．山东省济南市 38
108．山东省青岛市 39
109．山东省德州市（德城） 39
110．山东省烟台市 39
111．山东省烟台市 39
112．山东省枣庄市 40
113．山东省枣庄市 40
114．山东省威海市 40
115．山东省威海市 41
116．山东省淄博市 41
117．山东省淄博市 42
118．山东省潍坊市 42
119．山东省潍坊市 42
120．山东省滨州市 43
121．山东省菏泽市 43
122．山东省莱芜市 43
123．山东省泰安市 44
124．山东省济宁市 44
125．山东省聊城市 44
126．山东省临沂市 44
127．广东省 45
128．广东省广州市 45
129．广东省深圳市 46
130．广东省深圳市 46
131．广东省深圳市 46
132．广东省珠海市 47
133．广东省佛山市 47
134．广东省茂名市 47
135．广东省湛江市 48
136．广东省肇庆市 48
137．广东省清远市 48
138．广东省梅州市 48
139．广东省梅州市 49
140．广东省高州市学科竞赛暨重点中学提前招生考试 49
141．广西南宁市 49
142．广西桂林市、百色市 49
143．广西柳州市 50
144．广西梧州市 50
145．广西贺州市 50
146．广西钦州市 51
147．广西贵港市 51
148．广西玉林市、防城港市 52
149．广西来宾市 52
150．广西河池市 52
151．广西崇左市 53
152．广西北海市 53
153．湖南省长沙市 53
154．湖南省岳阳市 54
155．湖南省衡阳市 54
156．湖南省益阳市 54
157．湖南省邵阳市 55
158．湖南省张家界市 55
159．湖南省株洲市 56
160．湖南省郴州市 56
161．湖南省永州市 57
162．湖南省湘潭市 57
163．湖南省常德市 57
164．湖南省怀化市 58
165．湖南省娄底市 58
166．湖南省冷水江市 58
167．湖南省湘西自治州 59
168．湖北省武汉市 59
169．湖北省武汉市 59
170．湖北省武汉市新洲区 59
171．湖北省武汉市新洲区 60
172．湖北省黄冈市 60
173．湖北省黄石市 61
174．湖北省荆州市 61
175．湖北省荆门市 61
176．湖北省宜昌市 62
177．湖北省宜昌市 62
178．湖北省襄樊市 62
179．湖北省咸宁市 63
180．湖北省十堰市 63
181．湖北省鄂州市 63
182．湖北省鄂州市 64
183．湖北省随州市 64
184．湖北省随州市 64
185．湖北省孝感市 65
186．湖北省恩施自治州 65
187．湖北省仙桃市、天门市、潜江市、江汉油田 66
188．湖北省仙桃市、天门市、潜江市、江汉油田 66
189．四川省成都市 66
190．四川省成都市 67
191．四川省自贡市 67
192．四川省绵阳市 68
193．四川省德阳市 68
194．四川省资阳市 68
195．四川省广安市 69
196．四川省雅安市 69
197．四川省乐山市 69
198．四川省乐山市 70
199．四川省眉山市 70
200．四川省泸州市 70
201．四川省达州市 71
202．四川省凉山州 71
203．四川省攀枝花市 71
204．四川省宜宾市 72
205．四川省遂宁市 72
206．四川省遂宁市 73
207．四川省内江市 73
208．四川省巴中市 73
209．四川省南充市 74
210．福建省福州市 74
211．福建省福州市初中毕业班质量检查 74
212．福建省漳州市 75
213．福建省漳州市初中毕业班质量检查 75
214．福建省漳州双语实验学校高中阶段自主招生 76
215．福建省泉州市 76
216．福建省泉州市初中毕业班质量检查 76
217．福建省厦门市 76
218．福建省厦门市初中毕业班质量检查 77
219．福建省南平市 77
220．福建省南平市初中毕业班质量检查 77
221．福建省龙岩市 78
222．福建省龙岩市初中毕业班质量检查 78
223．福建省莆田市 78
224．福建省莆田市初中毕业班质量检查 79
225．福建省莆田市初中毕业班质量检查 79
226．福建省三明市 79
227．福建省三明市初中毕业班质量检查 80
228．福建省三明市初中毕业班质量检查 80
229．福建省宁德市 80
230．福建省宁德市中考网上阅卷模拟考试 81
231．福建省宁德市初中毕业班质量检查 81
232．福建省宁德市初中毕业班质量检查 81



全国各地中考数学压轴题专集

1．（北京市）在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）．
（1）在图1中画图探究：
①当P1为射线CD上任意一点（P1不与C点重合）时，连结EP1，将线段EP1绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1，判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明；
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2，判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．
（2）若AD＝6，tanB＝，AE＝1，在①的条件下，设CP1＝x，S△P1FG1＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
A
D
B
C
E
F
图1
A
D
B
C
E
F
图2（备用）










2．（北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－6，0)，B(6，0)，
C(0，)，延长AC到点D，使CD＝AC，过D点作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为轴上一点，点P从直线y＝kx＋b与轴的交点出发，先沿轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）
1
1
A
B


O
C
E
D









A
B
O


3．（天津市）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；



A
B
O


（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′＝x，OC＝y，试写出y关于x的函数解析式，并确定的取值范围；








（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′′，且使B′′D∥OB，求此时点C的坐标．
A
B
O











4．（天津市）已知函数y1＝x，y2＝x 2＋bx＋c，α，β为方程y1－y2＝0的两个根，点M(1，T)在函数y2的图象上．
（Ⅰ）若α＝，β＝，求函数y2的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为时，求t的值；
（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，当0＜t＜1时，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．

5．（上海市）在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．
C
M
O
x
y
1
3
4

A
1
B
D
y＝x＋b
2










6．（上海市）已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足＝（如图1所示）．
（1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；
（2）在图1中，联结AP．当AD＝，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，＝y，其中表示△APQ的面积，表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD ＜ AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．
D
A
P
C
B
(Q)
）
图2
图3
C
A
D
P
B
Q
图1
A
D
C
B
Q
P









7．（重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在轴的正半轴上，OC在轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
A
D
B
C
E
O
x
y











8．（重庆市江津区）如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
O
B
A
C
y
x











9．（重庆市綦江县）如图，已知抛物线y＝a(x－1)2＋(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
D
C
M
y
O
A
B
Q
P
x
（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．









2
3
1
-1
1
2
-1
-2
x
y
O
A
y＝x 2－2x－1
10．（江苏省）如图，已知二次函数y＝x 2－2x－1的图象的顶点为A，二次函数y＝ax 2＋bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y＝x 2－2x－1的图象的对称轴上．
（1）求点A与点C的坐标；
（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y＝ax 2＋bx的关系式．






11．（江苏省）如图，已知射线DE与x轴和轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4），动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；
（2）以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．
① 当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值A
D
C
M
B
P
E
y
x
O
范围；
② 当△PAB为等腰三角形时，求t的值．










12．（浙江省杭州市）已知平行于x轴的直线y＝a(a≠0)与函数y＝x和函数y＝的图象分别交于点A和点B，又有定点P(2，0)．
（1）若a＞0，且tan∠POB＝，求线段AB的长；
（2）在过A，B两点且顶点在直线y＝x上的抛物线中，已知线段AB＝，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；
（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到y＝x 2的图象，求点P到直线AB的距离．
O

y

x

1
P（2，0）
y＝
3
2
1
4
-1
-2
-1
-2
y＝x
















13．（浙江省台州市）如图，已知直线y＝－x＋1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．
（1）请直接写出点C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积．



O
A
B
C
D
E











14．（浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，点A（，0），B（，2），C（0，2）．动点D以每秒1个单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF⊥AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．
A
B
F
E
x
y
C
D
O
（1）求∠ABC的度数；
（2）当t为何值时，AB∥DF；
（3）设四边形AEFD的面积为S．
①求S关于t的函数关系式；
②若一抛物线y＝－x 2＋mx经过动点E，当S＜2时，
求m的取值范围（写出答案即可）．

15．（浙江省湖州市）已知：抛物线y＝x 2－2x＋a（a ＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y＝x－a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．
（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（ ， ），N（ ， ）；
（2）如图，将△NAC沿轴翻折，若点N的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
（3）在抛物线y＝x 2－2x＋a（a ＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．

N ′
C
N
x
O
A
M
B
y
D
C
N
x
O
A
M
B
y
备用图










16．（浙江省衢州市、舟山市）如图，已知点A（－4，8）和点B（2，n）在抛物线y＝ax 2上．
（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ＋QB最短，求出点Q的坐标；
（2）平移抛物线y＝ax 2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（－2，0）和点D（－4，0）是x轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C＋CB ′最短，求此时抛物线的函数解析式；

y

O

A

2

4

6

8

-2
-4
-2
-4
2

4

x

B

C

D

② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．








x
O
B
y
B′
A′
C′
A
C
P
Q
图1
α
17．（浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．
（1）四边形OABC的形状是_______________，
当α ＝90°时，的值是____________；
（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求的值；
②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求ΔOPB′的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0＜α ≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP＝BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
x
O
B
y
B′(Q)
A′
C′
A
C
P
图3
x
O
B
y
B′
A′
C′
A
C
P
Q
图2
x
O
B
y
A
备用图
C










