初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试精品当堂检测题

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试精品当堂检测题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟


一、选择题（每小题3分，共36分）


1．下列方程中是关于的一元二次方程的是 ( )


A. B. C. D.


【答案】C。


【解析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；


（3）是整式方程；（4）含有一个未知数。由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案：


A、不是整式方程，故本选项错误；


B、当=0时，方程就不是一元二次方程，故本选项错误；


C、由原方程，得，符合一元二次方程的要求，故本选项正确；


D、方程中含有两个未知数；故本选项错误。故选C。


【考点】一元二次方程的定义。


2.方程化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）


A. 5,6,-8 B. 5，-6，-8 C. 5，-6,8 D. 6,5，-8[


【答案】C


【解析】先将该方程化为一般形式：.从而确定二次项系数为5，一次项系数为-6，常数项为8 答案选C。


【考点】一元二次方程的项和系数


3、若，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）


A 没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D无法判断


【答案】A


【分析】根据已知不等式求出k的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得方程解的情况。


【解析】∵5k+20＜0，即k＜﹣4，∴△=16+4k＜0，则方程没有实数根．故选A


【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．


4、某市从2018年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2018年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2020“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2019年、2020年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）


A．2% B．4.4% C．20% D．44%


【分析】设该市2019年、2020年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2018年及2020年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．


【解答】解：设该市2019年、2020年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，


根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．


答：该市2019年、2020年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．


故选：C．


【考点】一元二次方程的应用．


【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．


5．关于的一元二次方程的一个根是0，则值为（ ）


A． B． C．或 D．


【答案】B．


【解析】根据题意得：且，解得：，故选B．


【考点】1．一元二次方程的解；2．一元二次方程的定义．


6.三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为( )


A.13 B.15 C.18 D.13或18


【答案】A


【解析】解一元二次方程可求得方程的两根为，那么根据三角形的三边关系，可知3＜第三边＜9，得到合题意的边为4，进而求得三角形周长为3+4+6=13．故选A


【考点】解一元二次方程，三角形的三边关系，三角形的周长


7、根据下列表格对应值：


判断关于的方程的一个解的范围是（ ）


A.＜3.24 ＜＜3.25 ＜＜3.26 ＜＜3.28


【答案】B


【解析】当3.24＜＜3.25时，的值由负连续变化到正


说明在3.24＜＜3.25范围内一定有一个的值，使，


即是方程的一个解.故选B.


【考点】利用夹逼法求近似解


8．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为


A．x（x–1）=36B．x（x+1）=36C．x（x–1）=36D．x（x+1）=36


【答案】A


【解析】设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x–1）=36，故选A．


【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．


9.已知是方程的两个实数根，则的值等于


A． B．6 C． 10 D．


【答案】C


【解析】∵是方程的两个实数根，∴，。


∴。故选C。


【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。


10.关于的方程的根的情况描述正确的是.


A．为任何实数，方程都没有实数根


B．为任何实数，方程都有两个不相等的实数根


C．为任何实数，方程都有两个相等的实数根


D．根据的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种


【答案】B。


【解析】求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案；


∵一元二次方程根的判别式为△=（2k）2－4×（k－1）=4k2－4k+4=（2k﹣1）2+3＞0，


∴不论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选B。


【考点】一元二次方程根的判别式。


【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．


11、已知是方程的一个根，则的值为


A．B．C．－1D．1


【答案】D


【解析】∵，


又∵是方程的一个根，∴，即。


∴。故选D。


【考点】方程根的定义，分式化简，代数式代换。


12、已知2是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）


A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10


【答案】B.


【分析】∵2是关于的方程的一个根，∴，解pl得.


∴方程为，解得.


∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，


∴根据三角形三边关系，只能是6，6，2.∴三角形ABC的周长为14.故选B.


【考点】一元二次方程的解和解一元二次方程；确定三角形的条件.


二、填空题（每小题3分，共18分）


13、扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为 .





【答案】（30–2x）（20–x）=×20×30


【解析】设花带的宽度为xm，则可列方程为（30–2x）（20–x）=×20×30，故选D．


【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．


14、已知方程没有实数根，则代数式.


【答案】2


【分析】由方程没有实数根，得，求的a的范围，然后根据此范围化简代数式。


【解析】∴，即，，得


则代数式


【考点】根的判别式。


【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式。当时，方程没有实数根。同时考查了一元二次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。


15、 。


【答案】3．


【解析】用换元法：，则原化为： x2 –x–6=0解得, x=–2或3.


