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人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试优秀练习题
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这是一份人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试优秀练习题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟
一、选择题（每小题3分，共36分）
1、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则一次函数的大致图象可能是
【答案】B
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
【解析】∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选：B．
【考点】根的判别式；一次函数的图象．.
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2.股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】我们可以将整个原价假设为1（如果你觉得不放心，也可以假设为或等与现有字母不冲突的任何字母），那么跌停后的价格就是0.9。
之后两天中的第一天，是在0.9的基础上增加了，那么就是到了；
接下去要注意的是：虽然第二天增长率同样为，但是起步价变了，已经不是0.9，而是前一天收市之后的，它是在的基础上增加到了倍（请注意增加和增加到的区别），因此，现在的股价是，也就是。
【解析】跌停后，股价为0.9，连续两天按照的增长率增长后，股价为，
根据题意，得方程，那么正确选项为B。
【考点】本题考查了增长率的概念和方程的基本性质
【点评】首先必须要分清楚增加（或减少）的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系？
其次，这个基础“1”前后是否发生了变化。
3、根据下列表格中代数式与的对应值，判断方程的一个根的大致范围是( )
A．6< x <6.17 B．6.17< x <6.18 C．6.18< x <6.19 D．6.19< x <6.20
【答案】C
【解析】当6.18< x <6.19时，的值由负连续变化到正，
说明在6.18< x <6.19范围内一定有一个的值，使，
即是方程的一个解.故选C.
【考点】利用夹逼法求近似解
4.已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A． 10B． 14C． 10或14D．8或10
【答案】B
【分析】先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，
利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：
①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．
注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解析】∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，∴x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．故选B．
【考点】解一元二次方程－因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形性质．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
5．已知 QUOTE 分别是三角形的三边长，则一元二次方程 QUOTE 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
解析：因为 QUOTE \* MERGEFORMAT
又因为 QUOTE \* MERGEFORMAT 分别是三角形的三边长，所以 QUOTE \* MERGEFORMAT
所以 QUOTE \* MERGEFORMAT 所以方程没有实数根.故答案选A
【考点】一元二次方程根的判别式。
6、方程的全体实数根之积为（ ）
A、60 B、 C、10 D、
【答案】A
【分析】设，原方程化成，再整理成整式方程求解即可。
【解析】设，则
∴，解得，
当时，，解得
当时，，解得或
∴
【考点】换元法解分式方程。
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，解次题的关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想。
7、若方程是关于x的一元二次方程，则必有（ ）．
A．a=b=c B．一根为1 C．一根为－1 D．以上都不对
【答案】B．
【解析】A、当a=b=c时，a-b=0，b-c=0，则式子不是方程，故错误；
B、把x=1代入方程的左边：a-b+b-c+c-a=0．方程成立，
所以x=1是方程（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0的解；
C、把x=-1代入方程的左边：a-b+c-b+c-a=2（c-b）=0不一定成立，故选项错误；故选B．
【考点】一元二次方程的解
8、我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（ ）
A. 转化思想 B. 函数思想 C. 数形结合思想 D. 公理化思想
【答案】A
【解析】我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，
从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．
这种解法体现的数学思想是转化思想。（即将我们不熟悉的一元二次方程转化为熟悉的一元一次方程），故选A．
【考点】数学思想
9、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】B．
【分析】由条件可知a+b+c=0，再根据方程根的判别式得到到b2-4ac=0，整理可得出结论．
【解析】由条件可知a+b+c=0，所以b=-(a+c)，
又因为方程有两个相等的实数根，所以△=0，即b2-4ac=0，
所以（a+c）2-4ac=0，整理可得（a-c）2=0，所以a=c，故选B．
【考点】根的判别式
【点评】本题主要考查一元二次方程判别式与根的情况的判定，由条件到到知a+b+c=0和b2-4ac=0是解题的关键．
10、小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=–1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x=–1 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，
解出其中一个根是x=–1，∴（–1）2–4+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，
则b2–4ac=16–4×1×5=–4<0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选A．
【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．
11、有两个一元二次方程：M：，N：，其中，以下列四个结论中，错误的是( )
A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
B、如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；
C、如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是.