18．（浙江省金华市）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）．
（1）当t ＝4时，求直线AB的解析式；
（2）当t＞0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
（3）是否存在点B，使△ABD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．

y
O
A
x
备用图
M
y
O
C
A
B
x
D








19．（浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，若F1：y＝x 2，经过变换后，得到F2：y＝x 2＋bx，点C的坐标为（2，0），则
①b的值等于__________；
②四边形ABCD为（ ）；
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图2，若F1：y＝ax 2＋c，经过变换后，点B的坐标为（2，c－1），求△ABD的面积；
B
D
C
y
x
F1
F2
B
D
C
O
y
x
F1
F2
A
B
D
C
O
y
x
F1
F2
A
P
（图1）
（图2）
（图3）
O(A)
（3）如图3，若F1：y＝x 2－x＋，经过变换后，AC＝，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．












20．（浙江省嘉兴市）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x．
C
A
B
N
M
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？



21．（浙江省义乌市）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y＝x＋1图像的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数y＝x＋1，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数y＝（k＞0），它的图像的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数的解析式；
A
第(1)题图
第(2)题图
第(3)题图
(3,4)
D
C
B
y＝x＋1




O
O
-2
-1
0
1
2
3
1
2
3
4


（3）若某函数是二次函数y＝ax 2＋c（≠0），它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标__________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？__________．（本小题只需直接写出答案）









22．（浙江省丽水市）如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．
（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；
（3）若过A，D，C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．
B
A
C
D





23．（浙江省丽水市）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：菱形ABCD的边长是________、面积是________、高BE的长是________；
（2）探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位，当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
O
A
C
B
E
D


②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t＝4秒时的情形，并求出k的值．







24．（浙江省慈溪中学保送生招生考试）已知：抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过点（－1，1），且对于任意的实数x，有4x－4≤ax 2＋bx＋c≤2x 2－4x＋4恒成立．
（1）求4a＋2b＋c的值．
（2）求y＝ax 2＋bx＋c的解析式．
（3）设点M（x，y）是抛物线上任一点，点B（0，2），求线段MB的长度的最小值．

25．（浙江省奉化市保送生考试）如图，射线OA⊥射线OB，半径r＝2cm的动圆M与OB相切于点Q（圆M与OA没有公共点），P是OA上的动点，且PM＝3cm，设OP＝xcm，OQ＝ycm．
（1）求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围．
（2）当△MOP为等腰三角形时，求相应的x的值．
（3）是否存在大于2的实数x，使△MQO∽△OMP？若存在，求相应x的值，若不存在，请说明理由．
O
P
A
Q
M
B







26．（河南省）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax 2＋bx过A、C两点．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
① 过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？


O
A
D
B
C
E
F
P
G
Q
② 连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．










27．（安徽省）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．
金额w（元）
O
批发量n（kg）
300
200
100
20
40
60
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
O
60
20
4
批发单价（元）
5
批发量（kg）
①
②
图（1）
【解】








（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量n（kg）之间的
O
6
2
40
日最高销量（kg）
80
零售价（元）
图（2）
4
8
（6，80）
（7，40）
函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什
么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
【解】
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函
数关系如图（2）所示．该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，
且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，
使得当日获得的利润最大．
【解】

-1
A
O
B
x
y
3
2
1
B′
A′
1
2
-1
28．（安徽省芜湖市）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（－1，0），B（0，），O（0，0），将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O．
（1）如图，一抛物线经过点A、B、B′，求该抛物线解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB′ 的
面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值．






29．（安徽省蚌埠二中高一自主招生考试）已知关于x的方程(m 2－1)x 2－3(3m－1)x＋18＝0有两个正整数根（m是整数），△ABC的三边a、b、c满足c＝，m 2＋a 2m－8a＝0，m 2＋b2m－8b＝0．
求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．

30．（吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B＝60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题：
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是__________秒；
（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是__________秒；
（3）求y与x之间的函数关系式．

D
B
A
Q
C
P







31．（吉林省长春市）如图，直线y＝－x＋6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y＝x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标；
（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式；
（3）求（2）中S的最大值；
（4）当t＞0时，直接写出点（4，）在正方形PQMN内部时t的取值范围．

A
E
P
C
Q
M
N
D
O
B
x
y









32．（山西省）如图，已知直线l1：y＝x＋与直线l2：y＝－2x＋16相交于点C，l1、l2分别交轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在轴上，且点G与点B重合．
（1）求△ABC的面积；
（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；
（3）若矩形DEFG从原地出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（4）S是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值及相应的t值，若不存在，请说明理由．
A
B
O
y
x
F
E
D
(G)
l1
l2
C







33．（山西省太原市）
E
D
C
B
N
A
MC
F
图（1）
问题解决
如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与
点C，D重合），压平后得到折痕MN．当＝时，求的值．
为了求得的值，可先求BN、AM的长，不妨设AM＝2．

方法指导：



类比归纳
在图（1）中，若＝，则的值等于___________；若＝，则的值等于___________；若＝（n为整数），则的值等于___________．（用含的式子表示）
联系拓广
如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设＝（m＞1），＝，则的值等于_______________．（用含m，n的式子表示）
图（2）
C
E
D
F
MC
A
B
N








34．（江西省、江西省南昌市）如图，抛物线y＝－x 2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
x
y
D
C
A
O
B
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．











35．（江西省、江西省南昌市）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP＝x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
F
E
A
D
B
C
图2
N
P
M
F
E
A
D
B
C
图3
M
P
N
F
E
A
D
B
C
图1





F
E
A
D
B
C
图5(备用)
F
E
A
D
B
C
图4(备用)





36．（青海省）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，－3），直线＝－x与BC边相交于D点．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y＝ax 2－x经过点A，试确定此抛物线的表达式；
6
y

x

O

C

D

B

-3
＝－x
A

（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．









37．（青海省西宁市）已知OABC是一张矩形纸片，AB＝6．
（1）如图1，在AB上取一点M，使得△CBM与△CB′′M关于CM所在直线对称，点B′′恰好在边OA上，且△OB′C的面积为24cm2，求BC的长；
（2）如图2．以O为原点，OA、OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．求对称轴CM所在直线的函数关系式；
C
B
O
A
M
图2
x
y
G
B′′
C
B
O
A
M
图1
B′′
（3）作B′G∥AB交CM于点G，若抛物线y＝x 2＋m过点G，求这条抛物线所对应的函数关系式．








38．（新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团）某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程（单位：千米）与所用时间（单位：小时）的函数图象。已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐市早1小时。
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
0
50
100
150
x（小时）
y（千米）
（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程（千米）
与所用时间（小时）的函数图象。
（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）
（3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程。




39．（新疆乌鲁木齐市）如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN＝90°？若存在，请直接写出点P的坐标．
C(0,2)
A(4,0)
x
y
O
D
P
B









40．（云南省）已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A（3，0），C（0，4），点D的坐标为D（－5，0），点P是直线AC上的一动点，直线DP与轴交于点M．问：
（1）当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP的函数解析式；
（2）当点P沿直线AC移动时，是否存在使△DOM与△ABC相似的点M，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R（R＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P．若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E，F．请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S，若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．
注：第（3）问请用备用图解答．
备用图














41．（云南省昆明市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A坐标为（6，0），点B坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA边上运动，从O点出发到A点；动点N在AB边上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也就随即停止，设两点的运动时间为t（秒）．
（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？
（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（3）连接CA，那么是否存在这样的t值，使MN与AC互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．
C
B
A
M
O
N
x
y






42．（陕西省）如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是（－1，2）．
y
O
B
A
x
1
1
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP ＝S△ABO．




43．（陕西省）
问题探究
（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由．
（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由．
问题解决
（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB＝∠CP′D＝60°．请你在图③中画出符合要求的点P和P′，并求出△APB的面积（结果保留根号）．
A
B
A
B
C
D
D
C
①
②
③
A
B
C
D







44．（河北省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t＝2时，AP＝_________，点Q到AC的距离是_________；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
A
C
B
P
Q
E
D
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．




45．（海南省）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①当t＝时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
图1
B
C
O
(A)
D
E
M
y
x
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
图2
B
C
O
D
E
M
y
x
A
N
P











46．（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．
（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
C
P
Q
B
A
M
N











47．（西藏自治区）如图，正方形ABCD的边长为3，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG＝BC，B、E、C、G在同一直线上。
（1）若BE＝1，求DH的长。
（2）当点E在BC边上什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求出该三角形面积的最小值。


A
C
H
E
F
3
B
3
G
D









48．（贵州省贵阳市）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
(3)能围成面积比63m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．
C
D
A
B
10m






49．（贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)经过C、D、B三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积；
-3
B

A

x

y

O

2

-1
-1
1
2
3
4
5
-2
1

3

4

5

（3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．










50．（贵州省安顺市）如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．
B
A
E
O
D
x
y








51．（贵州省六盘水市盘县特区）如图1，已知双曲线y＝（＞0）与直线y＝k′ x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题：
（1）若点A的坐标为（4，2）则点B的坐标为_____________；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为_____________；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y＝（＞0）于P，Q两点，点P在第一象限．
①说明四边形APBQ一定是平行四边形；
②设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．
A
B
O
x
y
图1
A
B
P
Q
O
x
y
图2











52．（贵州省六盘水市盘县特区）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
图2（备用图）
y
B
x
A
O
图1
y
B
P
x
D
A
O
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．












