第一讲 函数的图像与性质 学案

专题二　函数与导数


第一讲　函数的图象与性质

高考考点
考点解读
函数的概念及其表示
1.求具体函数的定义域、值域
2．以分段函数为载体考查求函数值或已知函数值求字母的值(或取值范围)等
函数的图象及其应用
1.以具体函数的解析式选择图象或知图象选解析式
2．利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题及解不等式、比较大小等
函数的性质及其应用
1.确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值
2．综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等，常与不等式相结合

备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)深刻理解函数、分段函数及函数的单调性、奇偶性、最值、周期性等概念．
(2)掌握各种基本初等函数的定义、图象和性质，以及幂和对数的运算性质．
(3)掌握函数图象的作法、变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法．
(4)掌握利用函数性质比较大小、求值、求参数范围等问题的方法．
预测2020年命题热点为：
(1)求函数定义域及与分段函数有关的求值、求范围等问题．
(2)给出函数解析式选图象及利用图象解决交点个数、方程的解、不等式等问题．
(3)利用函数的性质求值，求参数取值范围、比较大小等问题．

Z
1．指数与对数式的七个运算公式
(1)am·an＝am＋n，am÷an＝am－n.
(2)(am)n＝amn.
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0)．
(4)loga＝logaM－logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0)．
(5)logaMn＝nlogaM(a>0且a≠1，M>0)．
(6)alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)．
(7)logaN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．
2．单调性定义
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1a>b
[解析]　∵ c＝log＝log35，a＝log3，
又y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
∴ log35>log3>log33＝1，∴ c>a>1.
∵ y＝x在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴ b.
故选D．
(理)(2018·天津卷，5)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为( D )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
[解析]　c＝log＝log23＞log2e＝a，即c＞a.
又b＝ln 2＝2，∴ 1，排除C选项．
故选B．
3．(2018·全国卷Ⅲ，7)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( B )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
[解析]　函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝对称，令a＝2可得与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．
故选B．
4．(2018·全国卷Ⅱ，11)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( C )
A．－50 B．0
C．2 D．50
[解析]　∵ f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)，
∴ f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，
∴ －f(x－1)＝f(x＋1)，∴ f(x＋2)＝－f(x)，
∴ f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴ 函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵ f(1－x)＝f(1＋x)，
∴ f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴ f(2)＝f(0)＝0，∴ f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴ f(－1)＝－2，
∴ f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴ f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
故选C．
5．(2018·全国卷Ⅰ，12)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时恒有f(x)x2－在(－1,1)上恒成立，

令y1＝ax，y2＝x2－，
由图象知：
或
所以1