规范解答集训(四)　立体几何 试卷

规范解答集训(四)　立体几何

(建议用时：40分钟)

1．(2019·长沙模拟)已知三棱锥P­ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P­ABC中：

(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)求三棱锥P­ABC的表面积和体积．

图1　　  　图2

[解]　(1)如图，设AC的中点为O，连接BO，PO.

由题意，得PA＝PB＝PC＝，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1.

因为在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC.

因为在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝，

所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.

因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，

所以PO⊥平面ABC，

因为PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.

(2)三棱锥P­ABC的表面积S＝×＋2××()2＝2＋，

由(1)知，PO⊥平面ABC，所以三棱锥P­ABC的体积V＝S△ABC×PO＝××××1＝.

2．如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝AB，侧面SAD⊥底面ABCD.

(1)求证：平面SBD⊥平面SAD；

(2)若∠SDA＝120°，且三棱锥S­BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．

[解]　(1)证明：设BC＝a，则CD＝a，AB＝2a，由题意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°，

则BD＝a，∠CBD＝45°，

所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°，

在△ABD中，

AD＝＝a，

因为AD2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD，

由于平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥平面SAD，

又BD⊂平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.

(2)由(1)可知AD＝SD＝a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin 60°＝a，

作SH⊥AD，交AD的延长线于点H.

则SH＝SDsin 60°＝a，

由(1)知BD⊥平面SAD，

因为SH⊂平面SAD，所以BD⊥SH，

又AD∩BD＝D，所以SH⊥平面ABCD，

所以SH为三棱锥S­BCD的高，

所以VS­BCD＝×a××a2＝.

解得a＝1，由BD⊥平面SAD，SD⊂平面SAD，可得BD⊥SD，

则SB＝＝＝2，

又AB＝2，SA＝，

在等腰三角形SBA中，

边SA上的高为＝，

则△SAB的面积为××＝.

3．(2019·福州质量检测)如图，在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，以AD为折痕将△ADM折起，使点M到达点P的位置，且平面ABCD⊥平面PAD，E是PB的中点，AB＝2BC.

(1)求证：CE∥平面PAD；

(2)若AD＝2，AB＝4，求三棱锥A­PCD的高．

[解]　(1)取AP的中点F，连接DF，EF，如图所示．

因为点E是PB的中点，

所以EF∥AB，且EF＝.

因为四边形ABCM是平行四边形，D为CM的中点，所以AB∥CD，且CD＝.

所以EF∥CD，且EF＝CD，

所以四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，

因为CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，

所以CE∥平面PAD.

(2)取AD的中点O，连接PO，CO，如图所示．

在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，AB＝2BC，AD＝2，AB＝4，

所以MD＝MA＝AD＝CD＝2，所以∠ADC＝120°，PD＝PA＝AD＝2，

所以S△ACD＝×AD×CD×sin∠ADC＝×2×2×＝，OC＝，△ADP为正三角形，

所以PO⊥AD，且PO＝.

因为平面ABCD⊥平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OC，

所以PC＝＝.

在等腰三角形PCD中，易得S△PCD＝.

设三棱锥A­PCD的高为h，

因为VA­PCD＝VP­ACD，所以S△PCD·h＝S△ACD·PO，所以h＝＝＝，

所以三棱锥A­PCD的高为.

4．如图，在直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝5，AA′＝AB＝6，D，E分别为AB和BB′上的点，且＝.

(1)当D为AB的中点时，求证：A′B⊥CE；

(2)当D在线段AB上运动时(不含端点)，求三棱锥A′­CDE体积的最小值．

[解]　(1)证明：∵D为AB的中点，

∴E为B′B的中点，

∵三棱柱ABC­A′B′C′为直三棱柱，AA′＝AB＝6，

∴四边形ABB′A′为正方形，∴DE⊥A′B.

∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB.

由题意得平面ABB′A′⊥平面ABC，且平面ABB′A′∩平面ABC＝AB，CD⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABB′A′.

又A′B⊂平面ABB′A′，

∴CD⊥A′B.

又CD∩DE＝D，∴A′B⊥平面CDE，

∵CE⊂平面CDE，∴A′B⊥CE.

(2)设AD＝x(0＜x＜6)，

则BE＝x，DB＝6－x，B′E＝6－x，

由已知可得点C到平面A′DE的距离即为△ABC的边AB上的高h，且h＝＝4，

∴三棱锥A′­CDE的体积VA′­CDE＝VC­A′DE＝(S四边形ABB′A′－S△AA′D－S△DBE－S△A′B′E)·h＝·h＝(x2－6x＋36)＝[(x－3)2＋27](0＜x＜6)，

∴当x＝3，即D为AB的中点时，VA′­CDE取得最小值，最小值为18.

5．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AC与BD相交于点O，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝3，三棱锥P­ACD的体积为9.

(1)求AD的值；

(2)过点O的平面α平行于平面PAB，平面α与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H，求截面EFGH的周长．

[解]　(1)因为在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，

四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝3，

所以V三棱锥P­ACD＝××AB×AD×AP＝AD＝9，

解得AD＝6.

(2)由题知平面α∥平面PAB，平面α∩平面ABCD＝EF，点O在EF上，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

根据面面平行的性质定理，得EF∥AB，

同理EH∥BP，FG∥AP.因为BC∥AD，

所以△BOC∽△DOA，

所以＝＝＝.

因为EF∥AB，所以＝＝，

又易知BE＝AF，AD＝2BC，所以FD＝2AF.

因为FG∥AP，

所以＝＝，FG＝AP＝2.

因为EH∥BP，所以＝＝，

所以EH＝PB＝.

如图，作HN∥BC，GM∥AD，HN∩PB＝N，GM∩PA＝M，则HN∥GM，HN＝GM，

所以四边形GMNH为平行四边形，所以GH＝MN，

在△PMN中，

MN＝＝，

又EF＝AB＝3，MN＝GH，

所以截面EFGH的周长为EF＋FG＋GH＋EH＝3＋2＋＋＝5＋＋.

6．如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，CD⊥EA，CD＝2EF＝2，ED＝，M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N.

(1)求证：ED⊥CD；

(2)求证：AD∥MN；

(3)若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．

[解]　(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD.

又因为CD⊥EA，

EA∩AD＝A，

所以CD⊥平面EAD.

因为ED⊂平面EAD，

所以ED⊥CD.

(2)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，

又因为AD⊄平面FBC，BC⊂平面FBC，

所以AD∥平面FBC.

又因为平面ADMN∩平面FBC＝MN，

所以AD∥MN.

(3)平面ADMN与平面BCF可以垂直．证明如下：

连接DF.因为AD⊥ED，AD⊥CD，ED∩CD＝D，

所以AD⊥平面CDEF.

所以AD⊥DM.

因为AD∥MN，所以DM⊥MN.

因为平面ADMN∩平面FBC＝MN，

所以若使平面ADMN⊥平面BCF，

则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC.

在梯形CDEF中，因为EF∥CD，DE⊥CD，

CD＝2EF＝2，ED＝，所以DF＝DC＝2.

所以若使DM⊥FC成立，则M为FC的中点．

所以＝.