初中人教版18.2.3 正方形教学设计及反思

这是一份初中人教版18.2.3 正方形教学设计及反思，共9页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨，答案与解析，总结升华等内容，欢迎下载使用。




【学习目标】


1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；


2．掌握正方形的性质及判定方法．


【要点梳理】


要点一、正方形的定义


四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.


要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.


要点二、正方形的性质


正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.


1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；


2.角——四个角都是直角；


3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；


4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.


要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.


要点三、正方形的判定


正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.


要点四、特殊平行四边形之间的关系





或者可表示为：





要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状


（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.


（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.


（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.


（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.


要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.


（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.


（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.


（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.


【典型例题】


类型一、正方形的性质


1、（2016•哈尔滨）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．


（1）求证：AP=BQ；


（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．





【思路点拨】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．


【答案与解析】


解：（1）∵正方形ABCD


∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°


∵DP⊥AQ


∴∠ADP+∠DAP=90°


∴∠BAQ=∠ADP


∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P


∴∠AQB=∠DPA=90°


∴△AQB≌△DPA（AAS）


∴AP=BQ


（2）①AQ﹣AP=PQ


②AQ﹣BQ=PQ


③DP﹣AP=PQ


④DP﹣BQ=PQ








【总结升华】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等．


举一反三：


【变式1】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG．


(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．


(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．





【答案】


证明：(1)∵ 四边形ABCD是正方形，


∴ DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．


又∵ CE＝AG，


∴ △DCE≌△DAG，


∴ ∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．


又∵ ∠ADE＋∠EDC＝90°，


∴ ∠ADE＋∠GDA＝90°，


∴ DE⊥DG．


(2)四边形CEFK为平行四边形．


证明：设CK，DE相交于M点，


∵ 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，


∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；


∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD．


∴ 四边形CKGD为平行四边形．


∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF


∴ 四边形CEFK为平行四边形．


【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．





【答案】2；


提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.





类型二、正方形的判定


2、（2015•闸北区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．


（1）求证：AF=BF；


（2）如果AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形．





【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，再根据等角的余角相等可得∠B=∠BAF，所以AF=BF．


（2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形．


【答案与解析】


证明：（1）∵AD=CD，点E是边AC的中点，


∴DE⊥AC．


即得DE是线段AC的垂直平分线．


∴AF=CF．


∴∠FAC=∠ACB．


在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，


得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．


∴∠B=∠BAF．


∴AF=BF．


（2）∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．


又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．


在△AEG和△CEF中，


，


∴△AEG≌△CEF（AAS）．


∴AG=CF．


又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．


∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．


在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．


即得点F是边BC的中点．


又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．


∴四边形AFCG是正方形．


【总结升华】本题考查的是正方形的判定方法，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质．


举一反三：


【变式】（2015春•上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．


（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；


（2）若DG=6，求△FCG的面积．





【答案】


（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，


∴HG=EH，


∵AH=2，DG=2，


∴DG=AH，


在Rt△DHG和△AEH中，


，


∴Rt△DHG≌△AEH，


∴∠DHG=∠AEH，


∵∠AEH+∠AHG=90°，


∴∠DHG+∠AHG=90°，


∴∠GHE=90°，


∵四边形EFGH为菱形，


∴四边形EFGH为正方形；


（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，


∵四边形ABCD为矩形，


∴AB∥CD，


∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，


∵四边形EFGH为菱形，


∴HE=GF，HE∥GF，


∴∠HEG=∠FGE，


∴∠AEH=∠QGF，


在△AEH和△QGF中


，


∴△AEH≌△QGF，


∴AH=QF=2，


∵DG=6，CD=8，


∴CG=2，


∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．


类型三、正方形综合应用


3、E、F分别是正方形ABCD的边AD和CD上的点，若∠EBF＝45°．


(1)求证：AE＋CF＝EF．


(2)若E点、F点分别是边DA、CD的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明．





【答案与解析】


证明：（1）延长DC，使CH＝AE，连接BH，


∵ 四边形ABCD是正方形，


∴ ∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，


∴ Rt△BAE≌Rt△BCH，


∴ ∠1＝∠2，BE＝BH．


又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，


∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，


在△EBF和△HBF中，


∴ △EBF≌△HBF，


∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF．


(2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE．


证明：在CF上截取CH＝AE，连接BH．


∵ 四边形ABCD是正方形，


∴ 在Rt△EAB和Rt△HCB中，





∴ Rt△EAB≌Rt△HCB，


∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．


∵ ∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH＝90°．


又∵ ∠EBF＝45°，∴ ∠HBF＝45°，


即∠EBF＝∠HBF．


在△EBF和△HBF中


∴ △EBF≌△HBF，


∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE．


【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补短”的方法正确地作出辅助线.


4、正方形ABCD的对角线交点为O，如图所示，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC＝2FO．





【思路点拨】在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的2倍或，通常采用折半法或加倍法．而折半法又可分直接折半法和间接折半法；加倍又可分直接加倍法和间接加倍法．这就需要学生仔细研究，找到解决问题的合适方法．


【答案与解析】


证法一：(间接折半法)如图①所示．


∵ ∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．


而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．


∴ ∠3＝∠5，BE＝BF．


取AE的中点G，连接OG，


∵ AO＝OC，∴ OGEC．


由∠7＝∠5，∠8＝∠3，


∴ ∠7＝∠8，∴ FO＝GO．


∴ EC＝2OG＝2FO．


证法二：(直接折半法)如图②所示．


由证法一得BE＝BF．


取EC的中点H，连接OH．


∵ AO＝OC，∴ OH∥AE．


∴ ∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．


∴ BO＝BH，∴ FO＝EH．


∴ EC＝2EH＝2FO．


证法三：(直接加倍法)如图③所示．


由证法一得BE＝BF．


在OD上截取OM＝OF，连接MC．


易证Rt△AOF≌Rt△COM．


∴ ∠OAF＝∠OCM，


∴ AE∥MC．


由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，


∴ FM＝EC．


∴ EC＝FM＝2FO．


【总结升华】若题目中涉及线段的倍半关系和中点问题时，要联想中位线定理，利用中点构造中位线，要注意从不同的角度进行思构，构造不同的辅助线来解决问题．


举一反三：


【变式】在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图①，易证EG＝CG，且EG⊥CG．


(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想．


(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想，并加以证明．





【答案】


解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．


(2)EG＝CG，且EG⊥CG．





证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，


∵ ∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，


∴ 四边形BEMC是矩形．


∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，


又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．


∵ ∠EMC＝90°，FG＝DG，


∴ MG＝FD＝FG．


∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．


∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴ ∠F＝45°．


又FG＝DG，∠CMG＝∠EMD＝45°，


∴ ∠F＝∠GMC，∴ △GFE≌△GMC，


∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，


∵ MG⊥DF，


∴ ∠FGE＋∠EGM＝90°，


∴ ∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，


∴ EG⊥CG．