53．（贵州省毕节地区）如图1，已知抛物线y＝ax 2－2ax－3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D(2，－3)，且tan∠BAD＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结CD，求证：AD⊥CD；
（3）如图2，P是线段AD上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（4）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

O
A
x
B
y
D
备用图
O
A
x
B
y
D
E
P
图2
O
A
x
B
y
D
C
图1












54．（贵州省铜仁地区）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，边AB在x轴上，且AB＝6，D（0，9），以点C为顶点的抛物线经过A、B两点，直线l过点C，交y轴于点E（0，12）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点C沿直线l向上移动，当抛物线经过D点时，求抛物线的解析式和A、C两点间的抛物线弧扫过的面积；
（3）P是线段BD上的动点，连结CP，B，D两点到直线CP的距离之和是否存在最大值？若存在，请求出其最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．


A
C
B
x
D
O
y
E
l











55．（贵州省黔东南州）已知二次函数y＝x 2＋ax＋a－2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设a ＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

56．（贵州省黔西南州）如图，二次函数y＝x 2＋bx＋c（c≠0）的图象经过点A(－2，m)(m＜0)，与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），AB∥x轴，且AB : OB＝2 : 3．
B
C
D
O
A
x
y
（1）求m的值；
（2）求二次函数的解析式；
（3）在线段BC上是否存在点P，使△POC为等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



57．（贵州省黔南州）如图，已知抛物线与x轴交于A(－4，0)、B(2，0)两点，与y轴交于点C(0，－4)，矩形DEFG的一条边DG在线段AB上，顶点E、F分别在线段AC、BC上．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并写出m的取值范围；
C
A
B
O
D
x
y
E
F
G
（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接GE并延长至点M，使ME＝k·GE，若点M不在抛物线上，求k的取值范围．











58．（甘肃省兰州市）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．
（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
A
B
C
D
P
Q
O
x
y
O
x
t
11
1
图①
图②
10












59．（甘肃省天水市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a＞0）的图象顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（3）如图2，若点G（2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时P点的坐标和△AGP的最大面积．
O
图2
B
A
y
x
C
D
G
O
图1
B
A
y
x
C
D









60．（甘肃省庆阳市）如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（－1，0），点B在抛物线y＝ax 2＋ax－2上．
（1）点A的坐标为_____________，点B的坐标为_____________；
（2）抛物线的关系式为________________________；
（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
O
y
x
A
B
C
D
B′
C ′
（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C′ 的位置．请判断点B ′、C ′ 、是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．








61．（甘肃省陇南市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)，⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求阴影部分的面积；
y
O
x
A
B
P
M
Q
C
（3）在x轴的正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ＝k，△CPQ的面积为S，求S关于k的函数关系式，并求出S的最大值．















62．（甘肃省平凉市）如图，在平面直角坐标系中，半圆M的圆心M在x轴上，半圆M交x轴于A（－1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，弦AC的垂直平分线交y轴于点D，连接AD并延长交半圆M于点E．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）求证：AC＝CE；
（3）若P为x轴负半轴上的一点，且OP＝AE，是否存在过点P的直线，使该直线与（1）中所得的抛物线的两个交点到y轴的距离相等？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在．请说明理由．
M
O
A
C
B
x
E
D
y









63．（甘肃省张掖市）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P是线段OA上的一个动点（不与O，A重合），过点P作PQ⊥x轴于Q，以PQ为边向右作正方形PQMN．连接AN并延长交x轴于点B，连接ON．设OQ＝t．
（1）求证：OQ＝QM；
（2）求线段BM的长（用含t的代数式表示）；
（3）△BMN与△MON能否相似？若能，求出此时△BMN的面积；若不能，请说明理由．
B
M
Q
O
P
N
A
y
x







64．（甘肃省甘南州）如图所示，在直角坐标系中，⊙P经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（－6，0）、B（0，－8）两点，两点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）有一开口向下的抛物线过B点，它的对称轴平行于y轴且经过点P，顶点C在⊙P上，求该抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S△QDE ＝S△ABC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
B
C
D
E
x
y
P
O
A









65．（甘肃省武威、金昌、定西、白银、酒泉、嘉峪关）如图1，抛物线y＝x 2－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）．（图2、图3为解答备用图）
（1）k＝_____________，点A的坐标为_____________，点B的坐标为_____________；
（2）设抛物线y＝x 2－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线y＝x 2－2x＋k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．
y
x
B
A
O
C
图2
y
x
B
A
O
C
图1
y
x
B
A
O
C
图3









66．(内蒙古呼和浩特市)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．
（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
P
A
D
O
B
C
Q
（2）当t为何值时，PQ与⊙O相切？







67．（内蒙古包头市）已知二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2），直线x＝m（m＞2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x＝m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．
y
x
O







68．（内蒙古鄂尔多斯市）已知：t1，t2是方程t 2＋2t－24＝0，的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y＝x 2＋bx＋c的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
B
A
O
Q
P
x
y
（3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．









69．（内蒙古锡林郭勒盟通辽市兴安盟呼伦贝尔市）如图，矩形OABC的对角线OB在x轴上，点C的坐标为(4，3)，将矩形OABC翻折，使点B与坐标原点O重合，点C落在点D处．
（1）求点B和点D的坐标；
（2）一条抛物线经过原点O，顶点为D，求该抛物线的解析式；
C(4，3)
A
O
B
x
y
D
（3）在（2）中的抛物线OD段上是否存在点P，使得四边形POBD的面积最大？若存在，求出其最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．








70．（内蒙古赤峰市）如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA＝，tan∠AOC＝，点B的坐标为（m，－2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
A
B
O
D
C
x
y
（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．








71．（内蒙古赤峰市）如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，），B（－，），C（1，0），∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上；
（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

B
A
O
x
y
C
B′
D









72．（内蒙古乌兰察布市）如图1，直线y＝x－1与抛物线y＝－x 2交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求线段AB的长；
（2）若以AB为直径的圆与直线x＝m有公共点，求m的取值范围；
（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n＞0），抛物线与x轴交于P，Q两点，过C，P，Q三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n的值，若不存在，请说明理由．
C
P
y
O
x
Q
图2
A
C
y
O
x
B
图1












73．（内蒙古巴彦淖尔市）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)、B(7，0)，与y轴交于点C，且OC的长为7．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若过点C的直线y＝kx＋b与抛物线相交于点E(5，m)，求直线CE的表达式；
（3）求△CBE的面积S的值；
（4）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由．
A
C
B
O
1
E
－1
y
x












74．（黑龙江省哈尔滨市）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．
（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC＝AD；
（2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________；
A
B
C
E
D
F
G
A
B
C
E
D
F
G
M
N
P
Q
图1
图2
图3
A
B
C
D
E
F
G
（3）在（2）的条件下，若AG＝，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝，求线段PQ的长．








75．（黑龙江省哈尔滨市）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
A
B
C
M
H
O
x
y
A
B
C
M
H
O
x
y
图1
图2
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．







A
B
C
M
H
O
x
y
A
B
C
M
H
O
x
y
备用图
备用图











76．（黑龙江省牡丹江市、鸡西市）如图，□ABCD在平面直角坐标系中，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x 2－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OB．
（1）求sin∠ABC的值．
（2）若E为x轴上的点，且S△AOE ＝，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
x
y
A
D
B
O
C









77．（黑龙江省大庆市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在y轴负半轴上，CD交x轴正半轴于E，DA交y轴正半轴于F，OF＝1，抛物线y＝ax 2＋bx－4经过点B、E，且与直线AB只有一个公共点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若P是抛物线上的一点，使得锐角∠PBF＜∠ABF，求点P的横坐标xp的取值范围；
（3）过点C作x轴的垂线，交直线AD于点M，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段AM总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
y
A
B
C
D
E
F
O
x












78．（黑龙江省齐齐哈尔市、绥化市）直线＝与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当S＝时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
x
A
O
Q
P
B
y










79．（黑龙江省大兴安岭地区）直线＝（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是方程＝0的两根（OA＞OB）．动点P从O点出发，沿路线O→B→A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点P的运动时间为t(秒)，△OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（3）当S＝12时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
x
A
O
P
B
y










80．（黑龙江省双鸭山市、黑河市）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x－12分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴上，且△ABC∽△AOB．
（1）求点C的坐标；
（2）若点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向B运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CA向A运动，连结PQ．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
A
B
O
y
C
x








B
A
O
D
E
x
y
C
81．（黑龙江省佳木斯市、伊春市）如图，点A、B坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE＝2OC．设OE＝t（t＞0），矩形OEDC与△AOB重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题：
（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；
（2）当t＝4时，求S的值；
（3）直接写出S与t的函数关系式；（不必写出解题过程）
（4）若＝12，则t＝__________．







82．（辽宁省沈阳市）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点。Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，点A的坐标为(2，0)，点B在第一象限内，且OB＝，∠OBA＝90º。以边OB所在直线折叠Rt△OAB，使点A落在点C处。
（1）求证：△OAC为等边三角形；
（2）点D在x轴的正半轴上，且点D的坐标为(4，0)。点P为线段OC上一动点（点P不与点O重合），连接PA、PD。设PC＝x，△PAD的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
O
A
D
C
P
M
B
1
1
y
x
（3）在（2）的条件下，当x＝时，过点A作AM⊥PD于点M，若k＝，求证：二次函数y＝－2x 2－(7k－)x＋k的图象关于y轴对称。








