数学第十三章 轴对称综合与测试精品课后作业题

这是一份数学第十三章 轴对称综合与测试精品课后作业题，共15页。

基础过关


满分120分 时间100分钟


一．选择题（每题3分，共计30分）


1．（2020•泰兴市一模）如图，四个图标分别是剑桥大学、北京理工大学、浙江大学和北京大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是（ ）


A．B．C．D．


【解析】D


【解答】A、不是轴对称图形；


B、不是轴对称图形；


C、不是轴对称图形；


D、是轴对称图形；


故选：D．


2．（2020•大丰区期末）如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B度数为（ ）





A．30°B．60°C．90°D．120°


【解析】C


【解答】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，


∴△ABC≌△A′B′C′，


∴∠C＝∠C′＝60°，


∵∠A＝30°，


∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，


故选：C．


3．（2020•顺德区四模）若点A（﹣3，2）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（ ）


A．（﹣3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（3，2）D．（3，﹣2）


【解析】B


【解答】∵点A（﹣3，2）与点B关于x轴对称，


∴点B的坐标是（﹣3，﹣2）．


故选：B．


4．（2020•忻州期末）如图，保持△ABC的三个顶点的横坐标不变，纵坐标都乘﹣1，画出坐标变化后的三角形，则所得三角形与原三角形的关系是（ ）





A．关于x轴对称


B．关于y轴对称


C．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位


D．将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位


【解析】A


【解答】∵纵坐标乘以﹣1，


∴变化前后纵坐标互为相反数，


又∵横坐标不变，


∴所得三角形与原三角形关于x轴对称．


故选：A．


5．（2020•宿豫区期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（ ）





A．12B．10C．8D．6


【解析】B


【解答】∵DE是AB的垂直平分线，


∴EA＝EB，


由题意得，BC+CE+BE＝18，


则BC+CE+AE＝18，即BC+AC＝18，又BC＝8，


∴AC＝10，


故选：B．


6．（2020•碑林区模拟）如图，AB∥CD，点E在AD上，且CD＝DE，∠C＝75°，则∠A的大小为（ ）





A．35°B．30°C．28°D．26°


【解析】B


【解答】∵CD＝DE，


∴∠DEC＝∠C＝75°，


∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠DEC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，


∵AB∥CD，


∴∠A＝∠D＝30°；


故选：B．


7．（2020 •北镇市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的高，若AD＝3cm，则斜边AB的长为（ ）





A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm


【解析】D


【解答】∵CD是斜边AB上的高，


∴∠ADC＝90°，


∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，


∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝30°，∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠A＝30°，


∵AD＝3cm，


∴AC＝2AD＝6cm，


∴AB＝2AC＝12cm，


故选：D．


8．（2020•上城区二模）若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（ ）


A．80°B．100°C．20°或100°D．20°或80°


【解析】D


【解答】当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；


当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；


故顶角的度数为80°或20°．


故选：D．


9．（2020•方城县期末）如图，ABC是一钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是（ ）





A．7根B．8根C．9根D．10根


【解析】B


【解答】∵添加的钢管长度都与BD相等，∠ABC＝10°，


∴∠DBE＝∠DEB＝10°，


∴∠EDF＝∠DBE+∠DEB＝20°，


∵DE＝EF，


∴∠EDF＝∠EFD＝20°，


∴∠FEG＝∠ABC+∠EFD＝30°，


…


由此思路可知：第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，第四个是40°，第五个是50°，第六个是60°，第七个是70°，第八个是80°，第九个是90°（与三角形内角和为180°相矛盾）就不存在了．所以一共有8个，


∴添加这样的钢管的根数最多是8根．


故选：B．


10．（2020•射阳县期末）如图，弹性小球从P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1，第二次碰到正方形的边时的点为P2…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则P2020的坐标是（ ）





A．（5，3）B．（3，5）C．（0，2）D．（2，0）


【解析】D


【解答】由题意得，点P1的坐标为（5，3），


点P2的坐标为（3，5），


点P3的坐标为（0，2），


点P4的坐标为（2，0），


点P5的坐标为（5，3），


2020÷4＝505，


∴P2020的坐标为（2，0），


故选：D．


二．填空题（每题3分，共计15分）


11．（2020•萧山区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣3，2）与点（3，2）关于 （填写x或y）轴对称．


