中考数学压轴题及答案40例第7部分

中考数学压轴题及答案40例（7）28.如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，），B（－，），C（1，0），∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上；（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点为D（0，）∴可设抛物线的解析式为y＝ax 2＋．····························1分∵B（－，）在抛物线上∴a(－)2＋＝，∴a＝．·························3分∴抛物线的解析式为y＝x 2＋．···················5分（2）∵B（－，），C（1，0）∴BC＝＝又B′C＝BC，OA＝，∴B′C＝OA．·······························6分∵AC＝＝＝2∴AB＝＝＝1又AB′＝AB，OC＝1，∴AB′＝OC．·······························7分∴四边形AOCB′是矩形．······································8分∵B′C＝，OC＝1∴点B′ 的坐标为（1，）······································9分将x＝1代入y＝x 2＋得y＝∴点B′ 在抛物线上．········································10分（3）存在·····················································11分理由如下：设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则     解得∴直线AB的解析式为y＝·····································12分∵P、F分别在直线AB和抛物线上，且PF∥AD∴设P（m，），F（m，m 2＋）∴PF＝()－(m 2＋)＝－m 2＋＋AD＝＝若四边形PADF是平行四边形，则有PF＝AD．即－m 2＋＋＝解得m1＝0（不合题意，舍去），m2＝．·····························13分当m＝时，＝×＋＝．∴存在点P（，），使四边形PADF是平行四边形．················14分29.如图1，平移抛物线F1：y＝x 2后得到抛物线F2．已知抛物线F2经过抛物线F1的顶点M和点A（2，0），且对称轴与抛物线F1交于点B，设抛物线F2的顶点为N．（1）探究四边形ABMN的形状及面积（直接写出结论）；（2）若将已知条件中的“抛物线F1：y＝x 2”改为“抛物线F1：y＝ax 2”（如图2），“点A（2，0）”改为“点A（m，0）”，其它条件不变，探究四边形ABMN的形状及其面积，并说明理由；（3）若将已知条件中的“抛物线F1：y＝x 2”改为“抛物线F1：y＝ax 2＋c”（如图3），“点A（2，0）”改为“点A（m，c）”其它条件不变，求直线AB与轴的交点C的坐标（直接写出结论）．     解：（1）四边形ABMN是正方形，其面积为2．·······························1分（2）四边形ABMN是菱形．当m＞0时，四边形ABMN的面积为；当＜0时，四边形ABMN的面积为-．              2分（说明：如果没有说理过程，探究的结论正确的得2分）理由如下：∵平移抛物线F1后得到抛物线F2，且抛物线F2经过原点O．∴设抛物线F2的解析式为y＝ax 2＋bx．∵抛物线F2经过点A（m，0），∴am 2＋bm＝0．由题意可知m≠0，∴b＝－am．∴抛物线F2的解析式为y＝ax 2－amx．··························3分∴y＝a(x－)2－∴抛物线F2的对称轴为直线x＝，顶点N（，－）．·················4分∵抛物线F2的对称轴与抛物线F1的交点为B，∴点B的横坐标为．∵点B在抛物线F1：y＝ax 2上∴yB＝a()2＝··············································5分设抛物线F2的对称轴与x轴交于点P，如图1．∵a＞0，∴BP＝．∵顶点N（，－），∴NP＝|－|＝．∴BP＝NP．·································6分∵抛物线是轴对称图形，∴OP＝AP．∴四边形ABMN是平行四边形．··················7分∵BN是抛物线F2的对称轴，∴BN⊥OA．∴四边形ABMN是菱形．······································8分∵BN＝BP＋NP，∴BN＝．∵四边形ABMN的面积为×OA·BN＝×|m|×∴当m＞0时，四边形ABMN的面积为×m×＝．···················9分当m＜0时，四边形ABMN的面积为×(－m)×＝－．···············10分（3）点C的坐标为（0，＋c）（参考图2）．  30.如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋1．∵抛物线经过原点，∴a(0－2)2＋1＝0，∴a＝－．∴抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋1＝－x 2＋x．·················3分（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，若S△MOB ＝3S△AOB ，则△MOB的高是△AOB高的3倍，即M点的纵坐标是－3．······································5分∴－x 2＋x＝－3，整理得x 2－4x－12＝0，解得x1＝6，x2＝－2．∴满足条件的点有两个：M1(6，－3)，M2(－2，－3)··············7分（3）不存在．··················································8分理由如下：由抛物线的对称性，知AO＝AB，∠AOB＝∠ABO．若△OBN∽△OAB，则∠BON＝∠BOA＝∠BNO．设ON交抛物线的对称轴于A′ 点，则A′ (2，－1)．∴直线ON的解析式为y＝－x．由x＝－x 2＋x，得x1＝0，x2＝6．∴N(6，－3)．过点N作NC⊥x轴于C．在Rt△BCN中，BC＝6－4＝2，NC＝3∴NB＝＝．∵OB＝4，∴NB≠OB，∴∠BON≠∠BNO，∴△OBN与△OAB不相似．同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．∴在x轴下方的抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．·······10分31.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（1）如图1，过点B作BM⊥x轴于M．由旋转性质知OB＝OA＝2．∵∠AOB＝120°，∴∠BOM＝60°．∴OM＝OB·cos60°＝2×＝1，BM＝OB·sin60°＝2×＝．∴点B的坐标为(1，)．·························1分（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx＋c∵抛物线过原点，∴c＝0．∴     解得∴所求抛物线的解析式为y＝x 2＋x．···························3分（3）存在．···················································4分如图2，连接AB，交抛物线的对称轴于点C，连接OC．∵OB的长为定值，∴要使△BOC的周长最小，必须BC＋OC的长最小．∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称，∴OC＝AC．∴BC＋OC＝BC＋AC＝AB．由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时BC＋OC最小，点C的位置即为所求．设直线AB的解析式为y＝kx＋m，将A(－2，0)，B(1，)代入，得     解得∴直线AB的解析式为y＝x＋．抛物线的对称轴为直线x＝＝－1，即x＝－1．将x＝－1代入直线AB的解析式，得y＝×(－1)＋＝．∴点C的坐标为(－1，)．·····································6分（4）△PAB有最大面积．········································7分如图3，过点P作y轴的平行线交AB于点D．∵S△PAB ＝S△PAD＋S△PBD＝(yD－yP)(xB－xA)＝[(x＋)－(x 2＋x)](1＋2)＝－x 2－x＋＝－(x＋)2＋∴当x＝－时，△PAB的面积有最大值，最大值为．················8分此时yP＝×(－)2＋×(－)＝－．∴此时P点的坐标为(－，－)．································9分