【答案】D.
【解析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系对各选项逐一分析作出判断：
A、∵M有两个不相等的实数根，∴△＞0，即.
∴此时N的判别式△＝，故它也有两个不相等的实数根.
B、∵M的两根符号相同：即，∴N的两根之积＝＞0，故N两个根也是同号的.
C、如果5是M的一个根，则有：①，我们只需要考虑将代入N方程看是否成立，代入得：②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立.
D、比较方程M与N可得：将M－N得到： ，∴.
故可知，它们如果有根相同的根可是1或.故选D.
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.
12、已知实数m，n满足，，则（ ）.
A、 B、2009 C、－2009 D、
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据题意：由得：；由得：，又因为，即，因此可以把，作为一元二次方程的两根，由根与系数的关系得：.
【解析】∵，
∴，
∵ ∴
∴把，作为一元二次方程的两根
∴
【点评】本题考查的是用构造一元二次方程，利用根与系数的关系解答问题，本题的关键是利用已知进行变形是关键所在，不要忽视了这个条件隐含的题意。
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为__________．
【答案】（12–x）（8–x）=77
【解析】∵道路的宽应为x米，∴由题意得，（12–x）（8–x）=77，
故答案为：（12–x）（8–x）=77．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
14、等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为 ．
【答案】10.
【解析】由题意可知，等腰三角形有两种情况:
当a, b为腰时，a=b,由一元二次方程根与系数的关系,
可得a+b=6 ,所以a=b=3，ab=9=n-1, 解得n=10;
当2为腰时，a=2 (或b=2),此时2+b=6 (或a+2=6),
解得b=4 (a=4),这时三边为2, 2, 4,不符合三角形三边关系，故不合题意.
所以n只能为10.故选B
【考点】1.等腰三角形，2.一元二次方程根与系数的关系.
15、对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=
【答案】3或﹣3
【分析】首先解方程x2﹣5x+6=0，再根据a﹡b=，求出x1﹡x2的值即可．
【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，
∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2，
①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；
②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．
故答案为：3或﹣3．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．
16、已知关于x的方程的两根分别为和1，则方程的两根为 .
【答案】，
【分析】因为方程的两个根为和1，所以方程可以方程因式为，用含a的式子表示b和c，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。
【解析】∵的两根为和1 ∴
整理得：∴，
把b，c代入方程，得：
∴，
【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后用含a的式子表示b和c，然后把b，c代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根。
17、如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2020= ．
【答案】2031
【分析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2020=2（n+3）﹣mn+2m+2020=2n+6﹣mn+2m+2020=2（m+n）﹣mn+2026，然后就可以求出所求的代数式的值．
【解析】由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，
所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，
则2n2﹣mn+2m+2020=2（n+3）﹣mn+2m+2020=2n+6﹣mn+2m+2020
=2（m+n）﹣mn+2026=2×1﹣（﹣3）+2026=2+3+2026=2031．
故答案为：2031．
【考点】根与系数的关系．.
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．
18、如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③，则关于的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为．
【答案】②③．
【解析】研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，
设其中一根为，则另一个根为，因此，
所以有；我们记，即时，方程为倍根方程；
下面我们根据此结论来解决问题：
对于①， ，因此本选项错误；
对于②，，而，
∴，因此本选项正确；
对于③，显然，而，因此本选项正确；
对于④，由倍根方程的结论知，又，从而有，所以方程变为：，∴，∴，，因此本选项错误．
故答案为：②③．
【考点】1．新定义；2．根与系数的关系．
三、解答题（共46分）
19.（6分）如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtABC和 RtBED 的边长，已知，这时我们把关于 x 的形如二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”，必有实数根；
(3)若 x 1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6，求ABC 的面积．
【答案】（1）(答案不唯一)（2）见解析（3）1.
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）根据根的判别式即可求解；（3）根据方程的解代入求出a,b,c的关系，再根据完全平方公式的变形进行求解.