P
Q
E
D
C
B
A
83．（辽宁省大连市）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝3cm，点E在边DC上，且DE＝4cm．动点P从点A开始沿着A→B→C→E的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动．若点P、Q同时从点A出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm2）．
（1）求S与t的函数关系式；
（2）当S＝10时，求t的值．

84．（辽宁省大连市）如图1，在△ABC和△PQD中，AC＝kBC，DP＝kDQ，∠C＝∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连结EQ交PC于点H．
猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想．
说明：如果你经历反复探索，没有解决问题，可以从下面①、②中选取一个作为已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得6分．
①AC＝BC，DP＝DQ，∠C＝∠PDQ（如图2）；
Q(H)
A
B(P)
A
D
D
E
E
C
C
H
Q
B
P
A
E
C
P
Q
H
D
B
图1
图2
图3
②在①的条件下且点P与点B重合（如图3）．








y
x
O
P
D
C
B
A
F
F ′
85．（辽宁省大连市）如图，抛物线F：y＝ax 2＋bx＋c的顶点为P，抛物线F与轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F ′：y＝a′x 2＋b′x＋c′，抛物线F ′ 与x轴的另一个交点为C．
（1）当a＝1，b＝－2，c＝3时，求点C的坐标（直接写出答案）；
（2）若a、b、c满足b 2＝2ac
①求b : 的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．







86．（辽宁省大连市试测（一））如图1，平移抛物线F1：y＝x 2后得到抛物线F2．已知抛物线F2经过抛物线F1的顶点M和点A（2，0），且对称轴与抛物线F1交于点B，设抛物线F2的顶点为N．
（1）探究四边形ABMN的形状及面积（直接写出结论）；
（2）若将已知条件中的“抛物线F1：y＝x 2”改为“抛物线F1：y＝ax 2”（如图2），“点A（2，0）”改为“点A（m，0）”，其它条件不变，探究四边形ABMN的形状及其面积，并说明理由；
（3）若将已知条件中的“抛物线F1：y＝x 2”改为“抛物线F1：y＝ax 2＋c”（如图3），“点A（2，0）”改为“点A（m，c）”其它条件不变，求直线AB与轴的交点C的坐标（直接写出结论）．
N
A
B
图2
y
x
O
(M)
F1
P
F2
N
A
B
图1
y
x
O
(M)
F1
F2
N
A
B
图3
y
x
O
F1
P
F2
M
C








87．（辽宁省大连市试测（一））如图1，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC＝k·AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．
（1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明．
说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以从下面①、②中选取一个作为已知条件，再完成你的证明，选取①比选原题少得2分，选取②比选原题少得5分．
① 如图2，k＝1；② 如图3，AB＝AC．
（2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后∠ANB与∠BAE的关系．
A
B
C
E
M
D
N
图1
图2
图3
A
A
B
C
N
D
M
E
B
C
D
E
N
M








88．（辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试）如图，抛物线的顶点为P（1，0），一条直线与抛物线相交于A（2，1），B（－，m）两点．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
A
B
P
O
x
y
（2）若M为线段AB上的动点，过M作MN∥轴，交抛物线于点N，连接NP、AP，试探究四边形MNPA能否为梯形，若能，求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由．










89．（辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试）甲、乙两辆货车分别从M、N两地出发，沿同一条公路相向而行，当到达对方的出发地后立即装卸货物，5分钟后再按原路以原速度返回各自的出发地，已知M、N两地相距100千米，甲车比乙车早5分钟出发，甲车出发10分钟时两车都行驶了10千米，下图表示甲乙两车离各自出发地的路程（千米）与甲车出发时间x（分）的函数图象．
（1）甲车从M地出发后，经过多长时间甲乙两车第一次相遇？
A
B
O
x(分)
100
G
C
D
E
F
y(千米)
10
10
5
（2）乙车从M地出发后，经过多长时间
甲乙两车与各自出发地的距离相等？






90．（辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试）已知AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE＝α．
（1）若α＝60°（如图1）探究线段AD与CE的数量关系，并加以证明；
（2）若α＝120°，并且点D在线段AB上，（如图2）则线段AD与CE的数量关系为__________________
（直接写出答案）；
（3）探究线段AD与CE的数量关系（如图3），并加以证明．
A
B
C
D
E
E
C
B
D
A
A
B
C
D
E
图1
图2
图3










91．（辽宁省大连市试测（二）暨市内四区毕业考试）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E为BC边上的动点（点E与点B、C不重合），设BE＝x．
操作：在射线BC上取一点F，使得EF＝BE，以点F为直角顶点、EF为边作等腰直角三角形EFG，设△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．
（1）求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）S是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值，若不存在，请说明理由．
A
B
C
D
E






92．（辽宁省十二市、丹东市）有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连结BD、MF，若此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；
（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少？
C
D
M
A
B
F
E
图1
D
M
A
B
F
图3
N
F2
P
A2
M2
D
M
A
B
F
D1
图2
B1
K








93．（辽宁省十二市、丹东市）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax 2－x＋3（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x＝－2．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W＝t·S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
y
x
O
C
B
A
D
图1
y
x
O
C
B
A
D
图2
（参考资料：抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝）









94．（辽宁省阜新市）如图，⊙M与x轴相切于点A（，0），⊙M交y轴正半轴于B，C两点，且BC＝4．
（1）求⊙M的半径；
（2）求证：四边形ACBM为菱形；
y
B
C
M
O
AO
x
（3）若抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过O，A两点，且开口向下，当它的顶点不在直线AB的上方时，求a的取值范围．









95．（辽宁省葫芦岛市）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，⊙P经过点A、点B（圆心P在x轴负半轴上），已知AB＝10，AP＝．
（1）求点P到直线AB的距离；
（2）求直线y＝kx＋b的解析式；
AO
B
O
P
y
x
（3）在⊙P上是否存在点Q，使得以A，P，B，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．







96．（辽宁省本溪市）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）．经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
（3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′ ，请直接写出P′ 点坐标，并判断点P′ 是否在该抛物线上．
O
A
D
E
C
B
P
-1
-3
-2
-1
-2
3
-1
1
2
3
x
y










97．（辽宁省锦州市）如图，直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，AB＝6，BC＝8，直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等，将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动，当点C与点G重合时停止移动．设梯形与正方形重叠部分的面积为S．
（1）求正方形的边长；
（2）设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x，求S与x的函数关系式；
（3）当直角梯形ABCD向右移动时，它与正方形EFGC的重叠部分面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半？若能，请求出此时运动的距离x的值；若不能，请说明理由．
C
B
A
D
E
F
G






98．（辽宁省锦州市）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x 2－2x－8＝0的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
B
A
y
O
P
E
C
x
（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．







99．（辽宁省抚顺市）已知：如图所示，关于x的抛物线y＝ax 2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（－2，0），点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；
B
A
y
O
C
x
（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．






100．（辽宁省营口市）如图，正方形ABCO的边长为，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转后得到正方形A1B1C1O(α＜45º)，B1C1交y轴于点D，且D为B1C1的中点，抛物线y＝ax 2＋bx＋c过点A1、B1、C1．
（1）求tanα的值；
（2）求点A1的坐标，并直接写出点B1、点C1的坐标；
（3）求抛物线的函数表达式及其对称轴；
B
A
y
O
C
x
A1
B1
C1
D
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB1C1为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．









101．（辽宁省朝阳市）如图①，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AD＝2，CD＝4．另有一直角三角形EFG，∠EFG＝90°，点G与点D重合，点E与点A重合，点F在AB上，让△EFG的边EF在AB上，点G在DC上，以每秒1个单位的速度沿着AB方向向右运动，如图②，点F与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）在上述运动过程中，请分别写出当四边形FBCG为正方形和四边形AEGD为平行四边形时相对应时刻t的值或范围；
（2）以点A为原点，以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴，建立如图③所示的坐标系．求过A，D，C三点的抛物线的解析式；
D(G)

C
B
F
A(E)
图①
D
图③
C
B
(A)
F
E
G
O
x
y
D
图②
C
B
A
F
E
G
（3）探究：延长EG交（2）中的抛物线于点Q，是否存在这样的时刻t使得△ABQ的面积与梯形ABCD的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．





102．（辽宁省朝阳市）如图①，点A′ ，B′ 的坐标分别为（2，0）和（0，－4），将△A′ B′ O绕点O按逆时针方向旋转90°后得△ABO，点A′ 的对应点是点A，点B′ 的对应点是点B．
（1）写出A，B两点的坐标，并求出直线AB的解析式；
（2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合）如图②，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E．设点C的坐标为（x，0），△CDE与△ABO重叠部分的面积为S．
ⅰ）试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；
ⅱ）当x为何值时，S的面积最大？最大值是多少？
ⅲ）是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
图①
B′
A′
A
O
B
x
y
图②
A
O
B
x
y
D
C
E









103．（辽宁省辽阳市）如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，A（－3，0），过点C的直线y＝－2x＋4与x轴交于点D，二次函数y＝－x 2＋bx＋c的图象经过B、C两点．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）若点P是CD的中点，求证：AP⊥CD；
（4）在二次函数的图象上是否存在这样的点M，使以A、P、C、M为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
O
C
B
A
P
D
x
y









