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    规范解答集训(六) 函数、导数、不等式 试卷

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    规范解答集训(六) 函数、导数、不等式 试卷

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    规范解答集训() 函数导数不等式

    (建议用时:60分钟)

    1(2019·洛阳模拟)已知函数f(x)ex(x22xa)(其中aRa为常数e为自然对数的底数)

    (1)讨论函数f(x)的单调性;

    (2)设曲线yf(x)(af(a))处的切线为la[1,3]求直线ly轴上截距的取值范围

    [] (1)f(x)ex(x22xa)ex(2x2)ex(x2a2)

    a2f(x)0恒成立函数f(x)在区间()上单调递增;

    a<2f(x)0x22axx

    函数f(x)在区间()()上单调递增在区间()上单调递减

    (2)f(a)ea(a2a)f(a)ea(a2a2)

    所以直线l的方程为yea(a2a)ea(a2a2)(xa)

    x0得截距bea(a3a)g(a)ea(a3a)(1a3)

    g(a)ea(a33a2a1)h(a)=-a33a2a1(1a3)

    h(a)=-3a26a1<0(1a3)所以h(a)[1,3]上单调递减

    所以h(a)h(1)=-2<0所以g(a)<0g(a)在区间[1,3]上单调递减

    所以g(3)g(a)g(1)即截距的取值范围是[24e3,0]

    2(2019·武汉调研)已知mR函数f(x)ln x2x2mx1g(x)3x22mx(m21)ln x1.

    (1)f(x)为增函数求实数m的取值范围;

    (2)m0g(x)f(x)恒成立时m取到的最大值mm0时曲线yf(x)x1处的切线方程

    [] (1)f(x)4xm0(x>0)4x2mx10(x>0)

    m0此时4x2mx10(x>0)恒成立;

    m>0Δm21600<m4.

    故实数m的取值范围为(4]

    (2)g(x)f(x)恒成立F(x)g(x)f(x)x2mxm2ln x0恒成立

    F(x)2xm(x>0)

    m>0x(0m)F(x)<0x(m)F(x)>0F(x)F(x)x的变化如表

    x

    (0m)

    m

    (m)

    F(x)

    0

    F(x)

    极小值

    F(x)minF(m)=-m2ln m0m10<m1

    m<0则当x=-F(x)取得最小值F(x)minFm2ln0ln02em<0根据题意此时可以不予考虑;

    m0F(x)x20恒成立

    m0g(x)f(x)恒成立时m取到的最大值m01.

    mm01f(x)ln x2x2x1f(1)2即切点为(1,2)

    f(x)4x1f(1)4所以切线的斜率为4

    故所求的切线方程为y4x2.

    3已知函数f(x)ax22(a1)x2ln xa(0)

    (1)讨论函数f(x)的单调性;

    (2)a4证明:对任意的x2都有f(x)<ex(x1)axln x成立(其中e为自然对数的底数e2.718 28)

    [] (1)f(x)的定义域为(0)

    f(x)2ax2(a1)

    a(0,1)f(x)(0,1)上单调递增上单调递减;

    a1f(x)(0)上单调递增;

    a(1)f(x)(1)上单调递增上单调递减

    (2)a4即证4x26x3ln xex(x1)x2

    g(x)4x26x3ln xex(x1)(x2)

    g(x)8x6xex.

    h(x)8x6xex

    h(x)8(x1)ex<8(x1)ex83e2<0

    h(x)[2)上单调递减

    h(x)8x6xexh(2)1662e22e2<0g(x)<0[2)上恒成立

    g(x)[2)上单调递减

    g(x)4x26x3ln xex(x1)g(2)16123ln 2e2<43e27e2<0

    原不等式恒成立

    4已知函数f(x)x2(a1)xaln x.

    (1)a<1讨论函数f(x)的单调性;

    (2)若不等式f(x)(a1)xxa1e对于任意x[e1e]成立求正实数a的取值范围

    [] (1)函数f(x)的定义域为(0)

    f(x)x(a1).

    0<a<1则当0<x<ax>1f(x)>0f(x)单调递增;

    a<x<1f(x)<0f(x)单调递减

    a0则当0<x<1f(x)<0f(x)单调递减;

    x>1f(x)>0f(x)单调递增

    综上所述a0函数f(x)(1)上单调递增(0,1)上单调递减;当0<a<1函数f(x)(a,1)上单调递减(0a)(1)上单调递增

    (2)原题等价于对任意x有-aln xxae1成立

    g(x)=-aln xxaxg(x)maxe1.

    g(x)axa1

    g(x)<00<x<1;令g(x)>0x>1.

    函数g(x)上单调递减(1e]上单调递增

    g(x)maxgaeag(e)=-aea中的较大者

    h(a)g(e)geaea2a(a>0)

    h(a)eaea2>220

    h(a)(0)上单调递增h(a)>h(0)0g(e)>g从而g(x)maxg(e)=-aea.

    aeae1eaae10.

    φ(a)eaae1(a>0)φ(a)ea1>0

    φ(a)(0)上单调递增

    φ(1)0满足eaae10a的取值范围为(1]

    a>0a的取值范围为(0,1]

    5已知函数f(x)x3x2ax2的图象过点A.

    (1)求函数f(x)的单调增区间;

    (2)若函数g(x)f(x)2m33个零点m的取值范围

    [] (1)因为函数f(x)x3x2ax2的图象过点A所以4a4a2解得a2f(x)x3x22x2所以f(x)x2x2.

    f(x)>0x<1x>2.

    所以函数f(x)的单调增区间是(1)(2)

    (2)(1)f(x)极大值f(1)=-22=-

    f(x)极小值f(2)242=-

    由数形结合(图略)可知要使函数g(x)f(x)2m3有三个零点

    则-<2m3<解得-<m<.

    所以m的取值范围为.

    6(2019·开封模拟)已知函数f(x)aln xx22x.

    (1)a=-4求函数f(x)的单调区间;

    (2)若函数yf(x)有两个极值点x1x2x1<x2求证:<ln 2.

    [] (1)a=-4f(x)=-4ln xx22xx(0)f(x)x(0)

    f(x)>0解得x>2f(x)的单调递增区间为(2)

    f(x)<0解得0<x<2f(x)的单调递减区间为(0,2)

    f(x)的单调递增区间为(2)单调递减区间为(0,2)

    (2)f(x)x(0)

    g(x)2x22xaf(x)有两个极值点x1x2g(x)0(0)上有两个不同的根x1x2

    可得0<a<a2x2(1x2)

    0<x1<x2<x2<1

    =-x212x2ln x2

    h(x)=-x12xln x<x<1

    h(x)2ln x<0h(x)上单调递减h(x)<h2ln =-ln 2

    <ln 2.

     

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