【解析】（1）当a=3,b=4,c=5时，勾系一元二次方程为
（2）依题意得△=（）2-4ab=2c2-4ab,
∵a2+b2=c2,∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，
即△≥0，故方程必有实数根；
（3）把x=-1代入得a+b=c； ∵四边形 ACDE 的周长是6，
即2(a+b)+ c=6，故得到c=2，∴a2+b2=4，a+b=2
∵(a+b)2= a2+b2+2ab∴ab=2,故ABC 的面积为ab=1.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.
20、（8分）某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货．
（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？
【答案】(1) 200元;(2) 190元
【分析】（1）设每个售价应为x元，根据月销量=980-30×，结合月销量不低于800个，即可得出关于x的一元一次不等式；
（2）根据总利润=每个利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】（1）设使背包的月销量不低于800个，每个售价是x元，
980﹣30×≥800，解得x≤200，
故要使背包的月销量不低于800个，每个售价应不高于200元．
（2）由题意可得：[200（1﹣a%）﹣150]•800（1+5a%）＝40000，
整理，得：a%﹣20 （a%）2＝0， 解得：a1＝5，a2＝0（不合题意，舍去）．
故200（1﹣a%）＝190（元）
答：在实际销售过程中每个背包售价为190元．…
【点睛】本题考查了一元一次不等式、一元二次方程在实际问题中的应用---销售利润问题，解题关键是利润问题中数量关系，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系和等量关系，列出不等式和方程，再求解．
21、（8分）阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程。
例：解方程
解：(1)当即时．
原方程化为，即，解得．
∵，故舍去，是原方程的解
(2)当即时．，
原方程化为，即，解得．
∵，故舍去，是原方程的解．
综上所述，原方程的解为。
解方程：
【分析】把中的绝对值去号求解，分别讨论即可。
【解析】(1)当即时．，
原方程化为，即，解得。
∵，故是原方程的解。
(2)当即时．，
原方程化为，即，解得。
∵，故不是原方程的解。
综上所述，原方程的解为。
【考点】绝对值，解一元二次方程。
22. （8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；‘
（2）利用（1）中的结论得到k的最大整数为2，解方程x2﹣3x+2＝0解得x1＝1，x2＝2，把x＝1和x＝2分别代入一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0求出对应的m，同时满足m﹣1≠0．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤；
（2）k的最大整数为2，
方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，
∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；
当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，而m﹣1≠0，
∴m的值为．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
23．(8分)阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
【解析】（1），，
所以或或 ，，；故答案为，1；
（2），方程的两边平方，得
即；；或
，，
当时，，所以不是原方程的解．
所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，所以，
设，则
因为，，
两边平方，得；整理，得
两边平方并整理，得；即；所以．
经检验，是方程的解．答：的长为．
【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
24．(8分)实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有___ 种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．
探究三：从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．
归纳结论：从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）
（2）从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果．
【答案】探究一：（3）；（4）（，为整数）；探究二：（1）（2） ；探究三：归纳结论： （为整数，且，＜＜）；问题解决：；拓展延伸：（1）个或个；（2）．
【解析】探究一：（3）如下表：
所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是 所以一共有种．
探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：
从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种，
（2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,
所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种，
从而从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是
所以一共有种，
探究三：从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是，
所以这4个整数之和一共有5种，
从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是，
所以这4个整数之和一共有9种，
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，
这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是，
所以一共有 种不同的结果．
归纳结论：由探究一，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种．
探究二，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种，
探究三，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有 种不同的结果．
从而可得：从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．
问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），
一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490，
共有种不同的优惠金额．
拓展延伸：（1） 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果． 当 有
或 或
从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．
（2）由探究可知：从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，等同于从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，
所以：从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．
【点睛】本题考查的是学生自主探究，自主归纳的能力，同时考查了一元二次方程的解法，掌握自主探究的方法是解题的关键．6.17
6.18
6.19
6.20
－0.03
－0.01
0.02
0.06
所取的2个整数
1，2
1，3，
2，3
2个整数之和
3
4
5
所取的2个整数
1，2
1，3，
1，4
2，3
2，4
3，4
2个整数之和
3
4
5
5
6
7
取的2个整数
2个整数之和
取的3个整数
1,2,3
1,2,4
1,3,4
2,3,4
3个整数之和
6
7
8
9
考试时间：120分钟
一、选择题（每小题3分，共36分）
1、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则一次函数的大致图象可能是
【答案】B
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
【解析】∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选：B．
【考点】根的判别式；一次函数的图象．.