104．（辽宁省铁岭市）如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，
垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．


2
O
A
B
C
x
y
1
1
3
P
Q







105．（山东省中招、日照市、东营市中考）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG＝CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
F
B
A
D
C
图②
G
E
F
B
A
D
C
E
G
图①
F
B
A
D
C
图③
E








106．（山东省济南市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．
A
D
C
B
M
N
（1）求BC的长．
（2）当MN∥AB时，求t的值．
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．



107．（山东省济南市）已知：抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝－1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（－3，0）、C（0，－2）．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．
A
C
x
y
B
O
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．






108．（山东省青岛市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，CD＝4cm，BC＝BD＝10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PE∥AB？
（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ ＝S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．
A
D
C
F
B
E
Q
P






109（山东省德州市（德城））如图，已知抛物线y＝x 2－1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
A
B
O
P
C
x
y











A
D
E
C
B
G
110．（山东省烟台市）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，且CD＝2AD，tan∠ABC＝2，过点D作DE∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE．
（1）求证：BC＝CD；
（2）将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG.．
求证：CD垂直平分EG．
（3）延长BE交CD于点P．
求证：P是CD的中点．


111．（山东省烟台市）如图，抛物线y＝ax 2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，－3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线y＝－x＋3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；
（4）当E是直线y＝－x＋3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）
O
B
x
A
M
C
1
y
-3











112．（山东省枣庄市）如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．
y
x
O
A
B







113．（山东省枣庄市）如图，在平面直角坐标系中，点C（－3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足：＋|OA－1|＝0．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连结AP，设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
O
x
A
C
y
B







114．（山东省威海市）如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(0，3)，过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求当AD＋CD最小时点D的坐标；
（3）以点A为圆心，以AD为半径作⊙A．
①证明：当AD＋CD最小时，直线BD与⊙A相切．
②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：______________．
O
A
B
C
l
y
x








115．（山东省威海市）一次函数y＝ax＋b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数y＝的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD．
（1）若点A，B在反比例函数y＝的图象的同一分支上，如图1，试证明：
①S四边形AEDK ＝S四边形CFBK ；
②AN＝BM．
O
A(x1,y1)
K
C
y
x
B(x2,y2)
F
D
E
N
M
图1
O
A(x1,y1)
K
C
y
x
B(x3,y3)
F
D
E
N
M
图2
（2）若点A，B分别在反比例函数y＝的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．











116．（山东省淄博市）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是2．O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．一条抛物线经过A点，顶点D是OC的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点，线段FG过点E与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于F，G点，试比较线段OE与EG的长度；
（3）点H是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段IJ过点H与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于I、J点，点K在y轴的正半轴上，且OK＝OH，请证明△OHI≌△JKC．
O
C
y
x
J
H
G
K
B
I
A
F
E
D









117．（山东省淄博市）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x 2cm．
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
Q
B
C
D
N
A
P
M








118．（山东省潍坊市）在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB＝a，DC＝b，BC＝a＋b，且≤．取AD的中点P，连结PB、PC．
（1）试判断三角形PBC的形状；
（2）在线段BC上，是否存在点M，使AM⊥MD．若存在，请求出BM的长；若不存在，请说明理由．
B
C
D
A
P









119．（山东省潍坊市）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y＝ax 2＋bx＋c与y轴交于点D，与直线y＝x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．
（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．
O
x
y
N
C
D
E
F
B
M
A













120．（山东省滨州市）如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝20cm，DC＝30cm，∠ADC＝45°．对于抛物线部分，其顶点为CD的中点O，且过A、B两点，开口终端的连线MN平行且等于DC．
（1）如图①所示，在以点O为原点，直线OC为x轴的坐标系内，点C的坐标为（15，0），试求A、B两点的坐标；
（2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）；
（3）现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为3cm的保护膜，如图②，请在图中补充完整镀膜部分的示意图，并求出镀膜的外围周长．

N
B
C
D
A
M
y
x
图①
O
A
B
C
D
20cm
30cm
45°
图②






121．（山东省菏泽市）如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
O
y
x
A
B
C
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．










122．（山东省莱芜市）如图，在平面直角坐标系中，以点A(－3，0)为圆心、5为半径的圆与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于D、M两点（点D在点M的下方）．
（1）求以直线x＝－3为对称轴、且经过D、C两点的抛物线的解析式；
（2）若点P是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC＋PD的取值范围；
（3）若点E为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点B、C、E、F
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
O
y
x
A
B
C
D
M








123．（山东省泰安市）如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝－x＋m与x轴交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求过A、O、E三点的抛物线解析式；
y
x
B
A
O
E
（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值．







124．（山东省济宁市）在平面直角坐标系中，边长为2的正OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．
（1）求OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
（3）设△MBN的周长为p，在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．
O
C
B
x
y
A
M
N









125．（山东省聊城市）如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为4厘米，QR＝8厘米，AB与QR在同一条直线l上．开始时点Q与点B重合，让△PQR以1厘米/秒速度在直线l上向左匀速运动，直至点R与点A重合为止，t秒时△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积记为S平方厘米．
（1）当t＝3秒时，求S的值．
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（3）写出t为何值时，重叠部分的面积S有最大值，最大值是多少？
A
B
Q
P
R
C
D
l






126．（山东省临沂市）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
B
O
C
y
A
x
4
-2











127．（广东省）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求此时x的值．

M
B
C
N
D
A









128．（广东省广州市）如图，二次函数y＝x 2＋px＋q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，－1)，△ABC的面积为．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M(0，m)作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
O
A
C
x
y
B











129．（广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
A
x
y
B
O











130．（广东省深圳市）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．
（1）连结PA，若PA＝PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
O
A
l
B
y
x
备用图
O
A
P
l
B
y
x












131．（广东省深圳市）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．


A
B
x
y
O
P
D
E
图2
C
A
B
x
y
O
图1
C
A
B
P
x
y
O
D
E
图3
C








132．（广东省珠海市）已知抛物线y＝x 2－mx与x轴相交于点A、B，抛物线的顶点为C．
（1）试用含m的代数式表示AB的长度；
（2）当△ABC为等边三角形时，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，如何平移抛物线，使AC＝AB？

133．（广东省佛山市）如图1，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；
（3）求点B1到最短路径的距离．
图1

备用图









134．（广东省茂名市）已知：如图，直线l：y＝x＋b，经过点M(0，)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…，Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)，…，An+1(xn+1，0)（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）．
（1）求b的值；
（2）求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）
（3）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．
探究：当d（0＜d＜1）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d的值．
…
M
O
B1
B2
B3
Bn
A1
1
A2
3
2
A3
A4
An
An+1
n
l
y
x







135．（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点OA不重合），现将△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直线PE、PF重合．
（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP＝x，AD＝y，当x为何值时，y取得最大值？
（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
图①
P
D
E
C
O
A
B
F
x
y
图②
P
D
C
O
A
B
F
x
y
E
F









O
A
D
E
M
C
B
N
136．（广东省肇庆市）如图，⊙O的直径AB＝2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．设AD＝x，BC＝y．
（1）求证：AM∥BN；
（2）求y关于x的关系式；
（3）求四边形ABCD的面积S，并证明：S ≥2．


137．（广东省清远市）如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，∠B和∠C都为锐角，M为AB上一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h．
（1）请你用含x的代数式表示h．
（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？
B
C
N
M
A







138．（广东省梅州市）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．
（1）当E是CD的中点时：
①tan∠EAB的值为______________；
②证明：FG是⊙O的切线；
F
B
A
D
O
C
E
G
（2）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时的长；
若不能，请说明理由．


O
L
M
A
P
B
x
L1
y
Q
139．（广东省梅州市）如图，已知直线L过点A(0，1)和B(1，0)，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M．
（1）直接写出直线L的解析式；
（2）设OP＝t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；
并求出当0＜t＜2时，S的最大值；
（3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C，
使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，
求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．


140．（广东省高州市学科竞赛暨重点中学提前招生考试）某通信器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系y＝x＋b，其中整数k使式子有意义．经测算，销售单价60元时，年销售量为50000件．
（1）求出这个函数关系式；
（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝－年销售额－年销售产品总进价－年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；
（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图像，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

141．（广西南宁市）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；
（2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？





142．（广西桂林市、百色市）如图，已知直线l：y＝x＋3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）设F是x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F（不写作法和证明，保留作图痕迹）；
（3）设（2）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y与x的函数关系式；
（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线l相切于点B，若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．


B
F
A
O
x
y
l








143．（广西柳州市）如图，已知抛物线y＝ax 2－2ax－b（a＞0）与x轴的一个交点为B(－1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．
（1）直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；
（2）以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
O
x
y
A
B
C
D
②点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．










144．（广西梧州市）如图1，抛物线y＝ax 2－3ax＋b经过A(－1，0)，C(3，－2)两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx＋1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分，求k的值；
B
图2
A
O
D
M
y
x
E
F
G
Q
N
B
y＝kx＋1
图1
A
O
D
C
y
x
（3）如图2，过点E(1，1)作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，作MG⊥x轴于点G，若线段MG : AG＝1 : 2，求点M，N的坐标．









