第一讲　三角函数的图象与性质 学案

专题三　三角函数及解三角形


第一讲　三角函数的图象与性质

高考考点
考点解读
三角函数的定义域、值域、最值
1.求三角函数的值域或最值
2．根据值域或最值求参数
三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性
1.根据图象或周期公式求三角函数的周期、单调区间或判断奇偶性
2．根据单调性、奇偶性、周期性求参数
三角函数的图象及应用
1.考查三角函数的图象变换
2．根据图象求解析式或参数
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)加强对三角概念的理解，会求三角函数的值域或最值．
(2)掌握三角函数的图象与性质，能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等．
(3)掌握三角函数图象变换，已知图象求参数，“五点法”作图．
预测2019年命题热点为：
(1)三角函数在指定区间上的值域、最值问题．
(2)已知三角函数奇偶性及对称性、周期性等性质求参数或求函数的单调区间．
(3)三角函数的图象变换及求三角函数的解析式．

Z
1．三角函数的图象与性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象



定义域
R
R
{x|x≠＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
最小
正周期
2π
2π
π
单调性
在！！！！ [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增．
在！！！！ [＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减
在！！！！ [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增．在！！！！ [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减
在！！！！ (－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增
最值
当x＝＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.
当x＝－＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
当x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.
当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
无最值
对称性
对称中心：！！！！ (kπ，0)(k∈Z).
对称轴：！！！！ x＝＋kπ(k∈Z)
对称中心：！！！！ (＋kπ，0)(k∈Z).
对称轴：！！！！ x＝kπ(k∈Z)
对称中心：！！！！ (，0)(k∈Z)
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0、、π、、2π，求出x的值与相应的y的值，描点连线可得．

3．三角函数的奇偶性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
4．三角函数的对称性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝
kπ＋(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得；
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝
kπ(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得；
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由ωx＋φ＝(k∈Z)解得．
Y
1．忽视定义域
求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域．
2．重要图象变换顺序
在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
3．忽视A，ω的符号
在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，若ω