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2.股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】我们可以将整个原价假设为1（如果你觉得不放心，也可以假设为或等与现有字母不冲突的任何字母），那么跌停后的价格就是0.9。
之后两天中的第一天，是在0.9的基础上增加了，那么就是到了；
接下去要注意的是：虽然第二天增长率同样为，但是起步价变了，已经不是0.9，而是前一天收市之后的，它是在的基础上增加到了倍（请注意增加和增加到的区别），因此，现在的股价是，也就是。
【解析】跌停后，股价为0.9，连续两天按照的增长率增长后，股价为，
根据题意，得方程，那么正确选项为B。
【考点】本题考查了增长率的概念和方程的基本性质
【点评】首先必须要分清楚增加（或减少）的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系？
其次，这个基础“1”前后是否发生了变化。
3、根据下列表格中代数式与的对应值，判断方程的一个根的大致范围是( )
A．6< x <6.17 B．6.17< x <6.18 C．6.18< x <6.19 D．6.19< x <6.20
【答案】C
【解析】当6.18< x <6.19时，的值由负连续变化到正，
说明在6.18< x <6.19范围内一定有一个的值，使，
即是方程的一个解.故选C.
【考点】利用夹逼法求近似解
4.已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（ ）
A． 10B． 14C． 10或14D．8或10
【答案】B
【分析】先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，
利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：
①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．
注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解析】∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，∴x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6．
①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．故选B．
【考点】解一元二次方程－因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形性质．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
5．已知 QUOTE 分别是三角形的三边长，则一元二次方程 QUOTE 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
解析：因为 QUOTE \* MERGEFORMAT
又因为 QUOTE \* MERGEFORMAT 分别是三角形的三边长，所以 QUOTE \* MERGEFORMAT
所以 QUOTE \* MERGEFORMAT 所以方程没有实数根.故答案选A
【考点】一元二次方程根的判别式。
6、方程的全体实数根之积为（ ）
A、60 B、 C、10 D、
【答案】A
【分析】设，原方程化成，再整理成整式方程求解即可。
【解析】设，则
∴，解得，
当时，，解得
当时，，解得或
∴
【考点】换元法解分式方程。
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，解次题的关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想。
7、若方程是关于x的一元二次方程，则必有（ ）．
A．a=b=c B．一根为1 C．一根为－1 D．以上都不对
【答案】B．
【解析】A、当a=b=c时，a-b=0，b-c=0，则式子不是方程，故错误；
B、把x=1代入方程的左边：a-b+b-c+c-a=0．方程成立，
所以x=1是方程（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0的解；
C、把x=-1代入方程的左边：a-b+c-b+c-a=2（c-b）=0不一定成立，故选项错误；故选B．
【考点】一元二次方程的解
8、我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（ ）
A. 转化思想 B. 函数思想 C. 数形结合思想 D. 公理化思想
【答案】A
【解析】我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，
从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．
这种解法体现的数学思想是转化思想。（即将我们不熟悉的一元二次方程转化为熟悉的一元一次方程），故选A．
【考点】数学思想
9、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】B．
【分析】由条件可知a+b+c=0，再根据方程根的判别式得到到b2-4ac=0，整理可得出结论．
【解析】由条件可知a+b+c=0，所以b=-(a+c)，
又因为方程有两个相等的实数根，所以△=0，即b2-4ac=0，
所以（a+c）2-4ac=0，整理可得（a-c）2=0，所以a=c，故选B．
【考点】根的判别式
【点评】本题主要考查一元二次方程判别式与根的情况的判定，由条件到到知a+b+c=0和b2-4ac=0是解题的关键．
10、小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=–1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x=–1 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，
解出其中一个根是x=–1，∴（–1）2–4+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，
则b2–4ac=16–4×1×5=–4<0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选A．
【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．
11、有两个一元二次方程：M：，N：，其中，以下列四个结论中，错误的是( )
A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
B、如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；
C、如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是.
【答案】D.