145．（广西贺州市）如图，抛物线y＝－x 2－x＋2的顶点为A，与y轴交于点B．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P是x轴上任意一点，求证：PA－PB≤AB；
（3）当PA－PB最大时，求点P的坐标．

A
O
B
x
y







146．（广西钦州市）如图，已知抛物线y＝x 2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是___________，b＝_______，c＝_______；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
A
C
B
Q
P
O
H
x
y
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．








147．（广西贵港市）如图所示，抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于点A和点B(－2，0)，与y轴的负半轴交于点C，且线段OC的长度是线段OA的长度的2倍，抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若过点(0，－5)且平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，以线段MN为一边，抛物线上与M、N不重合的任意一点P(x，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，请你求出S关于点P的纵坐标y的函数解析式；
（3）当0＜ x ≤时，（2）中平行四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．[注：抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－，)，对称轴为x＝－]
A
O
B
x
y
x＝1
C













148．（广西玉林市、防城港市）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－(x－6)与x轴、y轴分别相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处．
（1）求BD的长．
（2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S△NBD＝S1，S△NOA＝S2，当点N运动到什么位置时，S1·S2的值最大，并求出此时点N的坐标．
A
O
B
x
y
C
N
D
（3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由．













149．（广西来宾市）当x＝2时，抛物线y＝ax 2＋bx＋c取得最小值－1，并且抛物线与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A、B．
（1）求该抛物线的关系式；
（2）若点M(x，y1)，N(x＋1，y2)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；
A
C
B
E
D
O
F
x
y
3
（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．








150．（广西河池市）如图，已知抛物线y＝x 2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为(－1，0)．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．



A
C
x
y
B
O
D
E










151．（广西崇左市）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示；抛物线y＝ax 2＋ax－2经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
y
x
B
A (0，2)
C (-1，0)
O
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．








152．（广西北海市）如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，－)，且在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在y轴上，且使得△PAC的周长最小，求：
①点P的坐标；
②△PAC的周长和面积；
y
x
B
A
O
C
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．








153．（湖南省长沙市）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，连结AC、BC．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
y
O
x
C
N
B
P
M
A
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．









154．（湖南省岳阳市）如图，已知抛物线与x轴交于点A(－1，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C(0，－2)，直线x＝m(m＞1)与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线x＝m(m＞1)上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
y
x
B
A
O
C
x＝m
D
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．











155．（湖南省衡阳市）如图，直线y＝－x＋4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．
（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；
（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移距离为a(0＜ a ＜4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．
A
O
C
x
M
D
B
y







156．（湖南省益阳市）
阅读材料：
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

x
C
O
y
A
B
D
1
1
图2
B
C
铅垂高
水平宽
h
a
图1
A









157．（湖南省邵阳市）如图，直线l的解析式为y＝－x＋4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜ t ≤4）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；
（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2，
①当2＜ t ≤4时，试探究S2与t之间的函数关系式；
②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的？
x
N
O
y
A
B
P
M
m
l
F
P
E
x
N
O
y
A
B
P
M
m
l








158．（湖南省张家界市）在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．
（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．



y
x
O
C
D
B
A
1
－4








159．（湖南省株洲市）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B的坐标为(3，m)(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D．
（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC＋EC)为定值．
y
x
F
A
O
D
B
P
C
E
Q
















160．（湖南省郴州市）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(－2，－1)，且P(－1，－2)为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
A
Q
B
O
P
y
M
图1
x
A
Q
B
O
P
y
M
x
图2
C
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP的面积相等？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．













161．（湖南省永州市）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(－1，0)、(0，)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．
y
x
B
A
F
P
x＝1
C
O
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；
（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．







162．（湖南省湘潭市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q；
（1）当点P在线段AB上运动(不与A、B重合)时，求证：OA·BQ＝AP·BP；
（2）在（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l，求出l关于m的函数解析式，并判断l是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
Q
B
P
A
O
C
x
y
（3）直线AB上是否存在点P，使△POQ为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．










163．（湖南省常德市）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别是BE、CD的中点，易证：CD＝BE，△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD＝BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当把△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB＝2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
N
B
M
A
E
C
D
图1
N
B
M
A
E
C
D
图3
N
B
M
A
E
C
D
图2










164．（湖南省怀化市）如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A(15，0)，B(10，12)，动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向终点C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．
（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；
（2）当t＝2秒时，求梯形OFBC的面积；
F
D
P
A(15，0)
O
C
x
y
B(10，12)
Q
E
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．







165．（湖南省娄底市）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE＝90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE＝4，∠DEF＝∠CBA，AH : AC＝2 : 3．
（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积；
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH ′（如图2）．
探究1：在运动过程中，四边形CDH ′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由；
探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH ′ 重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系式．
G
B
E
A
（D）
C
F
H
图1
D
B
E
A
C
H ′
H
图2
F









166．（湖南省冷水江市）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，），B（－1，0），C（3，0），连结AB，AC．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）若⊙P经过A，B，C三点，求⊙P的半径和圆心P的坐标；
O
x
y
A
CO
BO
（3）在（2）中的⊙P上是否存在点Q，使以B，O，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．








1
2
3
4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
0
y
x
167．（湖南省湘西自治州）在直角坐标系xoy中，抛物线y＝x 2＋bx＋c与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中A在B的左侧，B的坐标是（3，0）．将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C．
（1）求k的值；
（2）求直线BC和抛物线的解析式；
（3）求△ABC的面积；
（4）设抛物线顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，
且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标．





168．（湖北省武汉市）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．
（1）求证：△ABF∽△COE；
（2）当O为AC边中点，＝2时，如图2，求的值；
B
B
A
A
C
O
E
D
D
E
C
O
F
图1
图2
F
（3）当O为AC边中点，＝n时，请直接写出的值．








169．（湖北省武汉市）如图，抛物线y＝ax 2＋bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．
y
x
O
A
B
C












170．（湖北省武汉市新洲区）如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，BC＝nAC，CD⊥AB于点D，点P是AB边上一动点，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E、F．
B
A
C
D
E
F
P
（1）若n＝2，则＝____________；
（2）当n＝3时，连EF、DF，求的值；
（3）当n＝________时，＝（直接写出结果，不需证明）．

171．（湖北省武汉市新洲区）已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴负半轴交于点C，顶点为D．
（1）如图1，当OC＝OB时，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上有一点P，使△ACP绕点P逆时针旋转90°后，点C恰好落在抛物线上，求旋转后△ACP三个顶点的坐标；
（3）若抛物y＝ax 2＋bx＋c与y轴的交点C在y轴负半轴上移动，如图2，则△ACD与△ACB面积之比是否为一定值？若是定值，请求出其值；若不是定值，请说明理由．
O
A
B
x
y
C
D
图2
O
A
B
x
y
C
D
图1











172．（湖北省黄冈市）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝x 2－x－10与x轴的交点为A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连结AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t(单位：秒)
（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当0＜t＜时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
O
A
B
x
y
D
Q
C
F
P
E
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．









173．（湖北省黄石市）正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE＝1，抛物线y＝ax 2＋bx－4过A、D、F三点．
（1）求抛物线的解析式；
A
F
O
E
D
C
y
B
x
（2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若S四边形AFQM ＝S△FQN ，则判断四边形AFQM的形状；
（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得
AP⊥PH且AP＝PH，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．






174．（湖北省荆州市）如图①，已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2 : 1），∠BAD＝120°，对角线均在坐标轴上，抛物线y＝x 2经过AD的中点M．
（1）填空：A点坐标为_____________，D点坐标为_____________；
（2）操作：如图②，固定菱形ABCD，将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转α度角(0°＜α＜90°)，并延长OE交AD于P，延长OH交CD于Q．
探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度α，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出α的值；若不存在，说明理由；
探究2：设AP＝x，四边形OPDQ的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围．
A
P
O
E
D
C
y
B
x
F
H
G
M
Q
α
图②
A
O
E
D
C
y
B
x
F
H
G
M
图①











175．（湖北省荆门市）一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线的顶点为C，且AC⊥BC．
（1）若m为常数，求抛物线的解析式；
（2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎样的平移可以使顶点在坐标原点？
O
A
B
x
y
C
D
（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．





176．（湖北省宜昌市）已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．
（1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）与是否相等？请你说明理由；
（3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，图3供参考）
A
C
B
F
D
M
N
图2
P
OP

A
C
B
F
D
M
N
图3
P
OP
A
C
B
F
D
M
N
图1
P







177．（湖北省宜昌市）已知：直角梯形OABC的四个顶点是O(0，0)，A(，1)，B(s，t)，C(，0)，抛物线y＝x 2＋mx－m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数．
（1）求s与t的值，并在直角坐标系中画出直角梯形OABC；
（2）当抛物线y＝x 2＋mx－m与直角梯形OABC的边AB相交时，求m的取值范围．
y
x
O
1
-1
2
3
4
5
-1
1
2
3











178．（湖北省襄樊市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ＝60°保持不变．设PC＝x，MQ＝y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中：
A
D
C
B
P
M
Q
60°
① 当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；
② 当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．





179．（湖北省咸宁市）如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边长为5的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上．点C、D同时从点O出发，点C以1个单位长/秒的速度向点A运动，点D以2个单位长/秒的速度沿折线OBA运动．设运动时间为t秒，0＜t＜5．
（1）当0＜ t ＜时，证明：CD⊥OA；
（2）若△OCD的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）以点C为中心，将CD所在的直线顺时针旋转60°交AB边于点E，若以O、C、E、D为顶点的四边形是梯形，求点E的坐标．
A
O
B
C
D
x
y
（图①）
A
O
B
x
y
（备用图）