即或，因为，所以


故答案为3.


【考点】因式分解法解一元二次方程（换元法）；


16．关于x的方程x2–2x+2m–1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根 ．


【答案】x1=x2=1．


【解析】∵关于x的方程x2–2x+2m–1=0有实数根，


∴b2–4ac=4–4（2m–1）≥0，解得m≤1，


∵m为正整数，∴m=1，∴x2–2x+1=0，则（x–1）2=0，解得：x1=x2=1．


【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．


17.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣＝0的两个实数根，且x1﹣x2＝1，则m＝______．


【答案】


【分析】先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2m﹣1 ①，x1x2＝﹣②，结合x1﹣x2＝1求出，将其代入②求解可得．


【解析】根据题意知x1+x2＝2m﹣1 ①，x1x2＝﹣②，


∵x1﹣x2＝1 ③，


由①③，得：，


代入②，得：m（m﹣1）＝﹣，


解得m＝，故答案为：．


【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．


18、已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则的值是 .


【答案】7


【分析】根据已知两等式得到a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算即可求出值


【解析】根据题意得：a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，∴a+b=6，ab=4，


则原式=


【考点】根与系数的关系．


【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.


三、解答题（共46分）


19、（6分）按要求解方程（第3小题选择合适方法解方程）：


（1）；（公式法）（2）；（配方法） （3） (－2)＋－2＝0．


【分析】解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：直接开平方法； 配方法；公式法；因式分解法。本题即应用因式分解法求解。


【解析】（1）解:


（2）移项，得．配方，得，


由此可得 ∴，


（3）把方程左边因式分解，得．


从而，得，或；所以。


【考点】解一元二次方程。





20、（8分）（2020·山东省初三三模）阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母表示，我们可以用公式来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，）


例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋×2＝120．


用上面的知识解决下列问题．


（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116


（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．





【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．


【分析】（1）根据题意，由公式来计算等差数列的和，即可得到答案；


（2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案．


【解析】（1）由题意，得，，，


∵，∴；


（2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得


1200x+×400＝25200，整理得：（x﹣9）（x+14）＝0，


∴x＝9或x＝﹣14（负值舍去）．∴2009+9-1=2017；


答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．


【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题．


21、（8分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．


【答案】（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．


（2）2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．


【解析】（1）1.5×4=6（万座）．


答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．


（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，


根据题意，得：6（1+x）2=17.34，


解得：x1=0.7=70%，x2=–2.7（舍去）．


答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．


【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．


22、（8分）已知关于的方程有两个实数根.


（1）求的取值范围；（2）若，求的值；


【解析】（1）依题意得，即 。解得。


（2）依题意 ，


以下分两种情况讨论：


①当时，则有，即，解得


∵，∴不合题意，舍去 。


②时，则有，即，解得，


∵，∴。


综合①、②可知 。


【考点】一元二次方程根与系数的关系及判别式


23、（8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且|x1|=|x2|-2，求m的值及此时这个方程的根。


【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣1+，x2 =﹣1﹣或x1=1﹣，x2=1+．


【分析】（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；


（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.


【解析】（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，


∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，


∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+，


∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；


（2）∵x1•x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，


又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，


若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，


方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，


若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，


方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1﹣，x2=1+．


综上:略


【考点】根的判别式及解一元二次方程；分类讨论。


24．(8分)如图13－1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米.


（1）用含的式子表示花圃的面积；


（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；


（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）、（元）与修建面积之间的函数关系如图13－2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？


图13－2


图13－1





考点：一次函数的应用；一元二次方程的应用．.


分析：（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；


（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；


（3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据实际问题写出自变量的取值范围即可．


解答：解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；


（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=×60×40，


解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），


答：所以通道的宽为5米；


（3）设修建的道路和花圃的总造价为y，由已知得y1=40x，


y2=，则y=y1+y2=；


x花圃=（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400；


x通道=60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=﹣4a2+200a，


当2≤a≤10，800≤x花圃≤2016，384≤x通道≤1600，


∴384≤x≤2016，


所以当x取384时，y有最小值，最小值为2040，即总造价最低为23040元，


当x=383时，即通道的面积为384时，有﹣4a2+200a=384，


解得a1=2，a2=48（舍去），


所以当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为23040元．


【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．3.24
3.25
3.26
-0.02
0.01
0.03
2009年
2010年
2011年
2012年
植树后坡荒地的实际面积（公顷）
25 200
24 000
22 400
20400