【解析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系对各选项逐一分析作出判断：
A、∵M有两个不相等的实数根，∴△＞0，即.
∴此时N的判别式△＝，故它也有两个不相等的实数根.
B、∵M的两根符号相同：即，∴N的两根之积＝＞0，故N两个根也是同号的.
C、如果5是M的一个根，则有：①，我们只需要考虑将代入N方程看是否成立，代入得：②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立.
D、比较方程M与N可得：将M－N得到： ，∴.
故可知，它们如果有根相同的根可是1或.故选D.
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.
12、已知实数m，n满足，，则（ ）.
A、 B、2009 C、－2009 D、
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据题意：由得：；由得：，又因为，即，因此可以把，作为一元二次方程的两根，由根与系数的关系得：.
【解析】∵，
∴，
∵ ∴
∴把，作为一元二次方程的两根
∴
【点评】本题考查的是用构造一元二次方程，利用根与系数的关系解答问题，本题的关键是利用已知进行变形是关键所在，不要忽视了这个条件隐含的题意。
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为__________．
【答案】（12–x）（8–x）=77
【解析】∵道路的宽应为x米，∴由题意得，（12–x）（8–x）=77，
故答案为：（12–x）（8–x）=77．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
14、等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为 ．
【答案】10.
【解析】由题意可知，等腰三角形有两种情况:
当a, b为腰时，a=b,由一元二次方程根与系数的关系,
可得a+b=6 ,所以a=b=3，ab=9=n-1, 解得n=10;
当2为腰时，a=2 (或b=2),此时2+b=6 (或a+2=6),
解得b=4 (a=4),这时三边为2, 2, 4,不符合三角形三边关系，故不合题意.
所以n只能为10.故选B
【考点】1.等腰三角形，2.一元二次方程根与系数的关系.
15、对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=
【答案】3或﹣3
【分析】首先解方程x2﹣5x+6=0，再根据a﹡b=，求出x1﹡x2的值即可．
【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，
∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2，
①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；
②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．
故答案为：3或﹣3．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．
16、已知关于x的方程的两根分别为和1，则方程的两根为 .
【答案】，
【分析】因为方程的两个根为和1，所以方程可以方程因式为，用含a的式子表示b和c，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。
【解析】∵的两根为和1 ∴
整理得：∴，
把b，c代入方程，得：
∴，
【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后用含a的式子表示b和c，然后把b，c代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根。
17、如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2020= ．
【答案】2031
【分析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2020=2（n+3）﹣mn+2m+2020=2n+6﹣mn+2m+2020=2（m+n）﹣mn+2026，然后就可以求出所求的代数式的值．
【解析】由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，
所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，
则2n2﹣mn+2m+2020=2（n+3）﹣mn+2m+2020=2n+6﹣mn+2m+2020
=2（m+n）﹣mn+2026=2×1﹣（﹣3）+2026=2+3+2026=2031．
故答案为：2031．
【考点】根与系数的关系．.
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．
18、如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③，则关于的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为．
【答案】②③．
【解析】研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，
设其中一根为，则另一个根为，因此，
所以有；我们记，即时，方程为倍根方程；
下面我们根据此结论来解决问题：
对于①， ，因此本选项错误；
对于②，，而，
∴，因此本选项正确；
对于③，显然，而，因此本选项正确；
对于④，由倍根方程的结论知，又，从而有，所以方程变为：，∴，∴，，因此本选项错误．
故答案为：②③．
【考点】1．新定义；2．根与系数的关系．
三、解答题（共46分）
19.（6分）如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 RtABC和 RtBED 的边长，已知，这时我们把关于 x 的形如二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”，必有实数根；
(3)若 x 1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是6，求ABC 的面积．
【答案】（1）(答案不唯一)（2）见解析（3）1.
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）根据根的判别式即可求解；（3）根据方程的解代入求出a,b,c的关系，再根据完全平方公式的变形进行求解.
【解析】（1）当a=3,b=4,c=5时，勾系一元二次方程为
（2）依题意得△=（）2-4ab=2c2-4ab,
∵a2+b2=c2,∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，
即△≥0，故方程必有实数根；
（3）把x=-1代入得a+b=c； ∵四边形 ACDE 的周长是6，
即2(a+b)+ c=6，故得到c=2，∴a2+b2=4，a+b=2
∵(a+b)2= a2+b2+2ab∴ab=2,故ABC 的面积为ab=1.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.