180．（湖北省十堰市）如图①，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
O
C
A
B
x
y
M
（图①）
O
C
A
B
x
y
（图②）
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．












181．（湖北省鄂州市）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6．
（1）求边AD、BC的长．
（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
A
C
B
D
E
O






182．（湖北省鄂州市）如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝|CE－EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．
（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由．
（2）令m＝，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx 2＋bx＋c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式．
A
C
B
F
O
E
G
H
y
M
N
Q
I
x
（4）在（3）的条件下，若抛物线y＝mx 2＋bx＋c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由．









183．（湖北省随州市）如图①，已知△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论．
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
（3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
A
C
B
F
D
E
G
图②

A
C
B
F
D
E
G
图①










184．（湖北省随州市）如图①，在Rt△A′OB′ 中，∠B′A′O＝90°，A′ ，B′ 两点的坐标分别为（2，－1）和（0，－5），将△A′OB′ 绕点O逆时针方向旋转90°，使OB′ 落在x轴正半轴上，得△AOB，点A′ 的对应点是点A，点B′ 的对应点是点B．
（1）写出A，B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
（2）如图②，将△AOB沿垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上，且不与点B重合，点D在线段AB上），使点B落在x轴上，对应点为点E，设点C的坐标为（x，0）．
①当x为何值时，线段DE平分△AOB的面积？
②是否存在这样的点C，使得△AED为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
图①
B′
A′
A
O
B
x
y
③设△CDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S与点C的横坐标x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）．
图②
A
O
B
x
y
D
C
E











185．（湖北省孝感市）如图，点P是双曲线y＝(k1＜0，x＜0)上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y＝(0＜k2＜| k1|)于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S1 ＝_____________（用含k1、k2的式子表示）；
（2）图2中，设P点坐标为(－4，3)．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
图2
A
P
B
F
E
y
O
x
图1
A
P
B
F
E
y
O
x
②记S2 ＝S△PEF－ S△OEF ，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．











186．（湖北省恩施自治州）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．设DE＝x，以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的△A′ DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．
（1）用x表示△ADE的面积；
（2）求出0＜ x ≤5时y与x的函数关系式；
（3）求出5＜ x ＜10时y与x的函数关系式；
（4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
A
C
B
A
C
B
D
E
A′







187．（湖北省仙桃市、天门市、潜江市、江汉油田）如图①，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，连结BD、CE，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝BD，EN＝CE，连结AM、AN、MN，得到图③，请解答下列问题：
（1）若AB＝AC，请探究下列数量关系：
① 在图②中，BD与CE的数量关系是________________；
② 在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若AB＝k·AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．
D
B
C
A

E
图①
D
B
C
A

图④
E

M

N

D
B
C
A

图②
E







D
B
C
A

图③
E

M

N









188．（湖北省仙桃市、天门市、潜江市、江汉油田）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1）求NC、MC的长（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
（3）是否存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？
A

B
C
D
Q
M
N
P










189．（四川省成都市）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结OG．
（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：AE＝BF；
A
C
B
F
D
E
O
G
（3）若OG·DE＝3(2－)，求⊙O的面积．







190．（四川省成都市）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝a(x＋1)2＋c( a＞0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M．若直线MC的函数表达式为y＝kx－3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO＝．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
1
x
y
O
1
（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
















191．（四川省自贡市）已知抛物线y＝ax 2＋4ax－c（a≠0）与y轴正半轴的交点为A，顶点D在x轴上且OD＝2OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是抛物线对称轴上的一点，且△AOP绕点P顺时针旋转90°后，点A落在抛物线上，求旋转后△AOP三个顶点的坐标；
O
A
x
y
D
（3）在抛物线上是否存在点B，使得以AB为直径的圆恰好经过抛物线的顶点D ？若存在，求点B的坐标和该圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．






192．（四川省绵阳市）如图甲，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF＝90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．
（1）若m＝n时，如图乙，求证：EF＝AE；
（2）若m≠n时，如图丙，试问边OB上是否还存在点E，使得EF＝AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若m＝tn（t ＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF＝(t＋1)AE成立？并求出点E的坐标．
F
O
A
x
y
C
E
B
丙
F
O
A
x
y
C
E
B
乙
F
O
A
x
y
C
E
B
甲








193．（四川省德阳市）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，－2)，顶点为D(1，－)．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若E是抛物线上一点，且直线CE将四边形ACDB分成面积的两部分，求直线CE的解析式；
（3）若直线y＝m(－2＜ m ＜0)与线段AC，BC分别相交于M，N两点，在x轴上是否存在点Q，使△DNQ为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
O
A
B
x
y
C
D










194．（四川省资阳市）如图，已知抛物线y＝x 2－2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′ 沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）求点D的坐标；
O
A
B
x
y
C
D
O′
l
P
（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC ＝S△DPB ？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．








195．（四川省广安市）如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x 2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．
y
x
B
D
O
A
E
C











196．（四川省雅安市）如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx－4与直线y＝x交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为－1和4．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若平行于y轴的直线x＝m（0＜m＜＋1）与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）．
A
B
M
P
O
N
x
y
x＝m
y＝x
（3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．













Cc
Dc
Ac
Bc
Qc
Pc
197．（四川省乐山市）如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A＝90°，AD＝6厘米，DC＝4厘米，BC的坡度i＝3 : 4．动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B→C→D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．
（1）求边BC的长；
（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；
（3）连结PQ ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，
求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

198．（四川省乐山市）如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点．若OA、OB（OA＜OB）的长分别是方程x 2－4x＋3＝0的两根，且∠DAB＝45°．
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）过点A作AC⊥AD交抛物线于点C，求点C的坐标；
O
A
B
x
y
C
D
l
P
（3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，点C、D到直线l的距离分别为d1、d2，试求d1＋d2的最大值．










199．（四川省眉山市）如图，已知直线y＝x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝x 2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．
y
x
C
B
A
D
O
E
y










200．（四川省泸州市）如图，已知二次函数y＝－x 2＋bx＋c（c＜0）的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且OC 2＝OA·OB．
（1）求c的值；
（2）若△ABC的面积为3，求该二次函数的解析式；
O
A
B
x
y
C
（3）设D是（2）中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P，使△PBD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．





201．（四川省达州市）如图，抛物线y＝a(x＋3)(x－1)与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为(－2，6)．
（1）求a的值及直线AC的函数关系式；
（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．
O
A
B
x
y
C
P
M
N















202．（四川省凉山州）如图，已知抛物线y＝x 2＋bx＋c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标．
y
B
O
A
D
x










203．（四川省攀枝花市）如图1，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a ≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为C，顶点为D，直线CD与x轴的交点为E，解析式为y＝－x－3，线段CD的长为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若平行于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径；
（3）如图2，F是y轴上一点，且AF∥CD，在抛物线上是否存在点P，使直线PB恰好将四边形AECF的周长和面积同时平分？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．


O
A
B
x
y
C
D
F
图2
E
O
A
B
x
y
C
D
图1













204．（四川省宜宾市）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BC∥OA，OC＝AB．tan∠BAO＝，点B的坐标为（7，4）．
（1）求点A、C的坐标；
（2）求经过点O、B、C的抛物线的解析式；
（3）在第一象限内（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
A
B
x
y
C
O











205．（四川省遂宁市）如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB 2＝AF·AC，cos∠ABD＝，AD＝12．
（1）求证：△ANM≌△ENM；
（2）求证：FB是⊙O的切线；
A
C
B
M
D
E
O
N
F
（3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．









204．（四川省遂宁市）如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PD最小，求出点P的坐标；
C
D
O
B
A
y
x
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．









207．（四川省内江市）如图所示，已知点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，t)，且t＞0，tan∠BAC＝3，抛物线经过A、B、C三点，点P(2，m)是抛物线与直线l：y＝k(x＋1)的一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）对于动点Q(1，n)，求PQ＋QB的最小值；
（3）若动点M在直线l上方的抛物线上运动，求△AMP的边AP上的高h的最大值．
O
A
B
x
y
C










208．（四川省巴中市）如图，已知Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，直角顶点B在第一象限，OA＝10，OB＝，抛物线经过O、A、B三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿其对称轴向下平移，使抛物线恰好位于直线AB的下方，求抛物线向下平移的距离，并求此时直线OB被抛物线截得的线段MN的长；
O
A
B
x
y
（3）在抛物线上是否存在点P，使得∠OPA为钝角？若存在，求出点P的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．








209．（四川省南充市）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3，3)．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6，m)，求m的值和这个一次函数的解析式；
3
3
6
y
x
C
O
A
B
D
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1＝S ？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．









210．（福建省福州市）如图，已知直线l：y＝－x＋m（m≠0）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC＝2CA，AM＝2MB，连接MC，将△ACM绕点M旋转180°，得到△FEM，显然点E在y轴上，点F在直线l上；取线段EO中点N，将△ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点．记：过点F的反比例函数图象为C1，过点M且以B为顶点的二次函数图象为C2，过点P且以M为顶点的二次函数图象为C3．
（1）当m＝6时，①直接写出点M、F的坐标；
②求C1、C2的函数解析式；
（2）当m发生变化时，①在C1的每一支上，y随x的增大如何变化？请说明理由；
②若C2、C3中的y都随着x的增大而减小，写出x的取值范围．
A
C
M
O
E
F
l
y
N
B
x