【解析】y


【解答】∵点（﹣3，2）与点（3，2）的横坐标互为相反数，纵坐标相同，


∴点（﹣3，2）与点（3，2）关于y轴对称，


故答案为y．


12．（2020•厦门模拟）如图，AB＝AC，AD∥BC，∠DAC＝50°，则∠B的度数是 ．





【解析】50°


【解答】∵AD∥BC，∠DAC＝50°，


∴∠C＝∠DAC＝50°，


∵AB＝AC，


∴∠B＝∠C＝50°，


故答案为：50°．


13．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．





【解析】6


【解答】∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，


∴EF＝2，


∵DE∥AB，DF∥AC，


∴△DEF是等边三角形，


∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．


故答案为：6．


14．（2020•宿豫区期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为 ．





【解析】18


【解答】∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，


∴∠ABO＝∠OBC，


∵MN∥BC，


∴∠MOB＝∠OBC，


∴∠ABO＝∠MOB，


∴BM＝OM，


同理CN＝ON，


∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝10+8＝18．


故答案为：18．


15．（2020•平潭县期末）已知A（0，2）和B（4，2），点P在x轴上，若要使PA+PB最小，则点P的坐标为 ．


【解析】（2，0）


【解答】如图，





∵A（0，2）


∴点A关于x轴的对称点A′（0，﹣2），


∵B（4，2），


连接A′B交x轴于点P，


∵AB＝4，AB∥x轴，


O是AA′中点，


∴P是A′B的中点，


∴OP是△A′AB的中位线，


∴OP=12AB＝2，


若要使PA+PB最小，则点P的坐标为（2，0）．


故答案为（2，0）．


三．解答题（共75分）


16．（8分）（2020 •南岗区期中）用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．


（1）若等腰三角形有一条边长为4，它的其它两边是多少？


（2）若等腰三角形的三边长都为整数，请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．


解：（1）当等腰三角形的腰长为4，


∴底边长为18﹣4×2＝10，


∵4+4＜10，


∴4、4、10不能组成三角形，


当等腰三角形的底边长为4，


∴腰长为（18﹣4）÷2＝7，


∵4+7＞7，


∴4、7、7能组成三角形，


综上所述，其他两边分别为4和7．


（2）设等腰三角形的三边长为x、x、y，


由题意可知：2x+y＝18，


且2x＞y，


∴y＜9，


∵x=18-y2=9-y2，x与y都是整数，


∴y是2的倍数，


∴y＝2时，x＝8，


y＝4时，x＝7，


y＝8，x＝5．


17．（9分）（2020•平谷区期末）如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．


（1）猜想△DOP是 等腰 三角形；


（2）补全下面证明过程：


∵OC平分∠AOB


∴ ∠DOP ＝ ∠BOP


∵DN∥EM


∴ ∠DPO ＝ ∠BOP


∴ ∠DOP ＝ ∠DPO


∴ OD ＝ PD





解：（1）我们猜想△DOP是等腰三角形；


（2）补全下面证明过程：


∵OC平分∠AOB，


∴∠DOP＝∠BOP，


∵DN∥EM，


∴∠DPO＝∠BOP，


∴∠DOP＝∠DPO，


∴OD＝PD．


故答案为：等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD．


18．（9分）（2020•沙坪坝区自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．


（1）求证：△ABD是等腰三角形；


（2）求∠BDE的度数．





证明：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，


∴∠ABC＝∠C＝72°，


∵BD平分∠ABC，


∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠A＝36°，


∴BD＝AD，


即△ABD是等腰三角形；


（2）∵点E是AB的中点，


∴AE＝EB，


∴∠DEB＝90°，


∴∠BDE＝90°﹣36°＝54°．


19．（9分）（2020黑河期末）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，A（2，3），B（1，1），C（4，2）．结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：


（1）直接写出△ABC的面积；


（2）请在图中作出与△ABC关于x轴对称的△A'B'C'；


（3）在（2）的条件下，若M（x，y）是△ABC内部任意一点，请直接写点M在△A'B'C'内部的对应点M'的坐标．





解：（1）△ABC的面积为2×3-12×1×2-12×1×2-12×1×3=52；


（2）如图所示，△A'B'C'即为所求．





（3）点M在△A'B'C'内部的对应点M'的坐标为（x，﹣y）．


20．（9分）（2020•兴化市期中）△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F．


（1）求证：EF＝BE+FC；


（2）若△ABC的周长比△AEF的周长大10，试求出BC的长度．





解：（1）∵EF∥BC，


∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，


∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，


∴∠EBO＝∠OBC，∠OCB＝∠FCO，


∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，


∴BE＝OE，OF＝FC；


∴EF＝BE+FC；


（2）由（1）证得BE＝OE，OF＝CF，


∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+EO+OF+AF＝AE+BE+FC+AF＝AB+AC，


∵△ABC的周长比△AEF的周长大10，


∴BC＝AB+AC+BC﹣AB+AC＝10．


21．（10分）（2020•曹县期末）如图，已知△ABC，点B在直线a上，直线a，b相交于点O．


（1）画△ABC关于直线a对称的△A1B1C1；


（2）在直线b上画出点P，使BP+CP最小．





解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；





（2）如图所示，点P即为所求．


22．（10分）（2020•永安市期末）已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．


（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；


（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．





解：（1）∵△ABC是等边三角形，


∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，


∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，


∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，


∵∠DEF＝60°，


∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，


∴∠2＝∠1＝50°；


（2）∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，


又∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∠1＝∠3，


∴∠FDE＝∠DEB，


∴DF∥BC．


23．（11分）（2020•济源期末）如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，DC＝4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．


（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．


①经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．


②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？


（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是 厘米/秒．（直接写出答案）





解：（1）①△BMN≌△CDM．理由如下：


∵VN＝VM＝3厘米/秒，且t＝2秒，


∴CM＝2×3＝6（cm）


BN＝2×3＝6（cm）


BM＝BC﹣CM＝10﹣6＝4（cm）


∴BN＝CM


∵CD＝4（cm）


∴BM＝CD


∵∠B＝∠C＝60°，


∴△BMN≌△CDM．（SAS）


②设运动时间为t秒，△BMN是直角三角形有两种情况：


Ⅰ．当∠NMB＝90°时，


∵∠B＝60°，


∴∠BNM＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．


∴BN＝2BM，


∴3t＝2×（10﹣3t）


∴t=209（秒）；


Ⅱ．当∠BNM＝90°时，


∵∠B＝60°，


∴∠BMN＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°．


∴BM＝2BN，


∴10﹣3t＝2×3t


∴t=109（秒）．


∴当t=209秒或t=109秒时，△BMN是直角三角形；





（2）分两种情况讨论：


I．若点M运动速度快，则 3×25﹣10＝25VN，解得 VN＝2.6；


Ⅱ．若点N运动速度快，则 25VN﹣20＝3×25，解得 VN＝3.8．


故答案是 3.8或2.6．