20、（8分）某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货．
（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？
【答案】(1) 200元;(2) 190元
【分析】（1）设每个售价应为x元，根据月销量=980-30×，结合月销量不低于800个，即可得出关于x的一元一次不等式；
（2）根据总利润=每个利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】（1）设使背包的月销量不低于800个，每个售价是x元，
980﹣30×≥800，解得x≤200，
故要使背包的月销量不低于800个，每个售价应不高于200元．
（2）由题意可得：[200（1﹣a%）﹣150]•800（1+5a%）＝40000，
整理，得：a%﹣20 （a%）2＝0， 解得：a1＝5，a2＝0（不合题意，舍去）．
故200（1﹣a%）＝190（元）
答：在实际销售过程中每个背包售价为190元．…
【点睛】本题考查了一元一次不等式、一元二次方程在实际问题中的应用---销售利润问题，解题关键是利润问题中数量关系，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系和等量关系，列出不等式和方程，再求解．
21、（8分）阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程。
例：解方程
解：(1)当即时．
原方程化为，即，解得．
∵，故舍去，是原方程的解
(2)当即时．，
原方程化为，即，解得．
∵，故舍去，是原方程的解．
综上所述，原方程的解为。
解方程：
【分析】把中的绝对值去号求解，分别讨论即可。
【解析】(1)当即时．，
原方程化为，即，解得。
∵，故是原方程的解。
(2)当即时．，
原方程化为，即，解得。
∵，故不是原方程的解。
综上所述，原方程的解为。
【考点】绝对值，解一元二次方程。
22. （8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；‘
（2）利用（1）中的结论得到k的最大整数为2，解方程x2﹣3x+2＝0解得x1＝1，x2＝2，把x＝1和x＝2分别代入一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0求出对应的m，同时满足m﹣1≠0．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤；
（2）k的最大整数为2，
方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，
∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；
当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，而m﹣1≠0，
∴m的值为．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
23．(8分)阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
【解析】（1），，
所以或或 ，，；故答案为，1；
（2），方程的两边平方，得
即；；或
，，
当时，，所以不是原方程的解．
所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，所以，
设，则
因为，，
两边平方，得；整理，得
两边平方并整理，得；即；所以．
经检验，是方程的解．答：的长为．
【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
24．(8分)实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有___ 种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．
探究三：从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．
归纳结论：从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）
（2）从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有______种不同的结果．
【答案】探究一：（3）；（4）（，为整数）；探究二：（1）（2） ；探究三：归纳结论： （为整数，且，＜＜）；问题解决：；拓展延伸：（1）个或个；（2）．
【解析】探究一：（3）如下表：
所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是 所以一共有种．
探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：
从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种，
（2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,
所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种，
从而从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，
这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是
所以一共有种，
探究三：从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是，
所以这4个整数之和一共有5种，
从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是 最大是，
所以这4个整数之和一共有9种，
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，
这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是，
所以一共有 种不同的结果．
归纳结论：由探究一，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种．
探究二，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种，
探究三，从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有 种不同的结果．
从而可得：从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．
问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），
一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490，
共有种不同的优惠金额．
拓展延伸：（1） 从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果． 当 有
或 或
从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．
（2）由探究可知：从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，等同于从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，
所以：从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取个整数，这个整数之和共有种不同的结果．
【点睛】本题考查的是学生自主探究，自主归纳的能力，同时考查了一元二次方程的解法，掌握自主探究的方法是解题的关键．6.17
6.18
6.19
6.20
－0.03
－0.01
0.02
0.06
所取的2个整数
1，2
1，3，
2，3
2个整数之和
3
4
5
所取的2个整数
1，2
1，3，
1，4
2，3
2，4
3，4
2个整数之和
3
4
5
5
6
7
取的2个整数
2个整数之和
取的3个整数
1,2,3
1,2,4
1,3,4
2,3,4
3个整数之和
6
7
8
9
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