211．（福建省福州市初中毕业班质量检查）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
O
A
B
x
y
C
F
D
E









212．（福建省漳州市）如图1，已知：抛物线y＝x 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是y＝x－2，连结AC．
（1）B、C两点坐标分别为B（_____，_____）、C（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）在△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
[抛物线y＝ax 2＋bx＋c的顶点坐标是(－，)]
O
A
B
x
y
C
图1
O
A
B
x
y
C
图2（备用）










213．（福建省漳州市初中毕业班质量检查）如图1，已知：抛物线y＝ax 2＋bx－3与x轴交于A(－1，0)、B两点，与y轴交于点C，顶点为点D，对称轴x＝1与x轴交于点E．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）在对称轴上是否存在点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在对称轴上找点Q，使点Q到A、C两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．
D
C
O
1
－1
A
B
y
x
图3（备用）
E
D
C
O
1
－1
A
B
y
x
图2（备用）
E
D
C
O
1
－1
A
B
y
x
图4（备用）
E
D
C
O
1
－1
A
B
y
x
图1
E











214．（福建省漳州双语实验学校高中阶段自主招生）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30º，BC＝6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE＝3，△DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N．
（1）求证：△BDM∽△CEN；
（2）当点M、N分别在边BA、CA上时，设BD＝x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；
（3）是否存在点D，使以M为圆心，BM为半径的圆与直线EF相切？如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．F
C
B
A
D
E
M
N








215．（福建省泉州市）在直角坐标系中，点A(5，0)关于原点O的对称点为点C．
（1）请直接写出点C的坐标；
（2）若点B在第一象限内，∠OAB＝∠OBA，并且点B关于原点O的对称点为点D．
①试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
②现有一动点P从B点出发，沿路线BA→AD以每秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．已知AB＝6，设点P、Q的运动时间为t秒，在运动过程中，当动点Q在以PA为直径的圆上时，试求t的值．

216．（福建省泉州市初中毕业班质量检查）在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，直线l：y＝－x＋5与y轴交于点C，与矩形OABC的边AB交于点D．
（1）请直接写出线段OC的长；
（2）沿直线l把△CBD折叠，B恰好落在AC上一点E处，并且EA＝1．
①试求点D、点E的坐标；
y
C
B
D
E
A
O
x
l
②若⊙P的圆心在线段CD上，且⊙P既与直线AC相切，又与直线DE相交，设圆心P的横坐标为m，试求m的取值范围．








217．（福建省厦门市）已知二次函数y＝x 2－x＋c．
（1）若点A(－1，n)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x 2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值；
（2）若点D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，m)(m ＞0)在抛物线y＝x 2－x＋c上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP，当≤ PO ≤＋2时，试判断直线DE与抛物线y＝x 2－x＋c＋的交点个数，并说明理由．
218．（福建省厦门市初中毕业班质量检查）如图，已知抛物线y＝x 2＋bx＋c与x轴的负半轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴相交于点C，顶点为M，AB＝2，OC＝3．
（1）若抛物线沿其对称轴上下平移后恰好经过点(－3，－2)，求平移后抛物线的最小值；
O
A
B
x
y
C
M
（2）设平移后的抛物线与y轴相交于点D，顶点为N，点P是平移后的抛物线上的一个动点，若S△PMN ＝S△PCD ，试求点P的坐标．









219．（福建省南平市）已知抛物线：y1＝－x 2＋2x．
（1）求抛物线y1的顶点坐标；
（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式；
（3）如下图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
O
x
y
P
y1
y2
1
-1
2
3
4
5
6
9
7
8
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
[提示：抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，)]













A
B
x
y
D
O
C
220．（福建省南平市初中毕业班质量检查）如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A(8，14)、B(0，2)，与x轴相交于点C、D（C在D的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是x轴上的动点，试判断PA＋PB与AC＋BC的大小关系，
并说明理由；
（3）在该抛物线上是否存在点Q，使得以Q为圆心的⊙Q既与直线BC
相切，又与y轴相交？若存在，求出⊙Q的半径r的取值范围；若
不存在，请说明理由．




221．（福建省龙岩市）如图，抛物线y＝x 2＋mx＋n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D(5，2)，连结BC、AD．
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后，再沿x轴对折，得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q．问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1 : 3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
A
x
y
C
D
O
B
F
E
H









222．（福建省龙岩市初中毕业班质量检查）如图，已知抛物线y＝ax 2－5ax＋4a（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）试写出A、B两点的坐标：A(____，0)，B(____，0)；
（2）记经过A、B、C三点的圆为⊙M，若⊙M恰好与y轴相切于点C，试求抛物线的解析式；
（3）探究：在（2）中的抛物线的对称轴右侧图形上是否存在点P，使△PAC是以AC为一条直角边的直角三角形．若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
y
M
A
O
B
C
x









223．（福建省莆田市）已知，如图1，过点B(0，－1)作平行于x轴的直线l，抛物线y＝x 2上的两点A、B的横坐标分别为－1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．
（1）求点A、B、F的坐标；
（2）求证：CF⊥DF；
（3）点P是抛物线y＝x 2对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥OP交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(备用图)
y
O
x
l
F
D
E
C
(图1)
y
A
O
B
x
l
F
D
E
C





224．（福建省莆田市初中毕业班质量检查）（1）已知，如图l，△ABC的周长为l，面积为S，其内切圆圆心为O，半径为r，求证：r＝；
（2）已知，如图2，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A（－3，0）、B（3，0）、C（0，4）．若△ABC内心为D，求点D坐标；
D
C
y
A
B
O
C
A
B
x
O
（3）与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆，叫旁切圆，圆心叫旁心．请求出条件（2）中的△ABC位于第一象限的旁心的坐标．









225．（福建省莆田市初中毕业班质量检查）已知，如图，抛物线y＝ax 2＋3ax＋c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
y
A
O
B
C
x
(备用图)
y
A
O
B
C
x
D












226．（福建省三明市）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)、B(5，0)两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
y
A
O
B
P
x
1
C
D
Q
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转，角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q，设旋转角为α(0°＜α≤90°)．
①当α等于多少度时，△CPQ是等腰三角形？
②设BP＝t，AQ＝s，求s与t之间的函数关系式．




227．（福建省三明市初中毕业班质量检查）如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(，1)，在BC边上选取适当的点D，将△OCD沿OD翻折，点C落在点E处，得到△OED．
（1）若点E在一次函数y＝2x－1的图象上（如图1），求点D、点E的坐标；
（2）若点E在抛物线y＝ax 2的图象上，且△EAB是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）当线段OD与直线EA垂直时，在直线EA上是否存在点P，使得PB＋PD最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
A
B
x
y
D
O
C
ED
A
B
x
y
D
O
C
ED
(备用图)









228．（福建省三明市初中毕业班质量检查）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋2与x轴的交点是A(3，0)、B(6，0)，与y轴的交点是C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P(x，y)(0＜ x ＜6)是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．
①当取何值时，线段PQ的长度取得最大值？其最大值是多少？
y
A
O
B
P
x
C
Q
②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．








229．（福建省宁德市）如图，已知抛物线C1：y＝a(x＋2)2－5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；
x
C1
y
B
O
A
N
P
C4
图（2）
Q
E
F
x
C1
y
B
O
A
M
P
C2
C3
图（1）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．







230．（福建省宁德市中考网上阅卷模拟考试）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴上，点A坐标为（0，12），点B坐标为（6，0），抛物线y＝x 2沿O→B→A方向进行平移，平移后的抛物线顶点为P．
（1）求线段AB所在直线的函数表达式；
（2）如图1，当点P与点B重合时，抛物线与AB的另一交点为M，求线段BM（即PM）的长；
（3）如图2，当点P在AB上时，抛物线与OA的另一交点为N，求以PN为直径的⊙I与y轴相切时抛物线的顶点坐标．
图2
A
y
N
O
x
B
P
B
（P）
图1
A
y
M
O
x












231．（福建省宁德市初中毕业班质量检查）如图，直线y＝x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，M是OB上一点，将△ABM沿AM翻折，点B恰好落在x轴上的B′ 处．
（1）求直线AM的解析式；
（2）过点B′ 作平行于y轴的直线l，直线AM交l于点P，试判断以点P为圆心、以PB为半径的圆与直线AB的位置关系，判断此圆是否经过点M，并说明理由；
（3）以l为对称轴的抛物线经过点B，且在直线AM上截得线段的长等于（2）中圆的半径，试求该抛物线的解析式．
A
O
x
B
P
y
B′

M
l















232．（福建省宁德市初中毕业班质量检查）如图，已知直线l：y＝－x－3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A、B两点，且对称轴为直线x＝－．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线l于点Q．
①若以AB为直径的圆恰好与直线PQ相切，求此时点Q的坐标；
②若点P在y轴右侧的抛物线上，在点P的运动过程中，△APQ能否为等腰三角形？若能，求出Q点坐标；若不能，请说明理由．

y
A
O
B
x
l
(备用图)
y
A
O
P
B
x
Q
l